8.4. Пример решения задачи на использование методов

контурных токов и узловых напряжений

Используя схему электрической цепи постоянного тока, показанной на рисунке 8.1:

построить граф, определить общее число ветвей p, узлов q, число независимых узлов m;
построить дерево графа, определить с его помощью независимые контуры;
методом контурных токов рассчитать токи в найденных контурах и ветвях схемы;
преобразуя (при необходимости) источники э.д.с. в источники тока, записать и решить уравнения по методу узловых напряжений, найти токи в ветвях;
сделать выводы по рациональному выбору метода расчета цепи.

Решение методом контурных токов

Граф схемы построен в задаче № 1 и изображен на рисунке 8.2. Из рисунка видно, что число ветвей p=6, общее число узлов q=4, число независимых узлов m=q-1=4-1=3.

Дерево графа изображено на рисунке 8.3. Число ветвей графа, удаленных при построении дерева (главных ветвей), равно трем. Поэтому число независимых контуров также будет равно трем. Контуры найдем, добавляя к дереву последовательно главные ветви. Для найденных контуров запишем контурные уравнения:

В качестве контурных токов I₁₁, I₂₂ и I₃₃ выберем токи главных ветвей графа I₁, I₃, I₆: I₁₁=I₁, I₂₂=I₃, I₃₃=I₆.

Найдем собственные сопротивления контуров:

R₁₁=R₁+R₄=22+20=42 Ом;

R₂₂=R₃+R₅=14+16=30 Ом;

R₃₃=R₄+R₅+R₆=20+24+16=60 Ом.

Общие сопротивления контуров будут равны:

R₁₂=R₂₁=0;

R₁₃=R₃₁=-R₄=-20 Ом;

R₂₃=R₃₂=-R₅=-16 Ом.

Определим контурные э.д.с.:

Е₁₁=-Е₂-Е₄=-120-112=-232 В;

Е₂₂=Е₂+Е₅-Е₃=120+116-124=112 В;

Е₃₃=Е₄-Е₅=112-116=-4 В.

Подставим найденные коэффициенты в контурные уравнения:

В матричной форме полученная система уравнений запишется в виде:

Решая ее с помощью уже упоминавшейся в подразделе 3.1 программы «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента», получим:

I₁=-6,145 A; I₃=3,037 A; I₆=-1,305 A.

Используя найденные значения контурных токов, определим токи в ветвях:

I₂=I₃-I₁=3,037+6,145=9,182 A;

I₄=I₆-I₁=-1,305+6,145=4,84 A;

I₅=I₆-I₃=-1,305-3,037=-4,342 A.

Таким образом, токи ветвей схемы, найденные методом контурных, токов будут равны:

I₁=-6,145 A; I₂=9,182 A; I₃=3,037 A;

I₄=4,84 A; I₅=-4,342 A; I₆=-1,305 A.

Значения токов совпадает с рассчитанными в задаче № 1 задания № 1 с помощью законов Кирхгофа, что подтверждает правильность выполненных расчетов.

Расчет токов методом узло-вых напряжений

Для расчета токов в ветвях методом узловых напряжений пре-образуем источники э.д.с. Е₃, Е₄ и Е₅ с их внутренними сопротивле-ниями R₃, R₄, R₅ в источники тока. Получим схему, изображенную на рисунке 8.7. Значения токов J₄, J₅, J₃ определяются выражениями:

Для записи узловых уравне-ний в общепринятой форме узлы г, в, е, а обозначены цифрами 0, 1, 2, 3. В качестве базисного узла выбираем узел 0. Положительные направления узловых напряжений U₁₀, U₂₀, U₃₀ выбираем к базисному узлу.

Запишем узловые уравнения в общем виде: