7.5. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Понятие производной п-го порядка. Как уже отмечалось, производная f (х) функции y = f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовем f (х) производной первого порядка функции f(х). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются

или

Производная n-го порядка является производной от производ­ной (n – 1)-го порядка, т.е.

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй произ­водной f"(х). Если функция y = f (х) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная f(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вто­рая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

2. Формулы для n-х производных некоторых функций.

1) Вычислим п-ю производную степенной функции ( х > 0) (  любое действительное число). Последовательно диффе­ренцируя, имеем:

В частном случае, если  = m, где m  натуральное число, получаем

2) Вычислим п-ю производную показательной функции (0 < a  1). Последовательно дифференцируя, имеем

В частности, если , то для любого n

3) Вычислим п-ю производную функции y = sin x. Последо­вательно дифференцируя, имеем

Таким образом, производную любого порядка от sin x можно вычислять по формуле

Например, (sin х)⁽¹⁰⁾ = sin (x + 10 /2) = sin (x + ) =  sin x.

4) Аналогично можно получить формулу п-й производной функ­ции у = cos х:

3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. Пусть у = u  v, где и и v – некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда

(1)

Формула (1) называется формулой Лейбница.

Пример 1. Вычислить пятую производную функции

Р е ш е н и е. Полагая u = x⁵ и v = , найдем u = 5x⁴, u = 20 x³, u = 60 x², u⁽⁴⁾ = 120 x, u⁽⁵⁾ = 120; v = v = v = v⁽⁴⁾ = v⁽⁵⁾ = . Подставляя эти выражения в формулу (1) при п = 5, получаем

Пример 2. Вычислить п-ю производную (n  2) функции у = х² cos x.

Р е ш е н и е. Полагая u = cos x и v = x², найдем

Подставляя в формулу (1), получаем

4. Дифференциалы высших порядков.

Определение. Вторым дифференциалом от функции y = f (х) в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так:

Аналогично можно определить дифференциал любого порядка. Отметим, что второй дифференциал и все последующие дифференциалы, в отличие от первого, не обладают инвариантностью формы.