4. Особенности ряда фурье четной и нечетной функций
Пусть функция f(х) задана на и четная.
Проверим, что в этом случае коэффициенты Фурье bn функции f(х) равны нулю. Так как f(х) – четная функция, то произведение f(х)sin nx – нечетная функция (см. том I, гл. II, § 3), и в силу свойства интеграла от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно сказать, что
, то есть (1)
Формулам для коэффициентов можно придать несколько иной вид. Действительно, произведениеf(х)cos nx – четная функция и по свойству интеграла от четной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно написать (см. предыдущую ссылку):
Итак, ,(2)
Таким образом, ряд Фурье, соответствующий четной функции, содержит только члены с косинусом и свободный член:
~
Пусть функция f(х) задана на и нечетная.
Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что в этом случае
(3)
(4)
и поэтому нечетной функции соответствует ряд Фурье, содержащий только члены с синусами:
~
5. Сходимость ряда фурье
Соотношение (2) из § 2 оставляет открытым вопрос о том, сходится ли ряд Фурье функции f(х) в , и, если сходится, то к какой функции он сходится: к функции f(х), породившей этот ряд, или к какой-либо другой функции?
Аналогичный вопрос ставился и в гл. XXII при рассмотрении ряда Тейлора функции f(х). Там были даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ряд Тейлора функции f(х) сходился в именно к самой этой функции. Поскольку не всякая бесконечно-дифференцируемая функция, то есть такая функция, которой можно поставить в соответствие ее ряд Тейлора, удовлетворяет этим условиям, то и не всякий ряд Тейлора сходится к той функции, для которой он составлен.
Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка и для того, чтобы сумма ряда Фурье во всем промежутке, за исключением лишь конечного числа точек, совпадала с функцией f(х), породившей этот ряд Фурье, оказываются достаточными, например, следующие условия, наложенные на функцию f(х):
Т е о р е м а (Дирихле). Если функция f(х) такова, что
1) f(х) имеет в разве лишь конечное число точек разрыва первого рода,
2) f(х) имеет конечный правосторонний предел в точке и конечный левосторонний предел в точке,
3) промежуток можно разбить на конечное число частей, внутри каждой из которой f(х) изменяется монотонно,
то ряд Фурье функции f(х) сходится в промежутке , причем его сумма
а) равна числу ,(1)
если ,
б) равна числу ,(2)
при и при.
Доказательство этой теоремы мы не приводим, так как оно требует довольно длительных и сложных рассуждений.
Замечание 1. Из а) следует, что сумма ряда Фурье во всякой точке , в которой f(х) непрерывна, равна числу . Действительно, еслиf(х) непрерывна в точке х0, то и значение выражения (1) совпадает со значением. Следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функциейвсюду, гденепрерывна.
Замечание 2. Так как члены ряда Фурье являются периодическими функциями с периодом (как было указано в § 1), то из теоремы Дирихле следует, что ряд Фурье при указанных условиях сходится на всей оси.
Замечание 3. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, сама является периодической функцией с периодом(и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле), то утверждения а), б) и в) этой теоремы справедливы не только в промежутке , но и в любом промежутке , где
Таким образом, в любой точке числовой оси, отличной от, сумма ряда Фурье равна значению выражения (1) (еслинепрерывна в точке, то значение (1) совпадает с); в точках видасумма ряда Фурье равна значению выражения (2).
Замечание 4. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, задана на всей оси и непериодическая, то за пределами промежутка утверждения теоремы Дирихле уже не имеют места. Непериодическая функция и периодическая функция – сумма ряда Фурье – не имеют ничего общего за пределами промежутка . Это наглядно можно проследить на рассматриваемых ниже примерах (см. рис. 112 и 113).
Пример 1. Рассмотрим функцию . Она нечетная и, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см. формулы (3) и (4) из § 3):,
Так как функция непрерывна в , то сумма ряда Фурье совпадает с в , то есть можно написать, используя найденные коэффициенты Фурье:
(3)
причем это равенство справедливо для . В точкахсумма ряда Фурье по теореме Дирихле определяется выражением (2):
Впрочем, непосредственно видно, что все члены ряда (3) равны нулю при , и поэтому сумма ряда равна нулю.
Таким образом, в этих двух точках значения суммы ряда Фурье не совпадают со значениями функции . Вне промежутка сумма ряда Фурье дает периодическое продолжение своего графика в , что на рисунке 112 отмечено пунктирными линиями; график же функции продолжен вне сплошной линией, и видно, что эти два графика, совпадающие в , не имеют ни одной общей точки вне .
Пример 2. Рассмотрим функцию . Она четная и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см. формулы (1) и (2) из § 3):
; ;
(при вычислении второго слагаемого в квадратных скобках был использован результат вычислений из примера 1).
Так как функция непрерывна в , то сумма ряда Фурье совпадает с ней во всех точках . Вычислим значение выражения (2):
Оно совпадает со значениями функции в точках, и, следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функциейдля всех:
(4)
Вне промежутка сумма ряда Фурье и функция и на этот раз не имеют ничего общего (см. рис.113, на котором график функциипомечен сплошной линией, а график суммы ряда Фурье вне – пунктирной линией).
Замечание. Разложение (4) можно использовать для нахождения сумм некоторых числовых рядов.
а) Положим в (4) ; тогда получим:
, или , откуда находим:
, то есть (5)
б) Положим теперь в (4) , тогда
Отсюда находим сумму следующего числового ряда:
, то есть (6)
в) Очевидно, что
Отсюда, используя (5), находим:
, то есть (7)
г) Непосредственно из (5) получаем:
, то есть
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке следующим образом:
(8)
Эта функция непрерывна и монотонно возрастает (в широком смысле слова) в . Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье в . Найдем ее коэффициенты Фурье по формулам (1) из § 2. Вследствие того что функция задана разными формулами наи, приходится для вычисления интегралов по разбивать их на два интеграла – по и по:
;
(отсюда видно, что при четныхп и при нечетныхп);
(см. выкладки из примера 1).
Найдем значение выражения (2):
Это число не совпадает со значениями функции в точках(см.(8)), следовательно, равенство
(9)
справедливо только для . На рисунке 114 изображен график суммы ряда Фурье для функции (8).
На этом примере видно, что функция, которая в двух разных половинах промежутка задавалась двумя разными аналитическими выражениями, может представляться во всем единым тригонометрическим рядом (9). Аналогичные факты можно проследить и дальше в § 5 и 6 и в упражнениях к § 4,5.
Пример:
Функция -нечётная, на.Вычислим её коэффициенты Фурье:
Сумма ряда равна 0. Таким образом, в точках значение суммы ряда Фурье не совпадают со значениями функции.