§ 17. Второй замечательный предел и его следствия

Теорема 1 (2-й замечательный предел). Справедливо равенство, где.

Доказательство. Воспользуемся известным пределом. Докажем

сначала, что . Обозначим целую частьхчерезn:. Тогдаи, следовательно,и. Из неравенств

иследует, что

.

Из неравенств иследует, что

.

Таким образом,

, где.

Поскольку ,

и при и, по теореме о промежуточной переменной имеем, что.

Рассмотрим теперь . Положим. Когда, тои

=====

==.

Таким образом, и . Значит, мы доказали, что. Теорема доказана.

Обозначим . Если, тои 2-й замечательный предел примет вид.

Следствия. 1). В частности,.

2) . В частности,.

3) .

Доказательство. 1).

При получаем частный случай.

2) Положим при. Отсюда. Поэтому

. Приполучаем частный случай.

3) Заметим, что , поэтому. Тогда. Следствия доказаны.

Из следствий имеем: при ,.

Примеры.

1) .

2) .

§ 18. Определение непрерывности функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции, их классификация

Определение 1. Пусть функцияопределена на промежуткеХи. Функцияназываетсянепрерывной в точке, если

. (18.1)

Равенство (18.1) можно записать иначе: , то есть для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами.

Очевидно, что о непрерывности функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам , в которых функция определена, то есть существует.

Пользуясь двумя определениями предела функции, можно дать определения непрерывности функции на языке последовательностей и на языке .

Определение 2. Функцияназывается непрерывной в точке, если для любой последовательностизначений аргументах, сходящейся к, последовательность соответствующих значений функциисходится к.

Определение 3. Функцияназывается непрерывной в точке, если для любогонайдется, такое, что для всехх, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Определения 2 и 3 эквивалентны в силу теоремы 1 § 13.

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке – на языке приращений. Для этого положим и назовем эту величинуприращением аргументах, а–приращением функции в точке.

Определение 4. Функцияназывается непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть.

Последнее условие означает, что , или, или, то есть определение 4 равносильно определению 1, а значит и определениям 2 и 3.

Определение 5. Функцияназывается непрерывной в точкесправа (слева), если().

Теорема 1. Функциянепрерывна в точкетогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

Доказательство. Посколькусуществует тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределыи, причем= ==, тотогда и только тогда, когда==. Теорема доказана.

Определение 6. Функцияназывается непрерывной на промежуткеХ, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если , то при этом подразумевается непрерывностьв точкесправа, а в точке– слева.

Теорема 2. Если функцииинепрерывны в точке, то функциитоже непрерывны в точке. Если, кроме того,, то и функциянепрерывна в точке.

Доказательство. Следует из теоремы 1 § 15 и определения 1 непрерывности функции в точке. Например,, что и означает непрерывность функцийв точке. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пустьи пусть существует окрестность точки, в которой определена сложная функция. Если функциянепрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке, то сложная функциянепрерывна в точке.

Доказательство. В указанной в условии теоремы окрестности возьмем любую последовательность точек, сходящуюся к точке, и пусть. Тогда, в силу непрерывностив точке,, то есть последовательность точексходится к точке. Поэтому, в силу непрерывностив точке,, то есть.

Теорема доказана.

Определение 7. Точканазываетсяточкой разрыва функции, еслиопределена в некоторой проколотой окрестности точкии не выполняется условие

.

В этом случае говорят также, что функция является разрывной в точке, или терпит разрыв в точке, или имеет разрыв в точке.

Различают три типа точек разрыва.

1) Устранимый разрыв.

Определение 8. Точканазывается точкойустранимого разрыва функции, если существует конечный, но либо функция не определена в точке, либо.

Пример 1. Функцияимеет устранимый разрыв в точке,

так как . Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции в точкеи положив.

Вообще, если в точке функцияимеет устранимый разрыв, то достаточно положить, чтобы функция стала непрерывной в точке. Иными словами, для восстановления непрерывности в точкенадо изменить значениев этой точке, если, или доопределитьв точке, если.

2) Разрыв 1-го рода.

Определение 9. Точканазывается точкойразрыва 1-го рода функции, если существуют конечные односторонние пределыи, но. Разностьназываютвеличиной скачка в точке.

Пример 2. ПустьТогда= –1,.иконечны, но не равны, поэтому точка– точка разрыва 1-го рода. Величина скачка равна–= –1 – 0 = –1.

3) Разрыв 2-го рода.

Определение 10. Точканазывается точкойразрыва 2-го рода функции, если хотя бы один из односторонних пределовине существует или бесконечен.

Пример 3. Пусть. Поскольку, точка– точка разрыва 2-го рода.

Заметим, что , то есть бесконечен один односторонний предел.

Пример 4. Пусть. Тогдане существует, поэтому– точка разрыва 2-го рода.

При исследовании функций на непрерывность полезна

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Без доказательства.

Напомним, что элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций и постоянных, а основными элементарными функциями являются степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Пример 5. Исследуем на непрерывность, непрерывность слева и справа, установим тип точек разрыва функции

Решение. Заметим, что. Поскольку функция не определена прии при, можно говорить только о непрерывности справа в точкеи о непрерывности слева в точке. Имеем

функциянепрерывна справа в точке;

функциянепрерывна слева в точке.

Если , то– непрерывна как элементарная функция по теореме 4. Поскольку, то в точкефункцияимеет разрыв 2 рода, причем она имеет разрыв 2 рода в этой точке и слева, и справа.

Если , то– непрерывна как элементарная функция.

Если , то– непрерывна как элементарная функция.

Если , то,,, т. е.

существует , поэтому функциянепрерывна в точке.

Если , то,,, т.е. в точкеодносторонние пределы существуют, но не равны, поэтому в этой точке функцияимеет разрыв 1 рода, величина скачка равна 1. Поскольку, то функцияв точкенепрерывна слева.

Таким образом, функция непрерывна на множестве, непрерывна справа в точке, непрерывна слева в точкахи, имеет разрыв 2 рода в точкеи разрыв 1 рода в точке, величина скачка в этой точке равна 1.

Теорема 5 (о точках разрыва монотонной функции). Если функциямонотонна на интервале, точкаявляется точкой разрыва, тос– точка разрыва 1-го рода.

Д

• • •

оказательство. Пусть функцияне убывает на интервале. Рассмотрим интервал.Для всех значенийхимеем, т.е.ограничена сверху. В силу ограниченности сверху множествасуществует. Покажем, что. Действительно,для всех, так какА – верхняя граница значений. Возьмемпроизвольно. ПосколькуА – точная верхняя граница значений, найдетсятакое, что. Тогда длятем болеев силу возрастания функции. Таким образом, для всех, дляи, значит, для, т.е.. Взяв, получим, что для всехх, таких, чтоимеем. А это и означает, что.

Таким образом, доказано существование .

Аналогично доказывается существование.

В силу существования и,с– точка разрыва 1 рода.

Аналогично рассматривается случай невозрастающей функции.

Теорема доказана.

Таким образом, монотонная функция может иметь только точки разрыва 1-го рода.