303208

Лабораторная работа №2 Решение нелинейного алгебраического уравнения

(метод деления отрезка пополам, метод касательных, метод

1. Методические указания к выполнению работы

Всякое уравнение с одним неизвестным имеет вид

( ) = ,

хорд)

(1)

где ( ) − заданная функция, определенная на некотором числовом множе-

стве X. Совокупность значений переменной X, при которых уравнение превратится в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение X из этой совокупности – корнем уравнения. Нахождение корней уравнения с помощью точных аналитических формул выполняется в частных случаях. В большинстве практически встречающихся уравнений их решение можно вы-

полнить только приближенными методами.

Приближенное определение изолированных действительных корней уравнения ( ) = состоит из двух этапов:

1.Отделение корней.

2.Уточнение приближенных корней.

Для отделения корней достаточно провести процесс половинного деле-

ния, приближенно деля данный интервал [; ] на две, четыре и т. д. равные части и определяя знаки функции ( ) в точках деления.

Основное внимание в данной работе будет уделено методам, позволяющим уточнить приближенные значения корней, т. е. довести их до заданной степени точности.

Метод деления отрезка пополам

Для нахождения корня уравнения (1) заданный интервал [; ], содержа-

щий отдельный корень, делится пополам: с = + .

Если = , то = + является корнем уравнения (1). Если ( ) ≠ ,

то выбирается та половина интервала [; ] или [; ], на концах которой функ-

ция имеет противоположные знаки, т. е. проверяется условие

11

I=1

с=(a+b)/2

нет

f(a)f(с)<0

	даb= с
			a= с

I=I+1

нет

|b-a|<e

да

х=(a+b)/2

( ) ∙ ( ) < .

Если это условие выполняется, то произво-

дится переприсваивание = , в противном случае = . Затем суженный отрезок

[; ] вновь делится пополам и т.д.

Эти действия проводятся до тех пор, пока не будет выполнено условие:

| − | ≤ ,

где [; ] – значения аргумента на концах постоянно сужающегося интервала; ε – заданная точность расчета.

Блок-схема метода половинного деления представлена на рис.6.

Рис.6. Блок-схема алгоритма	Метод касательных
метода половинного деления	Суть этого метода легко объясняется
графиком, иллюстрирующим соответствующий метод.		Предположим, что
′( ) > и ′( ) > (рис. 7).
Из точки B проведем касательную к кривой = ( ). Точка ее пересечения с
осью абсцисс даст первое приближение корня .
( )		( )

′′( )>0

(1)

0
		ζ	2	1
		( )

Рис.7. Графическая интерпретация метода касательных

12

( )

Второе приближение можно получить, проведя касательную из точки с координатами [ ,( )] и т. д. Как видно из рис.7, приближенные значения корня сходятся к их точному значению ζ.

За начальное приближение следует выбирать тот конец интервала, в ко-

тором знак функции ( ) и ее второй производной ′′( ) совпадают. Расчетная формула метода касательных имеет следующий вид:

+1 = − ′( ) .

Оценка погрешности метода производится по формуле

| − | ≤ 2 ( +1 − )2, 21

где – наименьшее значение

нет

f′(a)*f″ (a)>0

да

		x=a							x=b
		i=1
x1 x				f xi
				f ' xi

d=|x1-x|

i=i+1

x=x1

нет	да

d< ε

Рис.8. Блок-схема алгоритма метода касательных

| ′( )|; – наибольшее значение | ′( )| на
отрезке [; ]. При	≥ , где N – неко-
торое число, имеем

| − | ≤ | +1 − |.

Блок-схема метода касательных пред-

ставлена на рис.8.

Метод хорд

Для определенности положим

′( ) >

при ≤ ≤ . Тогда кривая = ( ) будет выпукла вниз. Возможны два случая:

1) ( ) > ; 2) ( ) < .

Рассмотрим первый случай (рис.9а). Соединяем хордой точки A и B. Место

пересечения прямой с осью абсцисс дает первое приближение корня . Затем, соединяя между собой точки A и [ ,( )],

получим второе приближение и т. д.

13

Во втором случае (рис.9б) рассуждения проводятся аналогично.

( ) ( )

′′( )>0

0		2		1
			ζ
( 1)
						( )

Рис. 9а. Метод хорд (( ) > )

На рис.9а неподвижен конец A, а на рис.9б конец B, и в том и в другом примере приближения сходятся к точному значению корня.

Таким образом, неподвижен тот конец, для которого знак функции ( ) совпадает со знаком ее второй производной ′′( ).

	( )
		( )

′′( )>0

0		2		А
				1
					ζ
				( )

Рис. 9б. Метод хорд (( ) < )

Здесь рассмотрены два варианта поведения функции ( ), при других видах функции последовательность расчетов сохраняется.

14

Каждое последующее приближение корня в зависимости от значения предыдущего определяется по формуле

		(	) ∙ ( −	)
	= −				,	= 0,1,2, …,
+1		( ) − ( )

где , ( ) – значения аргумента и функции в неподвижном конце.

Блок-схема данного метода представлена на рис.10.

i=0

да

нет

f (a)<0

=

=

( − ) ( )

( − ) ( )

= −

= −

( ) − ′( )

( ) − ′( )

+1

+1

= |

− |

= |

− |

+1

+1

i=i+1

i=i+1

=

=

+1

+1

нет

нет

d<e

d<e

да

да

Рис. 10. Блок - схема алгоритма метода хорд

Оценка погрешности производится по выражению

15

| − | ≤

−

| + − |,

где и

– соответственно наибольшее и наименьшее значения | ′( )| на

отрезке.

Если отрезок [ ; ] столь узок,

что имеет место неравенство ≤

,

то формула упрощается:

| − | ≤ | + − |.

Таким

образом,

как

только

будет

обнаружено,

что

| + − | ≤ ,

то гарантировано, что |ξ − xn| ≤ ε.

2. Задание

Используя заданный итерационный метод, составить программу вычис-

ления корня уравнения	f( ) = 0	на отрезке [ ; ] с точностью
= 10−2;10−3;10−4;10−5.

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. стр.19).

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи.

3.1. Использовать подпрограмму-функцию для вычисления f(x) и f′(x).

3.2.Использовать подпрограмму для вычисления корня уравнения с точностью заданным методом.

3.3.В программе сделать проверку принадлежности корня заданному отрезку [ ; ] (т.е. ( ) ( ) < 0). Если корня на данном отрезке нет, то напе-

чатать соответствующее сообщение и самостоятельно подобрать значения a,b.

3.4. В программе точность задавать как массив из четырех значений.

3.5. Результаты представить в виде таблицы:

16

Точность	Корень	Кол-во итераций
= 10−2
= 10−3
= 10−4
= 10−5

4. Составить отчет по лабораторной работе.

Алгоритм вычисления корня уравнения

1.Вычислить ( ) ∙ ( ) < 0 – определение принадлежности корня задан-

ному отрезку [ ; ].

2.Если корня на данном отрезке нет, то напечатать сообщение об отсутствии корней на данном интервале.

3.Если корень на данном интервале присутствует, то вычислить при-

ближение корня.

4.	Находится модуль разности значений		= |	− | и сравнивается с
			+1
	заданной погрешностью ε.
5.	Если	модуль разности не превышает ε,	то последняя вычисленная точ-
	ка xi	считается корнем уравнения (рис.11).

4.Контрольные вопросы

1.Из каких этапов состоит процесс нахождения корней?

2.Как определить наличие корня уравнения на заданном интервале?

3.Что называется решением и корнем уравнения?

4.Напишите рабочие формулы заданных преподавателем методов.

5.Дайте геометрическую интерпретацию указанных методов.

6.Рассказать два варианта поведения функции f(x) при вычислении корня методом хорд.

7.Как найти начальное приближение в методах хорд и касательных?

8.Как производится оценка погрешности изучаемых методов?

17

		начало
		Ввод ,
		нет
		( )( ) < 0
		да
		Начало цикла k=1,4
	Вывод
	сообщения	Ввод
	«корней нет»
		Конец цикла по k
		Начало цикла k=1,4
		П/п вычисления
		корня с
		точностью
		Вывод ,,
		Конец цикла по k
		конец
		Рис.11.- Блок-схема алгоритма
		вычисления корня уравнения

18

							5. Варианты заданий
Номер						Функция					Отрезок			Номер
варианта							f(x)					[ ; ]		метода
1		4 + 0,5 3 − 4 2 − 3 − 0,5 = 0										[2;	3]	1
2	2	− 1,3ln( + 0,5) − 2,8 + 1,15 = 0										[2;	4]	2
3					sin( ) − 0,2 = 0							[0,5;3]		3
4					( )− = 0							[1;	2]	1
5					5 − − 0,2 = 0						[0,9;		1,1]	2
6					5	3	− − 1 = 0				[	0,1;	]	3
													0,8
7					3 + − 1000 = 0						[9,1;10]			1
			2	2( ) −				3	2(2 ) = 0
8												[0;	1]	2
		3					4
9		(4 + 2)( − − ) − 18 = 0										[1;2],		3
10					3 − 2 − 5 = 0							[1; 3]		1
11					2 − 1 = 0							[0;	1]	2
12			− ( + 0,5) − 0,5 = 0									[0;	2]	3
13					− 3 ( ) − 5 = 0							[2;4,5]		1
14		3			− 0,2 2 − 0,2 − 1,2 = 0							[0,5;2]		2
15					3 − 4cos( ) − 3 = 0							[0;2,5]		3
							19

Лабораторная работа №3 Решение системы линейных алгебраических уравнений

1. Методические указания к выполнению работы

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на точные и приближенные. К точным относятся, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др. К приближенным – методы итерации, Зейделя, релаксации и др. Рассмотрим некоторые из них.

Метод Гаусса

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными

11 1		+ 12 2	+ 13 3	= 14	,
{ 21	1	+ 22 2	+ 23 3	= 24	,	(1)
31	1	+ 32 2	+ 33 3	= 34 .

Допустим 11 ≠ 0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого

уравнения системы (1) на 11 , получим
1 + 12 2 + 13 3 = 14,				(2)
где
	=	1	(j=2, 3, 4).
1		11
С помощью уравнения (2) исключается неизвестная				1 из системы (1).

Для этого необходимо из второго уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на 21 , и из третьего уравнения системы вычесть (2), умноженное на 31.

В результате получим следующую систему уравнений:

					(1)			+ (1)	3	= (1)	,
					{	22	2	23		24		(3)
						(1)		+ (1)		= (1),
						32	2	33	3	34
где коэффициенты	(1) вычисляются по формуле
(1)	=		−	1				( = 2,3 и				= 2,3,4) .
					1

20