§3. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Дифференцируемая функция y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) или выпуклой вверх (вниз) на интервале (a; b), если она удовлетворяет следующему условию: для любых различных точек

x₁, x₂(a; b) часть графика функции y = f(x), соответствующая интервалу (x₁; x₂), расположена выше (ниже) отрезка M₁M₂, где M₁(x₁; f(x₁)), M₂(x₂; f(x₂)).

Т очка графика функции, разделяющая выпуклый и вогнутый участки графика, называется точкой перегиба (часто точкой перегиба называют абсциссу этой точки графика функции).

Теорема 4. Если для функции f(x) , дважды дифференцируемой в (a; b), ( ) при всех x(a; b), то функция f(x) является выпуклой (вогнутой) на (a; b) .

Теорема 5. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на (a; b). Точка x₀(a; b) является точкой перегиба в том и только в том случае, если одновременно выполняются два условия: 1) ; 2) при переходе через точку x₀ меняет свой знак.

В последней теореме при условии трижды дифференцируе-

мости функции условие 2) можно заменить на .

Пример 3.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости для функции .

Решение. Найдем вторую производную .

Очевидно, критические точки и

не существует). При переходе через точку меняет знак. Значит – точка перегиба. При переходе через точку знака не меняет, следовательно, в этой точке перегиба нет.

Исследование удобно оформить в виде таблицы.

Интервал		1
f(x)	выпукла вверх		выпукла вверх		выпукла вниз
	<0		<0	0	>0
				Точка перегиба

Используя информацию из таблицы, уточним график функции.

Можно убедиться в том, что график функции не имеет асимптот.

Пример 3.2. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости для функции

Решение. Найдем вторую производную

Производная нигде в нуль не обращается. Приравнивая к нулю знаменатель дроби, получаем , откуда . В точке вторая производная не существует ( ). Исследуем знак второй производной слева и справа от точки для . Точек перегиба нет, интервал вогнутости.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции :

1. 2.

3. 4.

5.

6. При каких значениях a и b точка (1,3) является точкой перегиба кривой ?

Ответы: 1. График функции всюду вогнут;

2. выпуклый, вогнутый, (2,0)- точка перегиба;

3. График функции всюду вогнут;

4. выпуклый, вогнутый, М(-1, 1- - точка перегиба;

5. выпуклый, вогнутый, - точка перегиба;

6.

§4. Асимптоты

Прямая (L) называется асимптотой графика функции (или просто асимптотой функции), если расстояние d(M; (L)) от точки М на графике функции y = f(x) до прямой (L) стремится к 0 при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой, если по крайней мере один из односторонних пределов f(x₀ – 0),

f(x₀ + 0) равен - или +.

Например, прямая является вертикальной асимптотой графиков функций и , так как и . График функции имеет бесконечно много вертикальных асимптот, а именно, каждая прямая , является вертикальной асимптотой.

Пример 4.1. Найти вертикальные асимптоты функции

.

Решение. Точки разрыва нашей функции . Проверим, являются ли прямые и вертикальными асимптотами. Имеем , . Согласно определению, прямая x=1 является вертикальной асимптотой. Аналогично, прямая является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота y = kx + b соответствует случаю

x –  или x + . Коэффициенты k и b при x +  находятся из равенств

,

(то же при x –  ). Если же не существует одного из пределов или один из этих пределов равен –  или + , то у функции отсутствует наклонная асимптота при x +  (то же при x – ).

Если , то асимптоту называют горизонтальной.

Пример 4.2. Найти наклонные асимптоты функции .

Решение. По формулам (3) имеем

, . Следовательно, график нашей функции имеет две асимптоты при и при .

Пример 4.3. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена при Так как , то прямая является вертикальной асимптотой. Так как , имеем

Следовательно, наклонной асимптоты нет.

Пример 4.4. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена при Так как и , то прямые и являются вертикальными асимптотами. Находим наклонные асимптоты. При , получаем

следовательно, правой наклонной асимптотой является прямая Аналогично, при , имеем

.

Таким образом, левой наклонной асимптотой является прямая

Замечание. Исследование упрощается, если учесть четность функции, а значит симметрию графика функции относительно оси .

Задачи для самостоятельного решения.

Найти асимптоты графиков функций:

1. 2. 3. ;

4. 5.

Ответы: 1. 2. 3. -правая, - левая; 4. - левая;

5.