- •230104 «Системы автоматизированного проектирования»,
- •230101 «Вычислительные машины,
- •§1. Возрастание и убывание функции.
- •§2. Экстремумы функции
- •§3. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •§4. Асимптоты
- •§5. Построение графика функции
- •§6. Наибольшее и наименьшее значения
- •§7. Элементарные преобразования графиков
- •Задание 1.
- •Задание 2.
- •§1. Возрастание и убывание функции…………1
- •230104 «Системы автоматизированного
- •230101 «Вычислительные машины, комплексы,
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ГОУВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению раздела «Исследование функций
и построение графиков» курса «Математический анализ»
для студентов специальностей
230104 «Системы автоматизированного проектирования»,
230101 «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети»
очной формы обучения
Воронеж 2011
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук А.П. Дубровская
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Исследование функций и построение графиков» курса «Математический анализ» для студентов специальностей 230104 «Системы автоматизированного проектирования», 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж, 2011. 39 с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения по теме исследование функций и построение графиков. Приводится большое количество решенных типовых задач, задач для самостоятельного решения.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Исслед.функц.doc .
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ГОУВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2011
Исследование функциЙ. Построение графикОВ
§1. Возрастание и убывание функции.
Говорят, что функция строго возрастает (строго убывает) на интервале , если для любых различных точек и из справедливо неравенство
т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек и из справедливо неравенство
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на
(a; b) , то есть
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на (a; b) , то есть
Аналогично достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , является условие
необходимым и достаточным условием убывания – условие
Пример 1.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1)
2)
3)
Решение. 1) Данная функция всюду дифференцируема, причем Так как при и и при , то на интервалах и функция строго возрастает, а на интервале строго убывает.
2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем
Так как при всех , то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале она постоянна, на интервале строго убывает.
3) Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при . Решая при неравенство , получаем
или
откуда
или
Таким образом, на интервалах и функция строго возрастает. На интервалах , очевидно, справедливо неравенство , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах функция строго возрастает, а на интервалах и , строго убывает.
Следует обратить внимание на то, что данная функция не
является монотонной ни в какой окрестности точки В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов убывания данной функции.
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интервалы монотонности функций
1. 2. 3.
4. 5.
Ответы: 1. возрастает; убывает;
2. убывает; возрастает;
3. убывает; возрастает;
4. Монотонно возрастает; 5. Монотонно возрастает.