Методическое пособие 780

Сравниваем полученный результат с общей формулой для определения гидродинамических сил (8.7), которая для сил трения может быть записана в виде

	С F	v2
R			,
тр	тр	2

где Cтр – коэффициент трения;

F bl – площадь обтекаемой поверхности.

Для ламинарного пограничного слоя на пластинке получим

R	1, 328				v2
				bl		,
тр			Rel		2

	где Rel	v l	– местное число Рейнольдса для	x l .

Следовательно, коэффициент сопротивления Cтр для ламинарного слоя на пластинке равен

C 1, 328 . (8.18)

тр.л.

Rel

8.2.4. Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке

Применим уравнение импульсов (8.13) для расчета турбулентного пограничного слоя на пластинке. Для этого, как уже отмечалось выше, требуется задать хотя бы приближенно закон распределения скоростей поперек слоя и характер зависимостиот U и . Наиболее просто эти дополнительные условия задаются, если считать распределение скоростей в турбулентном пограничном слое таким же, как и распределение скоростей по радиусу цилиндрической трубы.

271

Согласно опытным данным в трубе при достаточно больших числах Рейнольдса осредненная скорость пропорциональна расстоянию от стенки в степени 17 . Поэтому будем считать, что

				1
	y				7
vx U							.				(8.19)
Также из экспериментов с трубами следует, что зависи-
мость касательного напряжения трения от U и											имеет вид
	U 2						1
0, 0450									4	.	(8.20)
	2			U

Подставляя выражение (8.19) в уравнение импульсов на плоской пластинке (8.13), вычислим входящие в него интегралы

								2
					y 7					7
	v	2	dy v	2					dy		v	2	,
		x
0				0						9
								1
					y 7					7
	v		dy v						dy		v .
		x
0				0						8

С использованием полученных выражений и формулы (8.20) уравнение (8.13) приводится к виду

																					1
7		v2	d			7		v2		d	0, 0450					v2					4
																					,
9			dx			8				dx						2 v
или
																1
					d
									0, 2315							4
														.
						dx						v

Интегрируя полученное уравнение с разделяющимися переменными, получим

272

						1
4	4 5	0, 2315				4	x C .
5			v

Постоянную интегрирования C можно определить, если принять, что в критическом сечении, где ламинарный слой переходит в турбулентный, их толщины одинаковы, т.е.

x xкр кр . Тогда начальное значение толщины турбулентного слоя можно определить с использованием теории ламинарного

слоя (8.16). Если же местные числа Рейнольдса Rel v l очень

велики (порядка 107 и больше), то ламинарный участок у входной кромки пластинки занимает относительно небольшую часть ее длины. В этом случае можно пренебречь его влиянием

на толщину слоя и считать x 0 0 , откуда следует C 0 ; по-

лучаем формулу для расчета толщины турбулентного слоя на пластинке в виде

0, 37 . (8.21) 5Rex

Отметим, что толщина турбулентного слоя пропорциональна x45 , т.е. она нарастает вдоль пластинки гораздо быстрее,

чем в случае ламинарного пограничного слоя, где x1 2 . Это объясняется тем, что в турбулентном слое вследствие перемешивания частиц торможением охватываются более толстые слои внешнего потока, чем в случае ламинарного слоя.

Подставляя значение из (3.21) в формулу (8.20), получим выражение для в турбулентном слое пластинки

	0,1156			v2 .	(8.22)

5 Rex

273

Выражение (8.22) показывает, что в турбулентном слое

1

убывает с удалением от входной кромки пропорционально x 5 , т.е. менее интенсивно, чем в случае ламинарного слоя, где

1

x 2 . Распределение касательных напряжений по длине пластинки, на которой ламинарный пограничный слой перехо-

дит в турбулентный при x xкр , представлено на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Распределение касательных напряжений по длине пластинки

Определим полную силу трения для пластинки длиной l и шириной b . Сила трения на одной стороне пластинки равна

					1																			1
l								5			l			1										5
Rтр b dx 0,1156 v2											x			5 dx 0,144b v2
																								,
0		v								0											v l
отсюда коэффициент трения
C			Rтр									0, 072								.
тр.т		bl			v2							5					v l
					2
Или
	Cтр. т						0,072								.								(8.23)
					5					Re		l

274

При числах Рейнольдса до 2 107 формула (8.23) находится в хорошем согласии с экспериментальными данными. При боль-

ших значениях Rel значения Cтр.т получаются несколько зани-

женными.

Наряду со степенным заданием скорости в турбулентном слое (8.19) уравнение импульсов (8.13) интегрируется также при логарифмическом распределении скоростей в пограничном слое

U v	x		ln .
			y
Такой способ задания скорости является универсальным
для более широких значений Re		l	(от 106	до 109 ). Использова-

ние логарифмического закона приводит к следующей формуле

Cтр.т.	0, 455	.
	lg Rel 2,58

При не слишком больших значениях Rel последняя фор-

мула дает результаты, практически совпадающие с расчетом по

(8.23).

8.2.5. Факторы, влияющие на турбулизацию пограничного слоя

Рассмотрим явление турбулизации пограничного слоя в аналогии с переходом течения в трубе из ламинарного в турбулентное. При равномерном течении в трубе в ее поперечном сечении, как и в пограничном слое, происходит нарастание скорости от стенки к оси. Поэтому толщину пограничного слоя

можно считать аналогичной радиусу трубы r D2 и можно вы-

числять число Рейнольдса по толщине пограничного слоя

275

Re v .

Опыт показывает, что критическое число Рейнольдса Re кр

	на пластинке оказывается в среднем близким к Re			vr	для
		кр

трубы. Это обстоятельство говорит о том, что потеря внутренней устойчивости ламинарного движения в трубе и в пограничном слое имеет одинаковую природу.

Имеются, однако, и существенные различия между этими явлениями.

В трубе величина Reкр практически не зависит от началь-

ных возмущений, вносимых в поток на входном участке трубы; эти возмущения затухают в ламинарном течении, и только потеря внутренней устойчивости при Re Reкр приводит к появ-

лению пульсационных движений. В пограничном слое, наоборот, положение точки перехода существенно зависит от интенсивности турбулентных движений в набегающем потоке. Это связано с тем, что через внешнюю границу пограничного слоя в него непрерывно поступают возмущения из внешнего потока. При повышении степени возмущенности этого потока величина критического числа Рейнольдса уменьшается, точка перехода смещается навстречу течению. Таким образом, увеличение интенсивности пульсаций во внешнем потоке способствует ранней турбулизации пограничного слоя.

В трубе величина Reкр не зависит от степени шероховато-

сти стенок: при ламинарном течении скорость вблизи стенки равна нулю, и выступы шероховатости лежат в застойной области. В случае пограничного слоя у входной кромки погранич-

ный слой только начинает развиваться x 0 0 , и бугорки ше-

роховатости высовываются из пограничного слоя, внося в него возмущения. Поэтому повышение степени шероховатости спо-

276

собствует ранней турбулизации пограничного слоя и увеличению сопротивления трения. Это явление особенно сильно сказывается при больших, скоростях обтекания, поэтому увеличение скоростей (в авиации, турбиностроении и т.д.) предъявляет повышенные требования к чистоте обработки обтекаемой поверхности, особенно вблизи входной кромки.

Величина критического числа Рейнольдса и связанная с ней координата точки перехода xкр зависит также от того, является

ли течение конфузорным. Повышение скорости вниз по течению в конфузорном канале dUdx 0 угнетает развитие по-

граничного слоя и способствует его ламинизации, величина критического числа Рейнольдса возрастает. Наоборот, переход к

диффузорному течению dUdx 0 способствует ранней тур-

булизации пограничного слоя. Например, на спинке крыла самолета или лопатки турбомашины имеется входной конфузорный участок, где скорость возрастает с координатой x ; здесь пограничный слой, как правило, ламинарный. В задней части крыла поток диффузорный и пограничный слой турбулентен. Точка перехода обычно очень близка к сечению, в котором

dUdx 0 . Величина продольного градиента скорости оказы-

вает также существенное влияние на явление отрыва пограничного слоя, рассмотренное ниже.

8.3. Отрыв пограничного слоя и сопротивление при отрывном обтекании

8.3.1. Возникновение отрыва

Рассмотрим обтекание выпуклой поверхности потоком вязкой жидкости (рис. 8.7). За точкой минимума давления в кормовой части обтекаемого тела скорость вниз по течению падает,

давление нарастает dpdx 0 . Жидкость в этой области дви-

277

жется против подтормаживающего действия перепада давления. Если бы она была идеальной, то запаса ее кинетической энергии, накопленного в результате возрастания скорости у вы-

пуклой стенки (участок dpdx 0 на рис. 8.7), хватило для

преодоления этого торможения и поток сомкнулся у задней критической точки.

Рис. 8.7. Обтекание выпуклой поверхности потоком вязкой жидкости

В случае, когда жидкость вязкая, она теряет в пограничном слое свою механическую энергию на трение. Поэтому встречный перепад давления вызывает сначала остановку, а затем и попятное движение жидкости в пограничном слое (пограничный слой как бы выжимается навстречу основному потоку). При встрече прямого и попятного течения (точка S на рис. 8.7) линии тока оттесняются от поверхности тела, толщина пограничного слоя резко увеличивается, а затем и происходит его отрыв от поверхности тела. Из рис. 8.7 следует, что в точке отрыва

S продольная составляющая скорости vx у поверхности обтекаемого тела не меняется с координатой y , поэтому условие отрыва записывается математически в виде

dvx		0 .
dy
		y 0

278

Из приведенных соображений ясно, что основная причина отрыва пограничного слоя – возрастание давлений вниз по течению. В некоторых специальных случаях явление отрыва может вызываться также действием значительных по величине массовых сил, «отжимающих» поток от стенки (например, центробежной и кориолисовой сил инерции в межлопаточном канале турбомашины).

Появление отрыва резко меняет картину обтекания тела по сравнению с обтеканием идеальной жидкостью. За точкой отрыва линии тока, как в пограничном слое, так и во внешнем потоке уже не следуют вдоль контура обтекаемого тела. Частицы пограничного слоя в результате отрыва и закручивания значительными градиентами скорости, свойственными течению в пограничном слое, образуют вихри, которые поочередно отходят от поверхности тела и уносятся потоком, формируя за телом аэродинамический, или кильватерный, след (область 3 на рис. 8.7). Если в лобовой части обтекаемого тела распределение скоростей и давлений во внешнем потоке очень близко к соответствующему распределению при обтекании тела идеальной жидкостью, то в кормовой вследствие отрыва пограничного слоя и образования вихревого следа картина течения оказывается совершенно отличной от движения идеальной жидкости. В частности, картина течения при поперечном обтекании кругового цилиндра представлена на фотографиях различных последовательных стадий обтекания (рис. 8.8).

На рис. 8.8, a, соответствующем начальному моменту движения, пограничный слой еще не успел образоваться и линии тока такие же, как при потенциальном обтекании цилиндра. На рис. 8.8, б пограничный слой, образовавшийся у поверхности цилиндра, отрывается и начинается вихреобразование. Рис. 8.8, в демонстрирует окончательную стадию образования вихревого следа за цилиндром, симметрия вихрей нарушена, вихри поочередно отходят от поверхности цилиндра и сносятся потоком, вызывая пульсации скорости и давления в аэродинамическом следе и образование дорожки Кармана.

279

Рис. 8.8, а, б, в. Стадии обтекания

8.3.2. Силовое взаимодействие потока с телом при отрывном обтекании

Отрыв пограничного слоя и образование вихревого следа коренным образом меняют распределение давления по поверхности тела. Рассмотрим, например, поперечное обтекание круглого цилиндра (рис. 8.9, где 1 и 2 – экспериментальные, и 3 – теоретическая кривая). Симметрия коэффициентов давления

p p pv2

2

относительно поперечного диаметра цилиндра, характерная для потенциального обтекания (кривая 3 на рис. 8.9), при отрывном обтекании нарушается.

280