1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов

Впервые анализ сил, действующих на сверхпроводящее тело в магнитном поле, был проведён Симоном использовавшим аналогию с гидродинамикой идеальной жидкости, [24]. Эта аналогия основана на том, что граничные условия для уравнения Лапласа, описывающего распределение магнитного потенциала вокруг идеального диамагнитного тела, идентичны с граничными условиями для скорости потока идеальной жидкости, обтекающей твёрдое тело той же формы.

Для оценочных расчётов силовых характеристик СЭМП с формирующими сверхпроводящими электромагнитными экранами с малыми рабочими зазорами Бухгольд предложил использовать метод магнитных цепей [26,28].Следует отметить, что этим методом невозможно рассчитывать открытые СЭМП.

Большинство теоретических работ посвящено расчёту силовых характеристик электромагнитных подвесов сверхпроводящих сферических тел. Это было связано с разработкой в 60-70 годах прошлого века криогенных гироскопов и гравиметров со сферическим пробным телом.

Так, в работах [66, 67, 69, 72-76, 80, 90] используется приближённый аналитический подход, согласно которому решение уравнения Лапласа для магнитного потенциала, создаваемого осесимметричной катушкой или системой катушек с током, в той части пространства, которая не содержит источников, ищется в виде разложения в ряд по соответствующим спецфункциям. При малых смещениях сверхпроводящего шара от положения равновесия нарушающих осевую симметрию поправки к решению находятся по теории возмущений. В работах [70, 71, 78, 88] взаимодействие проводников с током со сверхпроводящей сферой находится методом изображений. Существенным недостатком этих двух подходов является невозможность учёта в их рамках эффекта Мейсснера в случае сверхпроводящих токонесущих катушек, а также возможного присутствия сверхпроводящих экранов.

Более эффективным представляется метод интегральных уравнений, так как он в принципе позволяет учесть наличие сверхпроводящих экранов, эффекта Мейсснера и сохранение магнитного потока в многосвязных сверхпроводящих токонесущих цепях.

Бурк в 1964 году первым сформулировал краевую задачу для магнитостатики сверхпроводников в мейсснеровском состоянии в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода для скалярной плотности фиктивных магнитных зарядов наводимых на поверхности сверхпроводников магнитным полем катушек с током. Он численно решил это уравнение для случая аксиально-симметричного сверхпроводящего тела левитирующего в магнитном поле двух соосных с ним токонесущих катушек и рассчитал силовые характеристики такого подвеса [68]. В работе [77] было показано, что расчёт распределения магнитного поля создаваемого двухсвязным осесимметричным сверхпроводящим телом с заданным магнитным потоком сводится к решению одномерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. На основе этого подхода была вычислена подъёмная сила подвеса сверхпроводящего шара над сверхпроводящим тором с захваченным магнитным потоком [79], рассчитана сила взаимодействия двух соосных одинаковых сверхпроводящих колец с током на близком расстоянии друг от друга [82], разработан комплекс численных математических моделей позволяющий моделировать произвольные осесимметричные экранированные СЭМП [86, 87].

Урман разработал общую теорию расчёта электромагнитных подвесов сверхпроводящих тел на основе метода вторичных источников [83-85, 89]. Он показал, что этот метод приводит к системе векторных интегральных уравнений Фредгольма второго рода для плотности вто­ричных источников, решение которых даёт распределение плотности поверхностных токов на сверхпроводящих телах. Путём введения скалярных вторичных источников (фиктивных магнитных зарядов) эти уравнения могут быть сведены к интегральным уравнениям меньшей размерности. Зная распределение вторичных источников интегрированием можно найти распределение магнитного поля в подвесе и рассчитать его силовые характеристики. Если сверхпроводящее тело по форме шар и подвешено в магнитном поле осесимметричных катушек с током, то решение интегральных уравнений сводится к квадратурам. В большинстве других случаев необходим численный счёт.

В настоящее время наиболее универсальным и эффективным методом численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных в многомерных и многосвязных областях сложной формы считается метод конечных элементов [91-95]. Впервые к расчету сверхпроводящих подвесов он был применён в работах [96-100]. В этих работах путём компьютерного моделирования были определены трёхмерные распределения магнитных полей в цилиндрических и сферических СЭМП, создаваемые сверхпроводящими токонесущими конструктивными элементами, а также рассчитаны электромеханические характеристики подвесов.