Лекция 3.Планирование эксперимента План дробного факторного эксперимента
Полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток: увеличение количества факторов приводит к быстрому росту числа опытов. Например, при n= 10 спектр плана содержит N = 210 = 1024 опыта. Кроме того, необходимо дублирование опытов.
Обычно при построении многофакторной регрессионной модели ограничиваются парными или, в крайнем случае, отдельными тройными взаимодействиями факторов. В этом случае ПФЭ оказывается избыточным, так как число точек спектра плана N значительно больше количества коэффициентов регрессии NB. В результате возникает возможность сокращения числа опытов.
Во многих случаях на начальной стадии моделирования технической системы в связи с отсутствием необходимой информации о влиянии на ее выходные параметры различных факторов (внутренних или внешних параметров) строят линейную модель. Например, при трех факторах выбирают модель в виде
(115)
В этом уравнении четыре коэффициента регрессии, а при n= 3 спектр плана ПФЭ, содержит 8 точек, т. е. предусматривает 8 опытов в различных точках факторного пространства. Следовательно, четыре опыта оказываются избыточными и их можно было бы исключить.
При построении математических моделей, использующих упрощенные уравнения регрессий, когда N >NB, применяют дробные факторные эксперименты (ДФЭ). Наибольшее распространение имеют регулярные планы ДФЭ типа 2n-p, т. е. ДФЭ2n-p, где n— число факторов, р — степень дробности ДФЭ.
При построении матрицы спектра плана ДФЭ2n-pчисло точек спектра плана определяется по формуле
N = 2n-p (116)
При выборе степени дробности ДФЭ должно выполняться условие
N>NB. (117)
Процедура построения спектра плана ДФЭ2n-p содержит четыре этапа:
1) Выбор структуры уравнения регрессии и определение степени дробности ДФЭ.
2) Выбор ведущих факторов и построение для них матрицы спектра плана, определяющую программу их изменения в ходе эксперимента. k = n – p
Для выбранных ведущих факторов х1, х2, …… хkстроят план ПФЭ2k.
3)Построение матрицых спектра плана ДФЭ2n-p.
Часть этой матрицы составляет матрица спектра плана ПФЭ2k, а во вторую должны войти столбцы матрицы для остальных факторов хk+1, хk+2, …… хn, количество которых равно p = n – k.
Столбцы матрицы X, соответствующие этим факторам, определяют путем перемножения соответствующих столбцов ведущих факторов. Для этого используют генерирующие соотношения. Генерирующим соотношением называется алгебраическое выражение, устанавливающее связь между одним из факторов xk+1,xk+2 ,...,xn и произведением какой-либо комбинации ведущих факторов x1,x2, •.., хk. Выбор генерирующих соотношений, вообще говоря, произволен. Однако в качестве генерирующих нельзя использовать те произведения ведущих факторов, которые входят в состав существенных переменных.
Генерирующее соотношение имеет вид
xk+I = xjxixm…, i = 1….p, (118)
где xk+1— фактор, не включенный в число ведущих (для него определяется столбец матрицы Xспектра плана ДФЭ2n-p); xj,xi,xm,... — ведущие факторы.
Количество ведущих факторов, входящих в генерирующее соотношение, может быть произвольным, но соотношения для всех Xji+iдолжны быть разными.
4) Проверка пригодности полученного спектра плана.
Для этого необходимо построить матрицу базисных функций Fи проверить, нет ли в ней совпадающих или полностью противоположных столбцов. Если в матрице Fнет совпадающих или противоположных столбцов, полученный спектр плана ДФЭ2n-p пригоден для решения поставленной задачи. В противном случае выполняются последовательно следующие процедуры до тех пор, пока не будет обеспечена ортогональность:
– выбираются иные генерирующие соотношения;
– изменяется набор ведущих факторов;
– уменьшается степень дробности плана р.
При ограниченных возможностях проведения опытов степень дробности плана сохраняют, а изменяют структуру уравнения регрессии (например, используют иные взаимодействия факторов или исключают какую-либо базисную функцию, соответствующую одному из взаимодействий высшего порядка).
Таким образом, регулярные план ДФЭ2n-p обладают теми же свойствами, что и планы ПФЭ2n.
Пример 1. Получить спектр плана ДФЭ, предназначенного для оценки коэффициентов уравнения регрессии вида.
(119)
Так как число факторов в этом уравнении три (х1, x2, x3), то при проведении ПФЭ количество точек спектра плана было бы равно N = 23 = 8. В уравнении же всего четыре коэффициента, поэтому можно использовать полуреплику, т.е. ДФЭ23-1, спектр плана которой содержит четыре точки: N = 23-1 = 4.
Число ведущих факторов k = n - р = 3 - 1 = 2. Выберем в качестве ведущих факторов х1и x2. Значения элементов векторов-столбцов этих факторов получим на основе плана ПФЭ22 , используя метод чередования знаков. Для определения вектора-столбца фактора x3 примем генерирующее соотношение в виде x3 = х1x2. Полученный спектр плана ДФЭ23-1 выделен прямоугольником в табл., в которой приведена матрица базисных функций F.
Таблица 20
i |
f0=1 |
f1=x1 |
f2=x2 |
f3=x3 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
В матрице Fнет совпадающих столбцов, следовательно, полученный спектр плана пригоден для решения поставленной задачи.