4.2. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Принцип суперпозиции полей

Взаимодействие зарядов осуществляется посредством электрического поля – одного из видов материи. Оно сущест- вует вокруг заряженных тел и действует на заряды, помещен- ные в поле, с некоторой силой. Поле, создаваемое неподвиж- ными зарядами и не изменяющееся со временем, называется электростатическим.

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность – это векторная физическая величина, численно равная силе, с которой поле действует на единичный положительный пробный заряд , помещенный в данную точку поля, и направленная в сторону действия силы ( ):

. (4.6)

Словами “пробный заряд” подчеркивается то обстояте- льство, что он не участвует в создании исследуемого поля и не искажает его, т.е. что он достаточно мал и не вызывает пере- распределения зарядов, создающих поле. Если поле создано положительным зарядом, то вектор направлен вдоль радиуса - вектора от заряда; если поле создано отрицательным зарядом, то вектор направлен к заряду (рис. 4.2).

Для поля точечного заряда q сила , действующая на пробный заряд со стороны поля, будет равна

.

Тогда в соответствии с формулой (4.6) напряженность поля точечного заряда

, (4.7)

а модуль этого вектора будет равен

, (4.8)

г де r – расстояние до заряда, создающего поле.

.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Из определения напряженности (4.6) следует, что сила, действующая на всякий точечный заряд q, в точке поля с напряженностью будет равна

. (4.9)

Если q > 0, то и сонаправлены, если q < 0, то направление векторов и противоположны.

Если поле создано системой точечных зарядов , , …, , то из принципа независимости действия сил следует, что результирующая сила , действующая со стороны исследуемого поля на пробный заряд , равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов :

. (4.10)

Учитывая, что , , где – напряжен- ность результирующего поля, – напряженность поля, создаваемого одним зарядом , и подставляя эти выражения в (4.10), получим принцип суперпозиции электростатических полей

, (4.11)

напряжённость E результирующего электрического поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в данной точке каждым из этих зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции (4.11) можно использовать для расчета любых электрических полей.

4.3. Линии напряжённости. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса

Для графического изображения электрических полей применяют силовые линии (линии напряжённости).

Л инии напряжённости – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. 4.3).

Рис.4.3

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных, они непрерывны и не пересекаются.

Густота линий напряжённости выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную силовым линиям, было равно числовому значению вектора .

Рассмотрим некоторую поверхность S, пронизываемую силовыми линиями электрического поля. На этой поверхности выделим элементарную площадку dS, нормаль к которой образует угол a с вектором в окрестности этой площадки (рис.4.4).

Число линий , пересекаю- щих данную площадку, равно

,

где - проекция вектора на нормаль к площадке.

Величина dФ называется потоком вектора сквозь элементарную площадку dS. Полный поток через поверх- ность S определяется путём интегрирования по заданной поверхности

. (4.12)

Физический смысл потока: Ф - число пересечений силовых линий с данной поверхностью.

Поток вектора есть величина алгебраическая, знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверх- ность S. В случае замкнутых поверхностей под нормалью к dS понимается обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор направлен наружу (т.е. силовые линии выходят из объема, охватываемого поверхно- стью) и соответственно dФ положительны, где вектор направлен внутрь - поток dФ будет отрицателен (рис.4.5). Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность зависит только от алгебраиче- ской суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Рис.4.5

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх- ности зарядов, деленной на .

. (4.13)

Теорему Гаусса используют для расчета симметричных электрических полей.

В таблице приведены формулы расчета напряжённостей некоторых симметричных полей, полученные с помощью теоремы Гаусса.

№ п/п	Электрическое поле	Формулы напряженности	Графики
1	2	3	4
1	Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости	где s - поверхностная плотность заряда	x E
2	Поле бесконечно длинной равномерно заряженной нити	r - расстояние от нити, t - линейная плотность заряда	E 1/r r
3	Равномерно заряженная сферическая поверхность	1) r<R , E=0; R где R - радиус сферы, r - расстояние от центра сферы.
Продолжение таблицы
1	2	3	4
4	Поле объемно заряженного шара	г де R - радиус шара, r - расстояние от центра шара, r - объёмная плотность заряда	r R Е 1/r^2