2. Геометрическое определение вероятности

В своей идейной основе геометрическое определение вероятности не отличается от классического. Единственное отличие состоит в структуре пространства элементарных событий .

Множество элементарных исходов не является дискретным. Представим себе, что из  наудачу выбирается точка, причем выбор любой точки равновозможен. Пусть событие A -выбор точки из области A (рис. 2).

Рис. 2

Тогда вероятность наступления события A определяется как

(2.2)

где mes (от английского measure) означает любую геометрическую меру области A, которая может быть длиной, если   одномерное множество; площадью, если   двумерное множество и объемом, если   трехмерное множество.

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Геометрическая вероятность (2.2), так же как и классическая (2.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области .

Пример 2.5. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).

Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z (рис. 3) Тогда .

Рис. 3

Обрыв равновозможен на любой единице длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL.

.

Пример 2.6. Задача о встрече.

Два лица условились встретиться в определенном месте между 15 и 16 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что они встретятся, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы (событие А).

Решение. Обозначим через x -- момент прихода первого лица, через y -- момент прихода второго лица, . Будем рассматривать x и y как декартовы координаты на плоскости. В качестве единицы масштаба выберем 1 мин.. Все возможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 60, т. е. . Случайное событие А = {лица встретятся} произойдет, если

.

Благоприятные встрече исходы изобразятся точками в заштрихованной части квадрата (рис. 4), так как

.

Вероятность события А определится как отношение площадей (рис. 4)

.

Рис. 4

3. Статистическое определение вероятности

Основная трудность практического применения классического и геометрического определений вероятности состоит в том, что часто нет возможности установить все множество элементарных исходов испытания или опыта и определить состав подмножеств, соответствующих интересующим нас событиям. Например, как определить, используя классический подход, вероятность рождения мальчика, необходимую в демографических расчетах? А расчеты страховых компаний основанные на различного рода вероятностях несчастных случаев, пожаров, стихийных бедствий и т. д? В таких случаях может использоваться статистическое определение вероятности.

Пусть нас интересует некоторое событие A, которое может произойти либо не произойти при наличии комплекса условий G. Для определения вероятности события A в этих поддерживаемых неизменными макроусловиях осуществляется некоторое количество n испытаний, опытов или наблюдений. Пусть в случаях, , событие A произошло. Тогда называется относительной частотой данного события в данных условиях. Пусть осуществляется несколько серий из достаточно больших наблюдений события A в одних и тех же условиях. В случаях из них событие A произошло. И здесь возможны следующие два исхода.

1. Относительные частоты существенно отличаются друг от друга и не проявляют никаких закономерностей. Это значит, что не контролируемые нами микроусловия достаточно резко меняются и говорить об определении вероятности события A при каждом испытании нет смысла.

2. В проделанном опыте относительная частота исследуемого события A обладает так называемым свойством устойчивости, которое состоит в том, что в нескольких сериях достаточно большого числа наблюдений события A мы имеем приближенные равенства

.

Таким образом, относительная частота события A колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное случайное событие. Это число P(A) в соответствующей математической модели мы и будем называть вероятностью события A.

Приведем примеры статистического подхода к определению вероятности.

Пример 2.7. В некотором городе в течение первого квартала родились:

в январе - 145 мальчиков и 135 девочек,

в феврале - 142 мальчика и 136 девочек,

в марте - 152 мальчика и 140 девочек.

Требуется определить вероятность рождения мальчика.

Решение. Относительные частоты рождения мальчиков составляют

в январе: ;

в феврале: ;

в марте: .

Видно, что относительные частоты ведут себя устойчиво и колеблются относительно арифметического среднего, равного 0,516. Эта величина и может быть принята за искомую вероятность, т. е. вероятность рождения мальчика в данных условиях составляет примерно 0,516.

Пример 2.8. В таблице приведены данные о стаже мужчин, работающих в фирме:

Стаж (лет)	Число работников
Менее 1 От 1 до 2 От 2 до 3 От 3 до 4 От 4 до 5 5 и более Всего:	26 36 16 20 2 0 100

Какова вероятность того, что следующий принятый на работу в фирму человек проработает не меньше двух лет?

Решение. Из таблицы видно, что 38 из 100 работников работают в компании больше двух лет. Статистическая вероятность того, что следующий работник останется в компании на срок более двух лет равна 38/100=0,38. При этом мы предполагаем, что новый работник «типичен», а условия работы неизменны.