- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла, т.е. последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху - поверхностью , причем (z1(x; y) ≤ z2(x; y)). Область является проекцией тела на плоскость Оху (рис. 15)
Область V называется правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f(х,у,z) имеет место формула
.
Данная формула сводит вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного интеграла. Вычисление начинается с внутреннего интеграла по переменной z при постоянных х и у. Нижним пределом внутреннего интеграла является аппликата точки А точки входа прямой, параллельной оси Oz в область V, т. е. . Верхней границей является аппликата точки В - точки выхода прямой из области V, т.е. . Если граница области D (рис. 16) определена неравенствами
где и - непрерывные на отрезке [а,b] функции,
то, получаем формулу
.
Стоит отметить, что порядок интегрирования в трехкратном интеграле может быть изменен, если область определяется как правильная относительно оси .
Пример 24. Вычислить где ограничена плоскостями (рис. 17).
Решение: Область является правильной в направлении оси Oz, а ее проекция на плоскость Оху является правильной в направлении оси Оу. По формуле перехода к трехкратному интегралу имеем:
3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
Замена переменных в тройном интеграле производится с помощью якобиана преобразования
.
Пусть совершена подстановка x =φ(u;v;w), y=ψ(u;v;w), z=χ(u;v;w).
Если эти функции имеют в некоторой области V* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель , то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты (рис. 18).
Положение точки М(х,у,z) в цилиндрических координатах определяется заданием трех чисел r, φ, z, где r –полярный радиус, т.е. длина радиуса-вектора проекции точки М на
плоскость Оху , φ – полярный угол, образованный этим радиусом - вектором с осью Ox , z - аппликата точки М .
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениям0:
Якобиан преобразования равен
Формула замены переменных принимает вид
К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования описывается в цилиндрических координатах более простым образом, а подынтегральная функция упрощается.
Пример 25. Вычислить , где V - область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью .
Решение: На рис. 19 изображена область . Уравнение конуса принимает вид , т. е. . Уравнение границы области D х2 + у2 = 1 запишется так: r = 1. Используем равенство .
Прямая, параллельная оси Oz, входит в область D при z = r и выходит из нее при z = 1.
Согласно формуле перехода к трехкратному интегралу получаем:
Пример 26. Вычислить тройной интеграл где область , ограничена поверхностями: .
Решение: Запишем уравнение параболоида в цилиндрических координатах, используя уравнения связи , :
или .
Область описывается неравенствами ,
, .
Сферическими координатами точки M(x,y,z) пространства Oxyz называется тройка чисел ρ, φ, θ, где ρ - длина радиуса - вектора точки М , φ - угол, образованный проекцией радиуса - вектора на плоскость Оху и осью Ох , θ - угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz (рис. 20).
Сферические координаты ρ, φ, θ связаны с декартовыми x, y, z соотношениями:
Якобиан преобразования при переходе к сферическим координатам равен
=
= +
+ =
= +
+ =
=
Тройной интеграл в сферических координатах имеет вид
Пример 27. Вычислить тройной интеграл
где V – шар x2 + y2 + z2 ≤ 1.
Решение: Используя якобиан преобразования, имеем
Граница области V - сфера и ее уравнение в сферических координатах имеет вид ρ = 1. Подынтегральная функция после замены переменных примет вид Согласно формуле тройного интеграла в сферических координатах имеем