Разложение в ряд Фурье.

Варианты заданий.

Рис.6 - Варианты заданий с различными

нелинейными звеньями

Для вариантов нелинейного звена, представленных на рис.6, найти амплитуду и фазу первой гармоники сигнала на выходе звена при входном воздействии x(t) = Asin (t).

21. Дискретное преобразование Фурье.

22. Косинус и синус преобразования Фурье.

23. Ряды Фурье в комплексной форме и их применение.

24. Интеграл Фурье и его применение.

25. Применение рядов Фурье в операционном исчислении.

Результаты решения, полученного расчётным путём, иллюстрировать графически.

Рекомендуется изучить литературу [1],[2],[3],[4],[10]..

Решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей

Варианты заданий.

1 Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, заключенного между горизонтальными пластинами, на которых поддерживается постоянная температура: на нижней пластине T(0,t)=100C, на верхней T(Н,t)=25C, где t – время. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 15С.

Указание: начальное условие представить в виде функции

.

2 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=500 Вт/м².

Температура верхней границы слоя поддерживается постоянной T(Н,t)=20C. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для нижней границы слоя определяется из выражения для плотности проходящего через нее теплового потока:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для нижней поверхности

3 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=100C, причем на верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =50 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для верхней поверхности жидкости определяется из выражения для плотности теплового потока, уходящего с нее во внешнюю среду:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для верхней поверхности

4 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=1000 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=25C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =100 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

5 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, отдающей тепло во внешнюю среду, температура которой равна T_вн=20C, с коэффициентом теплоотдачи =500 Вт/м²К. Нижняя поверхность слоя представляет собою теплоизолятор. Начальная температура жидкости T(y,0)=100C, 0yH.

Указание: отсутствие теплового потока через нижнюю границу соответствует выражению

6. Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,05м, заключенного между двумя горизонтальными пластинами: на нижней поддерживается постоянная температура T(0,t)=150C, а верхняя является теплоизолятором. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 15C до 35С.

7 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=500 Вт/м². Температура верхней границы слоя поддерживается постоянной T(Н,t)=20C. Начальная температура в слое распределена линейно снизу вверх от 15С до 20С.

8 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=80C, причем верхняя поверхность слоя ограничена теплоизолятором. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

9 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м. Верхняя поверхность слоя отдаёт тепло во внешнюю среду, температура которой равна T_вн=20C; коэффициент теплоотдачи =500 Вт/м²К. На нижней поверхности также происходит теплообмен с внешней средой, температура которой T_вн=10C; коэффициент теплоотдачи =80 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=100C, 0yH.

10 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,06м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=2000 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=30C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =200 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH. Посередине между нижней и верхней поверхностями слоя расположена пластина-теплоизолятор.

11 Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,03м, заключенного между горизонтальными пластинами: на верхней поддерживается постоянная температура T(Н,t)=25C, а через нижнюю пластину осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой T_вн=5C; коэффициент теплоотдачи =70 Вт/м²К. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 15С.

12 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=200 Вт/м². Верхняя поверхность слоя ограничена теплоизолятором. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

13. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=100C, причем на верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =50 Вт/м²К. Начальная температура жидкости распределена линейно снизу вверх от 100С до 20С.

14 Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном слое воды высотой Н=0,05м, заключенного между горизонтальными пластинами, являющимися теплоизоляторами. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 90С.

15 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока, линейно уменьшающимся в течении 10 минут с 1000 Вт/м² до 0 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =150 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=25C, 0yH.

16 Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, заключенного между горизонтальными пластинами, на которых поддерживается постоянная температура: на нижней пластине T(0,t)=100C, на верхней T(Н,t)=25C, где 0  t  t_м. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 15С.

Указание: начальное условие представить в виде функции

.

17 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=500 Вт/м².

Температура верхней границы слоя поддерживается постоянной T(Н,t)=20C, где 0  t  t_м. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для нижней границы слоя определяется из выражения для плотности проходящего через нее теплового потока:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для нижней поверхности

18 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=100C, где 0  t  t_м, причем на верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =50 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для верхней поверхности жидкости определяется из выражения для плотности теплового потока, уходящего с нее во внешнюю среду:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для верхней поверхности

19 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=1000 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=25C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =100 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

20 Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, отдающей тепло во внешнюю среду, температура которой равна T_вн=20C, с коэффициентом теплоотдачи =500 Вт/м²К. Нижняя поверхность слоя представляет собою теплоизолятор. Начальная температура жидкости T(y,0)=100C, 0yH.

Указание: отсутствие теплового потока через нижнюю границу соответствует выражению

21. Приближенное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения.

22. Приближенное решение краевой задачи уравнений эллиптического типа.

23. Приближенное решение краевой задачи уравнений

гиперболического типа.

24. Приближенное решение краевой задачи уравнений

параболического типа.

25 .Решение краевых задач с помощью формулы Грина.

Рекомендуется изучить литературу [2],[10].