6.В столбцах Е, F, G таблицы вычислим значения коэффициентов а, в,, с, по формулам (6.58-6.59), как это показано на рис. 6.22.
7.В столбце Н таблицы сформируем вектор правой части СЛАУ, вектор D (6.61).
Таким образом, разностная система (6.57) сформирована и можно приступать к ее решению методом прогонки, алгоритм которой приведен в подразделе 2.2.3.
8.Прямой ход начинаем с вычисления значений U0, и У0 по формулам (2.14) в ячейках J8 и К8.
9.Значения Lh Ut и Vt вычислим в ячейках 19, J9 и К9 по рекуррентным формулам (2.15) и скопируем их вниз для /=2,3,..л-1 (т.е. для 1=2,3). На этом прямой ход метода прогонки закончен.
10.Обратный ход прогонки. Значение неизвестного у„ (п=4) вычислим в ячейке L12 по формуле (2.17).
11.Остальные значения у,-, /=0,1,2,3 вычислим по формуле (2.13). Для этого в ячейку L11 введем формулу =Л1*Ы2+К11 и скопируем ее вверх.
Полученное решение Y {0.000, 0.319, 0.554, 0.683, 0.683} можно принять за первую итерацию (первое приближение) решения исходной задачи.
Построение второй итерации
Для выполнения второй итерации сделаем сетку вдвое гуще (и=8, шаг й=0,125) и повторим приведенный выше алгоритм.
Это можно проделать на этом же листе книги Excel. Однако, если необходимо графически сравнить два приближения, то вторую итерацию надо построить на другом листе книги Excel.
Последовательность действий.
1.Сделаем копию листа Excel (рис.6.24) для п=4 на новый
лист.
2.В ячейку В2 введем число разбивок и=8.
Yi(h/4) |
X i |
О.ООО |
о |
0 .121 |
0.0025 |
0.238 |
0.125 |
0.360 |
0,1075 |
0.460 |
0.25 |
0.557 |
О.Э125 |
0,051 |
0.375 |
0.730 |
0.4375 |
0.810 |
0.5 |
0 .802 |
0.5025 |
0.050 |
0.025 |
1.011 |
0.0075 |
1.050 |
0.75 |
1.000 |
0.0125 |
1 .114 |
0.875 |
1.120 |
0,0375 |
1.120 |
1 |
Рис. 6.26. Результаты 3-й итерации
Сравним полученные приближения. Для наглядности можно построить графики этих двух приближений (двух сеточных функций) (рис.6.27).
Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
Данные для построения графиков двух приближений (итераций) находятся на двух листах книги Excel и приведены для
двух разностных сеток Q10 и |
(//=0,125 и А=0,25). |
1.Активизируем уже построенный график и выберем команду меню Диаграмма\Добавить данные
2.В окне Новые данные укажем данные х,-, у,- со второго листа для разностной сетки с шагом А/2 (//=8).
3.В окне Специальная вставка установим флажки в полях:
>новые ряды,
>катег ории (значение оси х) в первом столбце.
4.Аналогично строится третий график сеточной функции для А/4=0,0625 (рис. 6.27).
у
X
1.2
Рис. 6.27. Сравнение результатов трех итераций
Как видно из приведенных графиков (см. рис.6.27), итерационный процесс является сходящимся, но решение следует продолжить и построить следующее приближенное решение для л=32.