9.3.2. Крутильные колебания

9.53. Наружный диаметр D полого стального вала равен 150мм, внутренний d=100мм, длина вала =2м, один конец вала защемлен, а второй снабжен шкивом, имеющим момент инерции J_m=1кН·с²(рис. 9.37). Определить наибольшее касательное напряжение в сечении вала и наибольший угол закручивания, если к шкиву в плоскости, перпендикулярной к оси вала, будет приложен момент, изменяющийся по закону M=M₀sinpt, где M₀=8 кН·м, р=36 1/с. Силами сопротивления пренебречь.

Решение

1. При нагружении вала моментом M₀sinpt возникают крутильные колебания. Так при отсутствии возмущающего момента угол закручивания равен нулю, наибольший динамический угол закручивания определяют по формуле

2. Так как вид деформирования - кручение, угол закручивания и наибольшее касательное напряжение определяют по формулам

; ; ; , ,

следовательно .

3. Учитывая, что J_mА=J_m, J_mВ=0,определяют частоту собственных колебаний по формуле

4. Для определения жесткости С решают статическую задачу при нагружении вала вращающим моментом М_С в сечении, где приложен возмущающий момент

; ;

5. Вычисляют частоту собственных колебаний

.

6. Вычисляют maxφ_д

7. Вычисляют

9.54. Проверить прочность ступенчатого вала, один конец которого жестко защемлен, а на втором имеется маховик, момент инерции которого J_m=0,5кН·с² (рис.9.38). К маховику приложен момент M=M₀sinpt, где M₀=0,2кН/м, , G=8·10⁴МПа, [τ]=100МПа.

9 .55. К валу с заделанными концами прикреплен маховик, на который действует переменный момент M=M₀sinpt (рис.9.39). Определить длину вала, при которой наступит резонанс и вычислить наибольшие касательные напряжения при этой длине.

Коэффициент затухания , M₀=0,2кН/м, , J_m=0,4Кн·см·с² , d=1 см.

9.3.3. Поперечные колебания

9.56. На конце консольной балки прямоугольного сечения (в·h=12·2 см) длиной расположен электромотор весом Р=0,2 кН. Неуравновешенная вращающаяся часть мотора представляет собой сосредоточенный груз Р₁=10Н, укрепленный на оси мотора на расстоянии ρ=4см (рис.9.40, а). Определить частоту вращения n_об (об/мин), при которой наибольшие напряжения в балке достигнут допускаемого значения [σ]=200МПа. При расчете учесть массу балки (γ=78кН/м³). Силами сопротивления пренебречь. Модуль упругости Е=2·10⁵МПа. Определить наибольшие динамические напряжения в балке, если силы сопротивления существуют и коэффициент затухания n=2 1/с. Продольные колебания балки не рассматривать.

Решение

1. Центробежная сила инерции где р – частота вынужденных колебаний (угловая скорость вращения груза Р₁), вызывает поперечные колебания и поперечный изгиб. Тот же вид деформирования вызывает вес электромотора и собственный вес балки, поэтому формула для определения maxσ_д имеет вид . По условию maxσ_д=[σ].

2. Записывают формулу для определения динамического коэффициента К_д при отсутствии сил сопротивления (n=0) [2]

,

где - частота собственных колебаний; δ_с – статический прогиб сечения, в котором установлен электромотор, под действием веса мотора и собственного веса балки; m_A=P/g; m_B=Fγl/g=bhγl/g – масса балки; β – коэффициент приведения массы балки к сечению, в котором установлен электромотор; β определяется так же, как при ударе и в данной задаче равен 1/3 [2].

3. Решают статическую задачу. Изображают схему нагружения балки силой Р и собственным весом, который рассматривают как равномерно распределенную нагрузку интенсивности q= Fγ=bhγ (см. рис.9.40, б).

Для определения maxM_хс строят эпюру (см.рис. 9.40, в), откуда

.

Для определения используют интеграл Мора (можно способ Верещагина) (см.рис. 9.40, г)

4. Вычисляют частоту собственных колебаний

5. Для определения частоты вынужденных колебаний р получают два уравнения:

а) пусть частота собственных колебаний ω больше частоты вынужденных колебаний p;

б) пусть частота собственных колебаний ω меньше частоты вынужденных колебаний р;

; ; ;

6. Определяют частоту вращения (n_об):

а) ; б) .

7. Определяют maxσ_д при наличии сил сопротивления:

;

а) ;

б)

9.57. Двигатель массой m=500кг установлен посередине пролета на двух двутавровых балках №20, шарнирно опертых по концам. Ротор двигателя массы 200 кг имеет эксцентриситет е=2мм. Определить, при какой частоте вращения наступит резонанс и чему при этом будет равно максимальное нормальное напряжение в балках. Коэффициент сопротивления α=2500Нс/м. Длина пролета =6м, Е=2·10⁵МПа. Учесть массу балок.

Указание.

Коэффициент затухания колебаний определяется по формуле n=α/2m, при этом К₂=Нс/м.

9.58. На двух одинаковых деревянных балках укреплен двигатель, делающий 1400об/мин (рис. 9.41). Подобрать прямоугольное поперечное сечение балок при отношении h/b=1,5 так, чтобы частота собственных колебаний была на 30% больше частоты возмущающей силы. Считая, что наибольшая величина возмущающей силы Н=400 Н, определить наибольшее нормальное напряжение в балках. Массой балок и силами сопротивления пренебречь.