Вращательное движение абсолютного твердого тела

1. Определите момент инерции шара J относительно оси, совпадающей с касательной к его поверхности. Радиус шара R = 0,5 м и масса m = 5 кг.

2. Чему равен момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 0,5 м и массой m = 0,2 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, которая удалена на a = 0,15 м от одного из его концов?

3. Определите момент инерции J сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

4. Определите момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

5. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой ν₁ = 18 мин ^1. В центре стоит человек и держит на расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы ν, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁ = 3,5 кг·м² до J₂ = 1 кг·м².

6. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м² и вращается с частотой ν₁ = 12 мин ^1. Определите частоту ν₂ вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

7. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν₁ = 10 мин ^1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν₂ будет тогда вращаться платформа.

8. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью  начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м²?

9. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁ = 60 кг. На какой угол  повернётся платформа, если человек пройдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернётся в исходную точку на платформе? Масса платформы m₂ = 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.

10. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 4,9 Н·м. Найдите массу m диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением  = 100 рад/с².

11. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если вращающий момент равен M = 9,81·10^2 Н·м?

12. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определите кинетическую энергию диска E_К через время t = 4 с после начала действия силы.

13. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению  = +Bt²+Ct³ (B = 2 рад/с², C = 0,5рад/с³). Определите момент сил М для t = 3 с.

14. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг·м², вращается с частотой ν = 240 об/мин. Через время t = 1 мин, когда на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определите: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов N маховика от начала торможения до полной остановки.

15. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом R = 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найдите: 1) угловое ускорение колеса ε; 2) через сколько времени после начала действия силы колесо будет иметь скорость, соответствующую частоте ν = 100 об/с.

16. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно Т = 14,7 Н. Какое число оборотов ν в секунду будет делать маховик через t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

17. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз опускается с ускорением a = 2 м/с². Определите: 1) момент инерции в ала J; 2) массу m вала.

18. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой m₁ =10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз m₂ = 1 кг. Определите: 1) зависимость S(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити T; 3) зависимость (t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость  вала через время t = 1 c после начала движения; 5) тангенциальное а_ ускорение точек, находящихся на поверхности вала.

19. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз m₁ = 10 кг. Найдите момент инерции барабана J, если известно, что груз опускается с ускорением  = 2,04 м/с².

20. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг·м², намотан шнур, к которому привязан груз массой m₁ = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h₁ = 1 м. Найдите: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию E_K груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити T. Трением пренебречь.

21. Через блок, масса которого m = 100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г. Грузы удерживаются в неподвижном положении. С каким ускорением a начнут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение блока ε, если его радиус R = 10 см? Трением пренебречь.

22. Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массой m = 10 кг. В момент, когда ведро находилось на высоте h = 5 м от поверхности воды, рукоятка освободилась и ведро стало двигаться вниз. Определите линейную скорость υ рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в колодце, если радиус рукоятки R = 30 см, радиус вала ворота r = 10 см, его масса m₁ = 20 кг. Трением и массой троса, на котором подвешено ведро, пренебречь.

23. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью υ = 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска E_K.

24. Шар диаметром D = 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая ν = 4 об/с. Масса шара m = 0,25 кг. Найдите кинетическую энергию шара E_K.

25. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей частоте ν = 5 об/с, равна E_K = 60 Дж. Найдите момент количества движения этого вала L.

26. Найти кинетическую энергию велосипедиста E_K, едущего со скоростью υ = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем на массу колес приходится m₁ = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

27. С какой наименьшей высоты Н должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R = 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 75 кг, причем на массу колес приходится m₁ = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

28. Какой путь S пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰, если ему сообщена начальная скорость υ₀ = 7,0 м/с, параллельная наклонной плоскости?

29. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью υ = 7,2 км/ч. На какое расстояние S может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен h = 10 м на каждые s = 100 м пути.

30. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) – одинакового радиуса R = 6 см и одинаковой массы m = 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные скорости цилиндров у подножья наклонной плоскости, можно различить их? Чему равны моменты инерции этих цилиндров. За сколько времени каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, угол наклона плоскости  = 30⁰, начальная скорость цилиндров равна нулю.

31. Пуля массой m = 10 г летит со скоростью υ = 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой ν = 3000 с ^1_. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d = 8 мм, определите полную кинетическую энергию E_K пули.

32. Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением  = 0,5 рад/с² и через t₁ = 15 с после начала движения приобретает момент количества движения L = 73,5 кг·м²/с. Найдите кинетическую энергию колеса E_K через t₂ = 20 с после начала вращения.

33. Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за одну минуту частоту вращения от ν₁ = 300 до ν₂ = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг·м². Найдите: 1) угловое ускорение колеса ε, 2) тормозящий момент M, 3) работу сил торможения A, 4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту N.

34. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте ν = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N =75 об. Работа сил торможения равна A = 44,4 Дж. Найдите: 1) момент инерции вентилятора J, 2) момент сил торможения M.

35. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте ν = 10 об/с; его кинетическая энергия E_k= 7,85 кДж. За сколько времени вращающий момент М = 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость в два раза?

36. К ободу диска массой m = 5 кг приложена постоянная касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию E_K будет иметь диск через t = 5 с после начала действия силы?

37. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м и массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν₁= 10 мин ^1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу A, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.

38. Определите тормозящий момент, которым можно остановить за t = 20 с маховое колесо массой m = 50 кг и радиусом R = 0,30 м, вращающееся с частотой ν = 20 об/с. Массу маховика считать распределённой по ободу. Чему равна работа A, совершаемая тормозящим моментом?

39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением  = A+Bt+Ct², где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = 4 рад/с². Найдите среднюю мощность P, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг·м².

40. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением  = A+Bt+Ct², где А = 2 рад, В = 16 рад/с, С = 2 рад/с². Момент инерции маховика J = 50 кг·м². Найдите законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность P. Чему равна мощность в момент времени t = 3 с?

41. Якорь мотора вращается с частотой ν = 1500 мин ^1. Определите вращающий момент М, если мотор развивает мощность P = 500 Вт.

42. Со шкива диаметром D = 0,48 м через ремень передаётся мощность P = 9 кВт. Шкив вращается с частотой ν = 240 мин ^1. Сила натяжения Т₁ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения Т₂ ведомой ветви. Найдите силы натяжения обеих ветвей.

43. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром D = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплён динамометр, к другому подвесили груз весом Р. Найдите мощность P мотора, если мотор вращается с частотой ν = 24 с ^1, масса m груза равна 1 кг и показания динамометра F = 24 Н.

44. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту ν = 10 с ^1? Какую работу А₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?