- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •Введение
- •1. Понятие, определние и свойства предела функции
- •2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3. Первый замечательный предел
- •4. Второй замечательный предел
- •5. Раскрытие неопределенностей вида
- •6. Раскрытие неопределенностей вида
- •7. Раскрытие неопределенности вида
- •8. Раскрытие неопределенности вида
- •9. Раскрытие неопределенности вида
- •10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей
- •11. Раскрытие неопределЕнностей по правилу лопиталя
- •12. Некоторые специфические методы Раскрытия неопределЕнностей вида
- •Применение рядов к раскрытию неопределенностей
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
7. Раскрытие неопределенности вида
Этот вид неопределенности приводится к виду или с помощью тождественных преобразований.
Замечание. Неопределенности вида и называют классическими.
Примеры
Вычислить пределы:
1. Найти .
Умножим и разделим данное выражение на сопряженное ему, т.е. на .
2. .
В этом случае достаточно привести дроби к общему знаменателю.
.
8. Раскрытие неопределенности вида
Этот вид неопределенности тоже относится к классическим, если один из множителей опустить в знаменатель знаменателя, т.е. привести к "трехэтажной" дроби.
Например,
Примеры
Вычислить пределы:
1.
(выделен первый замечательный предел).
3. Найти: .
Полагая , получаем
(выделен первый замечательный предел).
9. Раскрытие неопределенности вида
Такие неопределенности возникают при вычислении пределов степенно-показательных функций: , если
Неопределенности этого вида раскрывают при помощи второго замечательного предела, используя его в структурном виде (15).
(17)
Пример 1
Найти
, т.к. в рамке вы
делен второй замечательный предел. В более сложных случаях удобно вводить замену переменной.
Пример 2
Найти
Имеем .
Положим . Тогда и при ,
,
Предел круглой скобки: .
Пример 3
Найти .
(выделен второй замечательный предел, учитывая, что если , то и ).
Пример 4
Найти
Это неопределенность вида , т.к. .
Д ля того чтобы раскрыть эту неопределенность, представляем основание степени в виде (1+ ), а в показателе выделим множитель : :
В рамке выделен второй замечательный предел, т.к. если , то .
Рассмотрим несколько примеров, в которых для раскрытия неопределенностей применяются "важные пределы" (10–14).
Примеры
1. Вычислить .
Положим , ,
тогда .
.
Использовали «важный предел» (11) в структурном виде
.
2. Вычислить
.
Применили предел (12): .
3. Вычислить
.
П рименили предел (13) в структурном виде .
В рамке выделен первый замечательный предел.
10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей
Функция называется бесконечно малой функцией [1, 3, 11], если ее предел равен нулю, т.е. или пишут .
Но бесконечно малые функции могут стремиться к нулю по-разному: одни – быстрее, другие – медленнее. Для сравнения бесконечно малых функций вычисляют предел их отношения.
Говорят, что бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если предел их отношения равен некоторому числу , отличному от нуля, т.е.
. (18)
Пример
Найдем , следовательно, sin7 и являются бесконечно малыми одинакового (одного) порядка малости.
Если же , т.е. , то бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с или бесконечно малая называется бесконечно малой меньшего порядка малости по сравнению с .
В этом случае используют условное обозначение: при и читают: есть «о» малое от при .
Пример
Найдем , следовательно, есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ( стремится к нулю быстрее, чем ).
Бесконечно малые функции и называются эквивалентными (равносильными), если . Эквивалентные бесконечно малые обозначают так: . (19)
Пример
Так как , то и – эквивалентные бесконечно малые функции: ~ .
Из определения следует, что эквивалентные бесконечно малые функции имеют одинаковый порядок малости.
Равенство отношений двух бесконечно малых и эквивалентных им функций следует из следующей теоремы
Теорема
Если , при и существует , то существует , причем
= . (20)
Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.
Эта теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание пределов (раскрывать неопределенности). Смысл этого метода заключается в том, что, заменяя отношения данных функций отношением эквивалентных им функций, пределы этих отношений не изменяются, но вместо неопределенности получаем сразу конечный (или бесконечный) предел.
Замечание. Все рассуждения и формулы верны для любых предельных значений: , , , .
Легко установить эквивалентность следующих функций при :
(21)
Примеры
С помощью эквивалентных бесконечно малых найти пределы.
1. Найти .
Решение
Имеем неопределенность вида .
При функция бесконечно малая и , т.к.
Заменяя эквивалентной ей , получаем
.
Найти .
Решение
Так как , то заменяя в числителе данную бесконечно малую ей эквивалентной, получим
.
3. Найти .
Решение
Так как , то
.
При , , , .
Поэтому, заменяя данные функции на эквивалентные, получаем
.
4. Найти .
Решение
Поскольку , а ( ,
то .
5. Найти .
Решение. Преобразуем числитель и знаменатель, а потом заменим эквивалентными.
Так как , , то
, т.к. .
Получим .
6. Найти .
Решение
Так как ,
то .
Но при функция ( ) – бесконечно малая, тогда
.
Замечание. Если , то в ряде случаев удобно сначала ввести бесконечно малую функцию (или ).
Пример
Найти .
Решение
Здесь числитель и знаменатель функции бесконечно малые.
Однако х не является бесконечно малой функцией (стремится не к нулю, а к ), поэтому соотношение не имеет смысла.
Введем бесконечно малую , тогда
и .
Найти .
Это неопределенность вида .
Сделаем предварительно замену переменной. Если ввести обозначение , то при , тогда
.
Замечание. При вычислении пределов выражений вида , где , а (неопределенность вида ( ), удобно применить формулу (4):
. (22)
Эта формула следует из свойств логарифмов: .
Примеры
1. Найти .
Так как при , и , пользуясь формулой (10), получим .
2. Найти
= .
Найти .
При , т.к. разность бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с и с .
Аналогично .
Поэтому
.