9.4. Профилирование червячных модульных фрез для обработки эвольвентных колес

Эвольвентные зубчатые колеса имеют (рис. 9.11) профиль зуба, очерченный по эвольвенте. В основу расчета геометрических параметров колеса положена исходная зубчатая рейка, размеры которой стандартизованы и приведены к единичному модулю. Размеры зуба детали определяются умножением размеров зубчатой рейки на величину модуля и практически одинаковы для зубчатых колес одного модуля, но с различным числом зубьев. Специфика эвольвентного зацепления находит отражение в профиле режущего инструмента В этом нетрудно убедиться, анализируя зависимости (9.4).

Рис. 9.11. Профиль зуба эвольвентного колеса

Длина касательной и в каждой точке эвольвенты одинакова и равна радиусу r_b основной окружности. Следовательно, первая фор мула системы (9.4) приобретает вид:

. (9.12)

Анализ этой зависимости позволяет сделать ряд важных выводов:

1. поскольку при определенном r_W α= сопst для всего профиля, профиль инструментальной рейки является прямолинейным. Из геометрии плоских линий известно, что эвольвента образуется при перекатывании прямой линии по окружности;

2) с изменением r_W изменяется величина α. Это свойство эвольвентно-реечного зацепления позволяет обрабатывать эвольвентные колеса фрезами с различными углами профиля;

3) фрезой определенного профиля можно обрабатывать зубчатые колеса различным числом зубьев.

Эти свойства рассматриваемого зацепления позволили разработать стандарт (ГОСТ 9324—60) на червячные модульные фрезы с углом профиля α_W0=20°, предназначенные для обработки зубчатых колес с углом профиля исходной зубчатой рейки 20°. Этим ГОСТом регламентируется профиль фрезы (рис. 9.12) в нормальном сечении: высота h_f0 ножки и h_а0 головки зуба, ширина зуба, ширина зуба S_n0 по начальной прямой, радиус r_г при вершине зуба (r_Г=0,4m), высота фланка h_фо, угол фланка α_фо, радиус закругления впадины r_Г. При этом диаметр начального цилиндра принимается равным делительному диаметру детали.

Рис. 9.12. Профиль прямобочной инструментальной рейки

ГОСТ 9324—60 предусматривает расчет некоторых элементов рейки по эмпирическим зависимостям, что не всегда обеспечивает правильность формообразования соответствующих элементов детали. Не всегда пригоден этот стандарт и для обработки корригированных шестерен. Кроме того, 20-градусное зацепление является не единственным при проектировании зубчатых передач. На практике используются передачи с углом давления на делительном диаметре от 14,5 до 28°, для которых стандарт по ряду причин разработать не удается.

При расчете на ЭВМ создаются условия для оптимизационного расчета профиля червячных модульных фрез. Профиль зуба эвольвентного колеса можно рассматривать как фасонный, состоящий из отрезка эвольвенты и дуги окружности радиусом r_f.

Для эвольвентного участка (рис. 9.13) зависимости (9.9) и (9.10) примут следующий вид:

(9.13)

для дугового (u=0, ρ=p):

,

.

Следовательно, при выборе r_W следует ориентироваться только на зависимости (9.13), которые позволяют выбирать r_W в больших пределах. Возникает задача определения оптимальной величины r_W, которую следует решать с учетом особенностей формообразования и условий резания.

Поскольку на фрезе имеется радиус закругления r_г, последний при обкатке опишет переходную кривую, плавно сопрягающую эвольвентный участок и участок дуги внутреннего диаметра. Точка G_о сопряжения прямой профиля фрезы и радиуса r_Г образует начало переходной кривой в точке G, лежащей на радиусе r_р детали. Графическое нахождение точки G₀ ясно из рисунка и осуществляется в данном случае довольно просто, поскольку линией зацепления является прямая.

Итак, величина r_Г зависит от положения точки G— нижней границы эвольвентного участка и от значения угла α_W0:

(9.14)

Раскроем эту функциональную зависимость следующим образом. Из рис. 9.13

. (9.15)

Рис. 9.13. Схема формообразования эвольвентного зуба:

А - зацепление инструмента и детали;

б- срез вершины зуба фрезы

Высота h_nо определится из выражения

.

Координата y_G0, согласно уравнению (9.4),

или, учитывая, что ,

После подстановки h_n0 и y_G0 в формулу (9.15)

. (9.16)

Это и есть основное уравнение модели, связывающее все три параметра- α_W0, r_Г, r_p— между собой. В нем вместо r_W использовано его опосредствованное значение через зависимость (9.12) Для модульных фрез удобнее оперировать величиной α_W0, чем r_W. Уравнение (9.16) содержит два неизвестных: α_W0 и r_W , поскольку радиус r_р обычно задается на чертеже детали. Следовательно, имеется множество сочетаний α_W0 и r_Г, удовлетворяющих этому уравнению. Задача заключается в том, чтобы выбрать по некоторым соображениям их оптимальное соотношение. Рассмотрим ее решение, не задаваясь конкретной величиной r_р.

Определим пределы, в которых могут изменяться переменные r_Г и α_W0, т. е. наложим на них ограничения. Минимально возможное значение r_Г определяется рекомендациями практики из условий стойкостных характеристик:

. (9.17)

У фрез для обработки зубчатых колес принимают r_Гмин=(0,15...0,20)m, при обработке эвольвентных шлиц r_Гмин=0,1m. Максимальное значение r_Г ограничивает радиус вершины по условию ее заострения. Действительно, если принять r_Г>r_cопр (см. рис. 9.13, б), будет иметь место пересечение прямых профиля на высоте, меньшей h_n0, что не обеспечит требуемого внутреннего диаметра детали и резко ухудшит стойкостные показатели фрезы. Поэтому должно быть выдержано условие

, (9.18)

где

. (9.19)

Величина α_W0 существенным образом влияет на условия резания, поскольку определяет боковые углы α_бок инструмента. Она зависит от заднего угла α_в при вершине зуба фрезы и связана с ним следующим соотношением:

.

Должно быть выполнено условие

. (9.20)

Максимальное ограничение α_W0 рассмотрено ниже. Соотношения (9.17), (9.18), (9.20) составят систему ограничений на переменные, используемые в основном уравнении (9.16). Рассмотрим их графическую интерпретацию (рис. 9.14).

Рис. 9.14. Графическая интерпретация математической модели к задаче оптимизации элементов профиля модульной фреза

Ограничение (9.20) представляет прямую линию (Ι-ΙΙΙ), так как для любых значений r_г и r_р необходимо обеспечение достаточных углов резания. Кривую ограничения по r_Гмин получим следующим образом. Из уравнения (9.16) находим выражения для α_W0 в явном виде:

,(9.21)

где

; .

Подставляя в формулу (9.21) значения r_Г=r_Гмин для различных r_р, получим соответствующие значения α_W0 (кривая ΙΙ-ΙΙΙ). Все значения r_Г, лежащие слева от линии ΙΙ-ΙΙΙ, удовлетворяют неравенству (9.17).

Кривая ограничения Ι-ΙΙΙ по r_Гмакс строится аналогично, хотя здесь расчетные зависимости сложнее. В формулу (9.21) необходимо подставить вместо r_Г значение r_сопр и выразить S_n0 и h_n0 через α_W0. Все значения r_Г, лежащие справа от линии Ι-ΙΙΙ, удовлетворяют третьему ограничению. Полученная на рис. 9.14 фигура Ι—ΙΙ—ΙΙΙ представляет область существования функции (9.16) при наложенных на нее ограничениях (9.17), (9.18), (9.20).

Изучение области возможных решений позволяет сделать следующие выводы:

1) с уменьшением утла α_W0 улучшаются условия для обеспечения максимально возможного радиуса закругления вершины;

2) с увеличением угла α_W0 наступает момент, когда неравенства (9.17) и (9.18), превращаясь в равенства, совпадают. Значение соответствующее этому моменту, и является максимально возможным. Для чистовых фрез при высоте головки зуба f=1, r_Гмин=0,2m он равняется примерно 28°. Это обстоятельство и является причиной того, что для эвольвентных зацеплений с углом α≥ 28°. Высоту головки зуба детали приходится уменьшать, чтобы избежать заострения вершины зуба фрезы с углом профиля α_W0=α, т. е. углом исходного контура зубчатой рейки колеса;

3) угол профиля может не совпадать с углом давления на делительном диаметре детали. Это необходимо учитывать и при решении задачи подбора фрез из имеющейся номенклатуры;

4) одна и та же фреза с определенным сочетанием α_W0 и r_Г дает различные размеры переходной кривой при обработке колес одного модуля, но с различным числом зубьев. Поэтому и профили зубьев нельзя считать идентичными. Пренебрежение этим обстоятельством может иногда привести к несоответствию нарезаемой детали ее чертежу.

Если заданная величина r_р лежит левее линии Ι-Ι элементы профиля фрезы, отвечающие ограничениям, подобрать не удается. Необходимо расширить ограничения либо откорректировать размеры профиля детали.

Правее линии ΙΙΙ-ΙΙΙ функция (9.16) также не определена, но в этом случае можно ориентироваться в расчетах на уменьшенную величину r_р, что в принципе не противоречит смыслу рассматриваемой задачи. В некоторых случаях по конструктивным соображениям требуется получить впадину на детали полностью скругленной. Тогда неравенство (9.19) надо рассматривать как равенство и величина r_Г определится по формуле (9.19). Решение лежит в точке пересечения ординаты и кривой ΙΙ-ΙΙ.

Перейдем к вопросу определения оптимального решения рассматриваемой задачи. Для каждого r_р существуют две пары сочетаний α_W0 и r_Г (для линии ΙΙ-ΙΙ, например, это точки К₄ и К₅), у которых один из параметров принимает экстремальное значение. Если в качестве критерия оптимальности принять угол α_W0, целевая функция примет вид f₀= α_W0→макс. Тогда для рассматриваемого примера решение будет находиться в точке К₅ с параметрами α_W0=α′_y; rГ=r_Гмин. Если же в качестве критерия оптимальности принять радиус r_Г, то f₀=r_Г→макс, а решение соответствует точке К₄ с параметрами α_W0 = α_yмин и r_Г =r_сопр.

Таким образом, существует возможность поиска решения по любому из двух критериев, причем увеличение одного из оптимизируемых параметров возможно за счет уменьшения другого. Единый, сравнительно объектный критерий, учитывающий результат совместного влияния α_W0 и r_Г на условия зубообработки, не установлен, а потому наиболее логично в качестве целевой функции принимать выражение

F₀= α- α_W0 →мин, (9.22)

потому что если удается подобрать рейку со стандартным углом профиля и удовлетворительной величиной r_Г, то такое решение предпочтительнее любого другого, так как вопрос нормализации элементов профиля не должен упускаться из виду. Исходя из сказанного, ограничение α_W0 по максимуму должно выглядеть так:

α_W0≤ α. (9.23)

Область решений будет представлять собой фигуру К₁, К₂, К₃, К₄.

При α_W0 =α а имеется множество решений, оптимальных по α_W0. В этом случае целесообразно осуществлять последовательную оптимизацию и по второму критерию r_Г (точка К₃).

Рис. 9.15. Образование переходной кривой у ножки зуба

детали

При некоторых значениях α_W0 (или r_W) может возникнуть так называемое подрезание ножки зуба, при котором переходная кривая не плавно соединяет эвольвенту с внутренним диаметром, а как бы внедряется в тело ножки (рис. 9.15,6). Если это явление нежелательно, система ограничений может быть дополнена следующим ограничением:

. (9.24)

Величина α_0подр определяется в таком порядке. Начало эвольвенты лежит на основной окружности. Следовательно, в общем случае ордината последней профилирующей точки фрезы определится из формулы (9.4) путем подстановки r=r_b.

Учитывая, что при этом μ=0, получим

,

откуда

. (9.25)

Вывод этой формулы несложно проследить и по рис. 9.14, используя линию зацепления.

Если в формуле (9.25), пренебрегая величиной r_Г, принять - у₀=h_n0 и рассматривать ее как равенство, то после преобразований получим выражение для α_0подр:

,

из которого видно, что подрезание появляется в тех случаях, когда r_f>r_b, т. е. внутренний диаметр колеса лежит ниже основной окружности. Это особенно характерно для малозубых (z≥18) колес.

Реализация на ЭВМ описанной модели может осуществляться различными методами. В блок-схеме, изображенной на рис. 9.16, используется метод перебора вариантов, начиная с условия α_W0=α, поскольку практически вероятность удовлетворения всех ограничений при этом достаточно велика.

Исходными данными для расчета являются следующие

величины:

m— модуль зубчатого колеса, мм;

z— число зубьев колеса;

α — угол давления на делительном диаметре (угол профиля исходной зубчатой рейки), град;

S_t — толщина зуба по дуге окружности делительного диаметра, мм;

ΔS_t — допуск на величину S_t мм;

d_f — внутренний диаметр колеса, мм;

r_р— граница эвольвентного участка, мм;

r_Гмин— минимальный радиус закругления вершины фрезы по условиям стойкости, мм;

α_b— задний угол при вершине фрезы, град;

α_бок — задний боковой угол, град.

В блоке 2 определяются: расчетная толщина зуба S_tР, делительный диаметр колеса, радиус основной окружности r_b, минимально допустимый угол профиля α_W0мин. При этом принимается начальное значение α_W0= α в соответствии с целевой функцией (9.22).

Рис. 9.16. Блок-схема определения оптимальных размеров

инструментальной рейки

В блоке 3 рассчитывается радиус r_W и толщина зуба фрезы S_n0 на этом радиусе.

При отсутствии подрезания (ветка «да» в блоке 4) рассчитывается ширина головки фрезы в точке G₀ в зависимости от значения r_р, а также ширина фрезы, полностью скругленная радиусом r_сопр. При отсутствии заострения зуба фрезы (ветка «да» в логическом блоке 9) определяется максимально возможный радиус r_Г. При невыполнении условия в блоке 9 r_Г рассчитывается по формуле блока 10.

Если окажется, что рассчитанный радиус r_Г больше минимально допустимого (блок 12), задача решена. В противном случае угол α_W0 уменьшится на 1° и процедура расчета, начиная с блока 3, повторяется либо до решения задачи, либо до того момента, когда процесс проектирования прервется ограничением в блоке 14.

При невыполнении неравенства в блоке 4 определяется точка пересечения переходной кривой и эвольвенты при r_Г = r_Гмин и производится дальнейший анализ.

Координаты точки пересечения определяются совместным решением уравнения эвольвенты:

;

и переходной кривой согласно выражению (9.5):

;

;

.

В этих уравнениях x_пер и y_пер— координаты точки G₀ сопряжения головки и прямой профиля зуба фрезы. Решение приведенной системы осуществляется итерационным процессом, реализация которого на ЭВМ трудностей не представляет.

Червячные зуборезные фрезы с прямобочным реечным контуром по типу основного червяка могут быть архимедовыми или конволютными. Архимедов червяк имеет прямолинейный профиль в осевом сечении и криволинейный (архимедову спираль) в торцевом. Эта особенность позволяет легко осуществить контроль фрез на специальных приборах. Конволютный червяк имеет прямолинейный профиль в нормальном сечении, что упрощает его изготовление, но обычно применяемый контроль специальными шаблонами не обеспечивает достаточной точности.

Профиль червячных архимедовых фрез задается в нормальном и осевом сечениях, а конволютных— в нормальном. Размеры архимедовой фрезы в осевом сечении (рис. 9.17) пересчитываются следующим образом:

Рис. 9.17. Размеры рейки в осевом сечении

при прямых стружечных канавках профиль симметричен:

; ; ;

при винтовых стружечных канавках профиль несимметричен:

;

.

В этих формулах верхние знаки относятся к правозаходным фрезам, нижние - к левозаходным.