303208

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3) на ведущий эле-

мент (1)22 , получим

		+ (1)							= (1)	,	(4)
	2		23					3	24
где
			(1)
	2(1) =			2		(j= 3, 4).
				(1)
				22
Исключая 2	таким же образом, каким было исключено 1, будем иметь
	(2) = (2)								,		(5)
	33		3					34
где
	(2)	= (1)						− (1) ∙ (1)			( = 3,4) .
	3				3				32	2
Тогда
					(2)				(2)
			=			34		= .			(6)
						(2)
	3								34

33

Остальные неизвестные определяются из уравнений (4) и (2):

2 = 24(1) − 23(1) ∙ 3

1 = 14 − 13 3 − 12 2 .

Таким образом, процесс решения системы уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (2), (4), (6), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех ведущих элементов. Процесс нахождения ко-

эффициентов треугольной системы называется прямым ходом, процесс по-

лучения значений неизвестных – обратным.

При большом числе неизвестных системы схема метода Гаусса становится сложной. В этих случаях можно воспользоваться приближенными численными методами. Рассмотрим один из них.

Метод итерации

Пусть дана линейная система

21

			+		+ +	1	= ,
			11 1	12	2			1
{			+		+ +		= ,		(7)
			21 1	22	2	2		2
	− − − − − − − − − − − − − − −
			+	2	+ +		= .
		1 1			2
Предполагая, что диагональные коэффициенты
			≠ 0,		( = 1,2,… , ),

разрешим первое уравнение системы (7) относительно 1, второе – относитель-

но 2, и т. д. В результате получим эквивалентную систему уравнений

					+ + … +														,
						1=	1		12			2		13	3			1
					+ + … +														,
		{				2=	2		21			1		23	3				2		(8)
					− − − − − − − − − − − − − − −
						+ + … +														.
			=						1	1			2	2		( −1) −1
где
	=					,		= −					при		i≠		(i, j=1,2, …, n).
Вводя в рассмотрение матрицы
									11				12		1				1
						= | 21							22		2 | и = |						|
																				2
									1				2
систему (8), можно записать в матричной форме
													= +								(9)
Если за нулевое приближение принять столбец свободных членов и под-
ставить его в правую часть уравнения (9), то получим первое приближение
											1 = + 0.
Аналогично 2 = + 1. Любое (n + 1)																	приближение вычисляется по
формуле	+1	= +					.	Процесс итерации продолжается до тех пор, пока
не будет выполнено условие									|	+1			− |		≤ .

Блок-схема алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом итерации приведена на рис. 12. Исходными данными являются: N

– порядок системы, ε – заданная точность расчета; ( , ) – элементы матрицы коэффициентов при неизвестных; ( ) – вектор свободных членов; ( ) –

начальное приближение к решению; X( )– рабочий массив.

22

Начало

Ввод

N,E,Y(N)

= 0

a

= 1

( ) = ( )

= 1

д

=

нет

( ) = ( ) − ( , )

= + 1

д

≤

нет

( )

( ) = ( , )

= + 1

д

≤

нет

= 1

| ( ) − ( )|	нет
>
д
= 1
( ) = ( )
= + 1
	д
≤
нет
нет
= + 1
a
= + 1

д

≤

нет

Вывод X(I),

S

Конец

Рис.12. Блок - схемаЗаданиеалгоритма метода итераций

23

2. Задание

Решить систему линейных уравнений = методом Гаусса.

11 1 + 12 2 + 13 3 = 1 , { 21 1 + 22 2 + 23 3 = 2 ,31 1 + 32 2 + 33 3 = 3 .

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с.27).

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи. Исходными данными являются:

Порядок уравнения системы ;

Массив коэффициентов при неизвестных ( ; + 1).

4.Составить отчет по лабораторной работе.

Алгоритм решения системы n линейных уравнений методом Гаусса

Блок–схема алгоритма решения систем линейных уравнений приведена на рис.13. Алгоритм состоит из следующих основных этапов.

1. Представление исходных данных в виде массива – прямоугольной матрицы вида

		11	12		1	1, +1
		21	22		2	2, +1
	= |							|,
		1	2			, +1
где
	1, +1	= ,	2, +1	= … ,		, +1	= .
		1			2,

2. Первая строка матрицы делится на 11, затем умножается на

,1( = 2,3,… , )

и вычитается из к-й строки (последовательно из 2-,3-,…, n-й строк); элементы первого столбца матрицы, начиная с 21 и до 1, становятся нулями:

24

Начало

Ввод n,

A(n,n+1)

Цикл

= 1, − 1

= ,

Цикл

= 1, + 1

, = ,/

Конец цикла по J

Цикл

= + 1,

Цикл

= 1, + 1

, = , − , ,

Конец цикла по L

Конец цикла по K

Конец цикла по I

= , +1/ ,

Цикл

= − 1, − 1

= 0

Цикл

= + 1,

= + ,

Конец цикла по J

= , +1 −

Конец цикла по K

Вывод ( )

Конец

Рис.13. Блок - схема алгоритма метода Гаусса

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

	1	12	1	1, +1
1	0	22	2	2, +1
= |					| ,
		2		, +1

где обозначение 1 принято для преобразованной матрицы.

3.Вторая строка матрицы 1 делится на 22, затем умножается на 2 и вычитается из всех строк = 3,4,… , .

4.Действия, аналогичные перечисленным в п.3, повторяются до тех пор , пока подобная процедура не будет проделана с (n-i)-й строкой матрицы; матрица будет приведена к виду

1	12 13			1	1, +1
0	1 23			2	2, +1
−1 =					.
| 0	0	0	1	−1,	−1, +1	|
0	0	0	0	,	, +1

5.Элементы последней строки полученной матрицы позволяют вычислить значение

= , +1.

,

6. Значение

корня

используется для отыскания

−1

при подстановке в

(n-i)-ю строку треугольной матрицы

−1, а затем вычисляются остальные

корни

,… ,

по формуле

−2

1

=

, +1

− ∑

.

= +1

4.Контрольные вопросы

1.Объяснить последовательность вычисления корней методом Гаусса.

2.Назвать необходимые и достаточные условия применимости метода Гаусса.

26

3.Какие этапы называются прямым и обратным ходом решения?

4.В чем заключается преимущество метода Гаусса перед методом итерации?

5.Объяснить последовательность вычисления корней методом итерации.

6.Объяснить сущность метода Гаусса с выбором главного элемента.

7.Как производится оценка погрешности в методе итерации?

8.Написать формулу первого приближения методом итераций.

9.Написать формулу вычисления корня методом Гаусса.

5.Варианты заданий

№	Матрица						№	Матрица
	коэффициен-				Вектор			коэффициен-				Вектор
вари-							вари-
		тов			B				тов			B
анта							анта
			A							A
1			2		3		4			5		6
	9	5	4	7	0			2	1	5	2	1
	4	6	8	7	6			5	2	2	6	3
1	5	8	7	6	3		8	2	2	1	2	0
	5	6	8	7	7			1	3	3	1	2
	9	5	3	8	3			7	6	2	7	3
	4	6	7	4	8			4	9	5	5	2
2	2	3	5	3	1		9	2	3	4	9	0
	4	8	3	7	7			1	5	6	9	2
	1	4	2	5	3			3	6	5	7	3
	4	4	5	3	8			4	6	3	5	0
3	1	2	6	8	1		10	2	3	2	6	4
	3	7	3	2	7			2	4	3	6	3
	2	3	5	2	3			9	5	4	7	0
	5	2	7	5	2			4	6	8	7	6
4	4	2	1	7	3		11	5	8	7	6	3
	7	5	4	1	2			5	6	8	7	7
						27

1			2		3	4			5		6
	9	6	3	8	3		9	6	3	8	3
	4	6	7	4	1		4	6	7	4	1
5	2	3	5	3	4	12	2	3	5	3	4
	4	8	3	7	2		4	8	3	7	2
	2	4	7	4	2		2	3	5	2	3
	4	1	6	2	0		5	2	7	5	2
6	8	3	6	7	3	13	4	2	1	7	3
	6	3	5	7	1		7	5	4	1	2
	3	3	4	5	1		1	4	2	5	3
	2	6	4	6	4		4	4	5	3	8
7	3	4	5	5	0	14	1	2	6	8	1
	1	9	3	6	3		3	7	3	2	7

Лабораторная работа №4 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

методом Рунге-Кутта
1. Методические указания к выполнению работы
Пусть дано дифференциальное уравнение
′ = ( , ),	(10)

удовлетворяющее начальному условию ( 0) = 0. Требуется найти решение

этого		уравнения на интервале	[	0	,		]	c заданной точностью. Интервал
[	,	] разбивается на n равных частей c помощью точек
0

= 0 + ( = 0,1,2,… ).

Решение уравнения (10) находится не для всех точек интервала, а лишь для дискретных значений

( = 0,1,2,… , ).

28

В методе Рунге-Кутта для определения значения функции необходимо четырежды вычислить производную и результат усреднить. Погрешность этого

метода пропорциональна	5.
При этом для каждой точки рассчитываются следующие коэффициенты:
			= ∙ ( , );
		1
		= ∙ ( +			, +		1			);
				2
	2							2
		= ∙ ( +			, +	2			);
				2
	3							2
	= ∙ ( + , + ),
		4						3
а затем значение функции по формуле
	= + ( + 2				+ 2			+ )/6.
+1			1	2	3			4

Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднена. Поэтому для проверки правильности выбора шага h используют двойной пересчет значений в каждой точке; один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.

Если условие

| − /2|		≤	(11)
15

выполняется, то шаг h выбран правильно, и переходят к расчету в следующей точке. В противном случае шаг уменьшается вдвое и расчеты повторяются. В

формуле (11): , /2 значения функции, рассчитанные с шагом h и h/2 соот-

ветственно.

Блок - схема алгоритма метода Рунге–Кутта приведена на рис.14.

2. Задание

Найти решение дифференциального уравнения в интервале [ 0, ] с точностью = 10−3.

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с. 30).

29

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи. Исходными данными являются:

Начало и конец интервала интегрирования – 0, ;

	Начальное значение функции 0;
	Точность расчета ε; H – шаг интегрирования;

вспомогательный массив (3).

4.Составить отчет по лабораторной работе.

4. Варианты заданий

	Номер	Уравнение	у	х0	хn
	Варианта
	1	у' = 1/у + х	1	0	0,5
	2	у' = х + у	1	0	1
	3	у' = 2ху + ху2	0,5	0	0,5
	4	у' = х2у2 – 1	1	0	1
	5	у' = у2х2	1	0	0,5
	6	у' = (1 – х2)/у + 1	1	0	1
	7	у' = 1 + х + у	1	1	2
	8	у' = 1+ ху/3	1	0	1
	9	у' = х + у + 1	1	0,5	1,5
	10	у' = 1/5ху	1	0,5	1,5
	11	у' = х2 + 1/24у2	0	0,3	1,3
	12	у' = 1 + ху2	0	0	0,5
	13	у' = х2 –1/5у2	0	0	0,5
	14	у'= –0.5у2 + 0,1/(х + у)2	2	1	2
	15	у' = 1 + ху	1	0	1
		30