4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ
НА ОСНОВЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
Цель работы — изучение частотно-избирательных цепей на основе ко-
лебательных контуров. Последовательный и параллельный колебательные
контуры часто используются в качестве основного элемента линейных час-
тотно-избирательных цепей				(фильтров, резонансных	усилителей и т. п.).
К основным характеристикам линейных цепей относятся импульсная харак-
теристика h(t) и комплексный коэффициент передачи (частотная характери-
стика) K (ω) . В исследуемых цепях вид этих характеристик полностью опре-
деляется резонансной частотой ωр и добротностью Q контуров, а связь меж-
ду ними — преобразованиями Фурье.
Исследуются временные и частотные характеристики колебательных
контуров, влияние на них активных потерь, взаимосвязь временных и час-
тотных параметров контуров.
4.1. Теоретические сведения
	Последовательный колебательный контур (рис. 4.1, а) удобно рас-
сматривать как четырехполюсник. На резонансной частоте ωp						он обладает
низким входным сопротивлением и для обеспечения колебательного режима
должен подключаться к источнику сигнала с достаточно малым выходным
сопротивлением rг ,		таким, чтобы выполнялось условие r0 + rг				= r << ρ, где
ρ =	L C = ω0L = 1 (ω0C)		— волновое, или характеристическое сопротив-
ление контура.
	rг	L	r0	h(t)	T
	u(t)		C	Rн		t
		а		б
				Рис. 4.1
Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно боль-
шим,	Rн >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного на-
пряжения четырехполюсника uC (t) :
						35

	d 2u		du
LC	C	+ rC	C	+ u	= Uσ(t) ,	(4.1)
	dt 2		dt	C

где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения σ(t) (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению

d 2u

du

d 2u

r

du

1

LC

C

+ rC

C

+ u

=

C

+

C

+

u

= 0

(4.2)

dt

dt 2

L

dt

LC

dt 2

C

C

соответствует характеристическое уравнение

p2 + 2αp + ω02 = 0

с корнями p1,2

= −α ±

α2 − ω20

= −α ± ωр;

здесь

α = r/(2L), ω0 = 1

LC

(«собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:

		u (t) = A ep1t + A ep2t +U .
		C	1	2		uC (0) = 0 , i(0) = 0, находят
	Используя очевидные начальные условия
	константы A1 и A2 и записывают решение
	u	(t) = U −U(cos ω t +		α	sin ω t)e−αt ,
				ω
	C		р			р
				р

которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают

ω2	e	−αt	sin ω	t ≈ ω e	−αt	sin ω	t	≈ ω e	−t τ	, t ≥ 0.	(4.3)
h(t) = 0									к sin ω t
ωр			р	0			р	р	р
График h(t)		приведен на рис. 4.1, б. В выражении (4.3)								приближение

сделано в предположении малых потерь, α ωp ≈ ω0 , а также введена по-

стоянная времени	τк = 2L r = 2Qн ωp последовательного	колебательного
контура. Здесь Qн	— нагруженная добротность контура, определяемая соот-
ношением
Qн = ρ (rг + r0 ) = ρ r = ω0L r ≈ ωрL r .		(4.4)

Комплексный коэффициент передачи последовательного колебательного контура в так называемом приближении малых расстроек рассчитывается просто:

K

(ω) =

1iωC

=

1

=

1LC

=

r + jωL + 1

1 − ω2LC + jωrC

1

LC

− ω2

+ jω r

iωC

L

36

=

ω02

=

1

≈

1

=

ω2

− ω2 + jω

r

ω0 + ω

ω0 − ω + j

ω

r

j

r

+ 2 Δω

0

L

ω

ω

ω2 L

ω L

ω

0

0

0

0

0

=

1

= K

(ω + Δω) =

Qн

≈

Qн

.

(4.5)

1

Δω

0

Δω

Δω

j

+ 2

j + 2Qн ω

j + 2Qн ω

Q

ω

н

0

0

р

Здесь принято ω0 − ω = Δω << ωр , ω0 + ω ≈ 2ω0 — в приближении малых

расстроек.

Комплексный коэффициент передачи может быть также получен в результате применения к импульсной характеристике h(t) прямого преобразования Фурье

∞
K (ω) = ∫h (t )e− jωt dt .	(4.6)

0

Нижним пределом интеграла в выражении (4.6) берут 0, так как импульсная характеристика физически реализуемого четырехполюсника существует только при t ≥ 0. С использованием введенной постоянной времени τк = 2L r = 2Qн ωp результат (4.5) записывается в виде

∞

t

K (ω) ≈ ∫

ωpe−τк sin ωpt e− jωt dt =

Qн

.

j + τкΔω

0

АЧХ и ФЧХ цепи определяются выражениями

π

K (ω) =

Qн

,

ϕK (ω) = arctg(τкΔω)

−

.

(4.7)

2

2

1 +

(τкΔω)

Входное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте мало и равно эквивалентному сопротивлению потерь, Rвх = r. Поэтому последовательные контуры часто используют как режек-

торные фильтры для подавления сигнала на резонансной частоте.

Параллельный колебательный контур представляет собой параллель-

ное соединение L и C элементов (рис. 4.2, а). Используют высокодобротные катушки индуктивности и конденсаторы с малыми потерями, причем потерями в конденсаторе в большинстве случаев пренебрегают и собственные потери контура представляют сопротивлением r0 , отнесенным к индуктивно-

сти. Для удобства анализа схемы последовательное соединение r0 и L пересчитывают в параллельное соединение эквивалентного сопротивления Rэ0 и

L, пренебрегая квадратом сопротивления потерь r02 по сравнению с квадра-

37

том индуктивного сопротивления, ( ωp L)2 >> r02 . На резонансной частоте параллельный контур имеет достаточно высокое эквивалентное сопротивление Rэ0 = ρ2 r0 = ρQ0 , где ρ, как и для последовательного контура — волновое или характеристическое сопротивление, равное сопротивлению одной ветви контура на резонансной частоте, ρ = LC ≈ ωp L = 1(ωpC) ; Q0 = ρ/ r0 —

собственная (ненагруженная) добротность колебательной системы. Для сохранения в контуре колебательного режима добротность должна быть достаточно велика, следовательно, подключаемые к нему сопротивления источни-

ка сигнала (генератора)

Rг

и нагрузки

Rн должны быть большими

( Rг , Rн ≥ Rэ0 ).

Rг

u(t)

L

C

Rн

i(t)

L

C

Rэ

r0

а

Рис. 4.2

б

Для исследования временных характеристик параллельного контура ис-

точник напряжения u(t)

(рис. 4.2, а)

заменяют

источником тока

i(t) = u(t) Rг , а параллельно подключенные к контуру сопротивления Rг и

Rн

пересчитывают с учетом

Rэ0

в

эквивалентное

сопротивление Rэ

(рис. 4.2, б) в соответствии с равенством

1

=

1

+

1

+

1

, где Rэ = ρQн ,

Rэ

Rг

Rн

Rэ0

Qн

— нагруженная добротность параллельного контура. Иногда использу-

ют понятие внешней добротности Qвн, которая связывает собственную и

нагруженную добротности

1

=

1

+

1

.

Qн

Q0

Qвн

Импульсной реакцией или импульсной характеристикой параллельного колебательного контура принято называть напряжение uC (t) при воздейст-

вии на контур дельта-импульса тока δi (t) = δu (t) Rг (при эксперименталь-

ном определении импульсной характеристики используют достаточно короткий импульс). Импульсная реакция параллельного контура имеет колебательный характер и может быть записана как

38

h(t) = e−αt (cos

ω t + α sin ω t)

≈ e−αt

cos ω t .

(4.8)

C

p

ωp

p

C

p

Здесь α = 1 (2RэC) . Приближение (4.8) с учетом того, что α ωp

≈ ω0 (на-

помним, что ωp =

ω02 − α2 , где ω0 — «собственная» резонансная частота

контура), принимают для высокодобротного контура. Вводят также понятие

постоянной

времени

τк = 2RэС = 2Qн / ωp

нагруженного

параллельного

контура и записывают выражение (4.8) в форме

1 e−

t

h(t )=

τк cosω t ,

t

≥ 0 .

(4.9)

С

p

является интервалом времени

Из выражений (4.3) и (4.9) следует, что τк

между точками, соответствующими спаду огибающей импульсной харак-

теристики в e = 2,72… (основание натуральных логарифмов) раз.

h(t)

T

Kmax

1/C

Δω0,707

1

0,707 Kmax

K(ω)

eC

t

τк

ωp

ω

ϕK(ω)

а

Рис. 4.3

б

Из выражения (4.6) следует, что при безразмерном K (ω)

размерностью

h(t) является 1/с. При определении импульсной характеристики параллельно-

го колебательного контура было принято воздействие в виде дельта-

импульса тока, а в качестве реакции — напряжение на контуре, поэтому раз-

мерностью

K ( ω)

здесь

будет

Ом —

размерность

отношения

U (ω) / I (ω) = z(ω) , — а размерностью h(t) будет Ом/с = 1/Ф, что поясняет

присутствие в выражениях (4.8) и (4.9) множителя 1/С. Комплексный коэф-

фициент передачи параллельного колебательного контура записывается как

K (ω) = K (ω + Δω) =

Rэ

=

Rэ

,

(4.10)

р

Δω

)

(1

− jτкΔω)

(1 − j2Qн ω

р

где Δω = ωр − ω — абсолютная расстройка, как и для последовательного ко-

лебательного контура. Можно показать, что если

ω 0,707 — полоса заграж-

39

дения контура на уровне 0,707 от максимума АЧХ, то Qн = ωр Δω 0,707 — добротность контура, практически совпадающая с нагруженной добротностью контура, определенной через временные характеристики. Из выражения (4.10) определяют АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 4.3, б)

K (ω)

=

Rэ

,

ϕK

(ω) = arctg( τкΔω) .

(4.11)

Rг

1 + ( τкΔω)2

Снизить влияние сопротивлений Rг

и Rн на

L1

C

1

колебательный

контур

можно,

используя

u(t)

так называемое

частичное включение

контура:

L2

C

2 Rн

генератор и нагрузка подключаются к отводу ка-

тушки индуктивности и к части емкостной ветви

(рис. 4.4) контура. Используют коэффициенты

Рис. 4.4

включения

L2

C1

m =

n =

,

.

L

+ L

C

+C

1

2

1

2

При подключении источника напряжения u(t) к части индуктивной ветви

′

u(t) m2

контура он может быть заменен генератором тока

i (t)

=

= m i(t) ,

m

Rг

подключенным к контуру вида рис. 4.2, б. В этом случае комплексная частотная характеристика приобретает вид

K (ω) =

mnRэ′

,

2Δω

1 − jQн′ ω

Rэ′

р

где

Qн′

=

—

эквивалентная

нагруженная

добротность,

ρ

Rэ′ =

ρ2

— эквивалентное сопротивление контура с учетом собст-

r

+ r

+ r

0

г

н

ρ2

венных и внешних потерь,

r =

— собственные потери контура (от ко-

0

Rэ0

m2ρ2

n2ρ2

эффициентов включения не зависят), r

=

,

r =

— пересчитан-

г

Rг

н

Rн

ные с учетом частичного включения сопротивления генератора и нагрузки. Подбором коэффициентов включения удается обеспечить требуемую полосу пропускания контура и расчетное эквивалентное сопротивление. Это особенно важно при использовании параллельного контура в качестве нагрузки в резонансных усилителях и генераторах.

40