1. Теоретические сведения

Синтез систем автоматического управления (САУ) полагает получение заданных показателей качества регулирования, определяемых прямыми способами по переходной характеристике или косвенными способами – по частотным характеристикам

Рассмотрим САУ с единичной обратной отрицательной связью (ООС) и передаточной функцией разомкнутой системы, записанной в виде полиномов числителя и знаменателя. Коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы входят в состав характеристического уравнения замкнутой системы. Значение коэффициентов характеристического уравнения САУ определяет вид ее переходной характеристики.

Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными пере­ходными характеристиками.

Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени отклады­вается относительное время , где — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы.

При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения. Однако стандарт­ные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней.

Предлагается, например, такое решение. Пусть характеристи­ческое уравнение записано в виде

,

где — среднегеометрический корень.

Если принять все корни равными и вещественными, то это характери­стическое уравнение приобретает вид

.

В этом случае безразмерные коэффициенты являются коэффициентами бинома Ньютона.

Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном имеет вид

при нечетном

причем безразмерный параметр затухания = 0,7 – 0,8.

В табл. 7 для случая = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов . Причем и , для степени характеристического уравнения от 2 до 6.

Таблица 7

Значения безразмерных коэффициентов

2	1,5
3	2,5	2,5
4	3	4,25	3
5	4	7,25	7,25	4
6	4,5	9,25	12,375	9,25	4,5

Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение комплексных корней. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть . Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью и первым членом также .

Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное соотношение , которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени. Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл..8.

Таблица 8

Значения безразмерных коэффициентов для случая некратного распределения корней

2	1	1.38
3	1.45	2.05	2.39
4	0.79	2.6	3.8	2.8
5	1.5	2.5	5.3	5.46	3.64
6	0.64	3.73	8.0	10.3	8.56	4.18
7	1,5	2,76	8,12	11,74	14,35	11,5	4,86
8	0,57	4,65	9,42	22,7	28,4	24,3	15,0	5,45

При наличии нулей у передаточной функции замкнутой системы принятые в табл. 6-7 распределения корней оказываются неудачными, вследствие появле­ния большого перерегулирования.

В реальных технических системах перерегулирование достигает значения σ = (20-30)%, а в некоторых системах переходная характеристика должна соответствовать типовому переходному процессу с перерегулированием σ = (4-5)%.

В этом случае оказывается более выгод­ным использование расположения корней характеристического уравнения на вещественной оси по арифмети­ческой прогрессии.

По полученным коэффициентам характеристического уравнения можно определить требуемые корни характеристического уравнения.

В этом случае задается последовательность команд :

>> p = [0.01 0.2 0.5 0.8 1];

>> r = roots(p)

ans =

-17.3671

-1.9534

-0.3397 + 1.6829i

-0.3397 – 1.6829i

При комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения с вещественной частью и мнимой перерегулирование для переходной характеристики системы имеет зависимость, представленную в табл. 9.

Таблица 9

Зависимость перерегулирования от мнимой и действительной частей корней

	0.4	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2	2.2	2.5
 %	0	2	4.3	7.2	10.6	14	17.4	20.8	24	28.4

2. Предварительное задание

2.1. Записать передаточную функцию разомкнутой одноконтурной системы, представленной на рис. 5. Значения постоянной времени Т1 представлены в табл. 10. Записать передаточную функцию и характеристическое уравнение замкнутой системы

2.2. Записать характеристическое уравнение системы в стандартной форме.

Уравнение в стандартной форме имеет при высшей степени коэффициент равный единице.

2.3. Определить значения коэффициента передачи разомкнутой одноконтурной системы Краз = К1*К2*К3 и постоянной времени Т для получения заданных показателей качества регулирования системы 2-го, 3-го и 4-го порядков.

Уравнения составляются для соответствия коэффициентов характеристического уравнения одноконтурной САУ соответствующим безразмерным коэффициентам, приведенным в таблицах 7 – 8. Оценивается система с характеристическим уравнением не выше четвертого порядка . Для получения характеристического уравнения 2 - го порядка принимается значение Т= 0, для системы 3 - го порядка – Т1= 0, а коэффициент демпфирования для всех случаев - ξ =0.95.

Т аблица 10

Параметры передаточной функции одноконтурной САУ

п/п	1	2	3	4	5	6		7	8	9	10
Т1	1	1.05	1.1	1.15	1.2	1.25		0.95	0.9	0.85	0.8
п/п	11	12	13	14	15	16	17		18	19	20
Т1	1.3	1.35	1.4	1.45	0.75	0.7	065		0.6	0.85	1.45

3. Методические указания к выполнению лабораторной работы

3.1. Исследовать структурную схему одноконтурной системы автоматического управления в RLT – функции системы инженерных расчетов MATLAB.

3.1.1. RLT – функция вызывается командой:

>> rltool

Появляется структурная схема одноконтурной САУ.

3.1.2. Задание параметров элементов САУ в соответствии с обозначениями в схеме RLT-функции определяется командами в рабочей области, например, для системы четвертого порядка:

>> f=tf(1)

>> h=tf(1)

>> с=tf(Краз)

>> g=tf (1,[ Ао А1 А2 А3 А4]),

где Ао-А4 – коэффициенты характеристического уравнения системы; Краз – требуемый коэффициент передачи разомкнутой одноконтурной системы.

3.1.3. Вызвав строку Import и Import compensator осуществляют перенос заданных параметров элементов из рабочей области в RLT- функцию.

3.1.4. Вызвав команду (окно step) можно определить параметры качества по переходной характеристике системы.

3.2. Сделать выводы по работе.

4. Контрольные вопросы

4.1. Как находят характеристическое уравнение для системы 2-го порядка?

4.2. Какие звенья в структурной схеме дают характеристическое уравнение второго порядка?

4.3. Как находят характеристическое уравнение для системы 3-го порядка?

4.4. Какие звенья в структурной схеме дают характеристическое уравнение 3-го порядка?

4.5. Как находят характеристическое уравнение 4-го порядка?

4.6. Какие звенья в структурной схеме дают характеристическое уравнение 4-го порядка

4.7. Как записывают уравнение в стандартной форме?

Лабораторная работа 10

СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДОМ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ

Цель работы: синтез системы автоматического управления методом расположения действительных и комплексных корней характеристического уравнения