2. Дифференциальные уравнения и передаточные функции объектов автоматизации

Перед решением задач необходимо изучить разделы 2.2.1 и 2.2.2 учеб­ного пособия /1/.

Объекты автоматизации с возвратно-поступательным перемещением рабочего органа

а) б) в)

Рис. 4.19. Схемы механических систем с линейным перемещением

4.2.15: а) Запишите дифференциальные уравнения для механической системы, изображенной на рис. 4.3 а. Предполагается, что внешние силы отсутствуют, а система приходит в движение только за счет начальных условий.

б) К массе М приложена сила f(t) направленная вниз. Определите пе­редаточную функцию, связывающую эту силу с перемещением массы x₁(t) т.е. .

в) Повторите п. а) для системы на рис. 4.3 б.

г) К массе М на рис. 4.3 б приложена сила f(t) направленная вниз. Найдите передаточную функцию /4/

4.2.2. Для механической системы, изображенной на рис. 4.3 в /4/:

а) Опишите движение системы дифференциальным уравнением.

б) Определите передаточную функцию, связывающую приложенную силу f(t) и перемещение массы y(t) т.е. .

Объекты автоматизации с вращательным движением рабочего органа

4.2.3. Для электромеханической системы, приведенной на рис. 4.4 /4/:

Рис. 4.20. Схема электромеханической системы

а) запишите соответствующие дифференциальные уравнения.

б) изобразите структурную схему системы, считая E_a(s) входом, а _l(s) - выходом.

в) определите передаточную функцию .

г) определите передаточную функцию .

д) определите передаточную функцию .

4.2.4. На рис. 4.5 изображена механическая система с вращательным движением в жидкостной среде.

К внешнему цилиндру с моментом инерции J₁ приложен вращающий момент. Через вязкое трение B₁ энергия передается телу с моментом инерции J₂.

а) Запишите дифференциальные уравнения для этой системы.

б) На основании уравнений из п. а) определите передаточную функцию , где . /4/

3. Определение дифференциальных уравнений и передаточных функций нестационарных систем

Пример 1. Вывести дифференциальное уравнение движения и определить передаточную функцию электропривода переменного тока, используемого для намотки ленты. Принципиальная схема двухфазного электродвигателя привода намоточного станка показана на рис. 4.6 а). Изменение приведенного момента инерции намоточного устройства станка на валу электродвигателя в зависимости от времени изображено на рис. 4.6 б). /5/

Решение. Для составления дифференциальных уравнений необходимо воспользоваться внешней характеристикой двухфазного электродвигателя, полученной, например, экспериментальным путем. На рис. 4.6 в) сплошными линиями показаны подобные характеристики электродвигателя. Аппроксимируя эти характеристики штриховыми линиями с постоянным наклоном, получим линейные зависимости между двигательным моментом и угловой скоростью вращения барабана намоточного станка во всем диапазоне изменения напряжений управления и угловых скоростей.

Запишем уравнение вращения барабана в виде

, 1684168\* MERGEFORMAT (.)

где J_n(t) - приведенный к валу электродвигателя изменяющийся момент инер­ции всех вращающихся частей намоточного устройства.

Как и обычно, момент сопротивления будем считать пропорциональным частоте вращения барабана:

1694169\* MERGEFORMAT (.)

где k_ - коэффициент пропорциональности.

Будем считать, что двигательный момент (рис. 4.6 в) также пропор­ционален напряжению управления u_i т. е.

1704170\* MERGEFORMAT (.)

Имея в виду соотношения 4169 и 4170, получим из уравнения 4168

. 1714171\* MERGEFORMAT (.)

Разделив правую и левую части уравнения 4171 на k_, получим

1724172\* MERGEFORMAT (.)

где ; .

Уравнение 4172 представляет собой линейное дифференциальное уравнение с изменяющейся постоянной времени. Наличие в этом уравнении постоянной Т, зависящей от времени, затрудняет определение передаточной функции динамического элемента из-за его нестационарности. Определим пе­редаточную функцию по уравнению 4172 в форме Л. А. Заде. Для этого введем следующее обозначение:

,

где - символ дифференцирования.

Тогда уравнение 4172 можно записать в виде

. 1734173\* MERGEFORMAT (.)

Последнее выражение представим через импульсную переходную функцию

, 1744174\* MERGEFORMAT (.)

где - импульсная переходная функция; (t–) - дельта-функция, прило­женная в момент t=.

Выполняя преобразование Фурье для уравнения 4174 с переменной , получим

1754175\* MERGEFORMAT (.)

где передаточная функция нестационарной системы

1764176\* MERGEFORMAT (.)

Представим D(p,t) в виде многочлена по степеням p:

.

Полагая и u(t) = W(s, t) и v(t) = e^st, найдем

1774177\* MERGEFORMAT (.)

Если коэффициенты являются медленно изменяющимися функциями времени, что соответствует медленному изменению коэффициента Т(t) уравнения 4172, то для решения уравнения 4177 можно использовать ме­тод итераций. В этом случае, пренебрегая производными, получим решение в виде ряда

1784178\* MERGEFORMAT (.)

Первое приближение совпадает с передаточной функцией уравнения 4172, при «замороженном» коэффициенте T(t_i) который является постоянным коэффициентом для момента времени t_i. Оценим точность метода «замороженных» коэффициентов для уравнения 4172 с помощью уравнения 4177. Для этого уравнение 4172 запишем в следующем виде:

1794179\* MERGEFORMAT (.)

откуда найдем

. 1804180\* MERGEFORMAT (.)

При первом приближении

, 1814181\* MERGEFORMAT (.)

где Т - является постоянным коэффициентом для каждого момента времени t_i, а при втором приближении

,

откуда

1824182\* MERGEFORMAT (.)

Для оценки влияния второго приближения разделим передаточную функцию 4181 на выражение 4182; тогда получим

1834183\* MERGEFORMAT (.)

Из выражения 4183 видно, что чем меньше производная , тем ближе числитель передаточной функции к знаменателю и меньше погрешность от использования метода «замороженных» коэффициентов

Может быть найдено и третье приближение

,

где

.

Третьим приближением следует пользоваться, когда коэффициент Т(t) дифференциального уравнения 4172 не является медленно изменяющейся функцией от времени.

П ример 2. Вывести дифференциальное уравнение движения и определить передаточную функцию электропривода постоянного тока для намотки полосы после холодной прокатки. Принципиальная схема и основные обозначения показаны на рис. 4.7. /5/

Решение. При составлении дифференциальных уравнений целесообразно воспользоваться следующими допущениями:

а) момент сопротивления на валу электродвигателя изменяется линейно от скорости;

б) вихревыми токами в массивных частях железа и действием реакции якоря пренебрегаем.

Тогда уравнения электродвигателя постоянного тока после их линеаризации:

1844184\* MERGEFORMAT (.)

Уравнения вращения якоря электродвигателя имеет вид

, 1854185\* MERGEFORMAT (.)

где J(t) – изменяющийся в функции времени момент инерции всех вращающихся частей намоточного устройства.

Момент сопротивления может быть представлен в виде

1864186\* MERGEFORMAT (.)

Подставляя соотношения 4184 и 4186 в уравнение 4185, получим

откуда

1874187\* MERGEFORMAT (.)

Подставляя полученную зависимость в первое уравнение 4184, найдем

1884188\* MERGEFORMAT (.)

или

1894189\* MERGEFORMAT (.)

Введем в уравнение 4189 следующие обозначения:

.

Тогда получим

. 1904190\* MERGEFORMAT (.)

Уравнение 4190 приведем к обычному виду:

1914191\* MERGEFORMAT (.)

По аналогии с уравнением 4180 найдем

1924192\* MERGEFORMAT (.)

откуда в первом приближении

.

Для второго приближения найдем

Тогда

1934193\* MERGEFORMAT (.)

Пользуясь методом «замораживания» коэффициентов, запишем передаточную функцию электропривода намоточного устройства как первое приближение, в виде

, 1944194\* MERGEFORMAT (.)

г де T(t_i) и (t_i) - соответствующие параметры динамического элемента в момент времени t_i.

4.3.1. Вывести уравнения движения, линеаризовать их и определить передаточную функцию электродвигателя постоянного тока по первому и второму приближениям с учетом изменения коэффициента индуктивности L=L(i) (рис. 4.8 а). Кривая изменения тока в функции от времени изображена на рис. 4.8 б). /5/

Указание. При составлении уравнений движения следует учитывать влияние потока размагничивания. Независимая обмотка возбуждения питается постоянным напряжением u_в.

4.3.2. Вывести уравнения движения, линеаризовать их и определить передаточную функцию электропривода постоянного тока по первому и второму приближениям, если момент инерции электропривода J_Д= J_Д(t), а момент сопротивления M_C=k_v(t)_Д. /5/