Техническая электродинамика.-1

130

Таблица 5.6 – Исходные данные к задаче 5.3.6

	Первая цифра		1		2		3		4		5		6		7	8		9		0
	номера варианта
	1		1.15		1.2		1.3		1.4		1.25		1.36		1.28	1.18		1.19		1.27
	Вторая цифра		1		2		3		4		5		6		7	8		9		0
	номера варианта
	2		5.2		3.7		4.6		3.5		4.4		4.2		4.7	5.6		3.8		5.3
	Третья цифра		1		2		3		4		5		6		7	8		9		0
	номера варианта
	1		1.15		1.2		1.3		1.45		1.25		1.36		1.18	1.16		1.12		1.23
	2		1.1		1.25		1.35		1.4		1.15		1.26		1.28	1.28		1.19		1.1
Таблица 5.7 – Исходные данные к задаче 5.3.7
	Вторая цифра			1		2		3		4		5		6	7	8		9		0
	номера варианта
	ПСР, Вт/м2			5.2		3.7		4.6		3.5		4.4		4.2	4.7	5.6		3.8		5.3

5.3.8 Амплитуда вектора напряженности магнитного поля падающей плоской электромагнитной волны равна Н. Волна падает из вакуума по направлению нормали к поверхности раздела на границу раздела с металлом, параметры которого равны и = 1. Вычислите амплитуду вектора напряженности электрического поля на поверхности раздела, если частота поля f. Значения Н, и f приведены в таблице 5.8 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.

Таблица 5.8 – Исходные данные к задаче 5.3.8

	Первая цифра			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	номера варианта
		Н, А/м		1.25	1.45	1.3	1.4	1.5	1.6	1.8	1.9	1.35	1.7
	Вторая цифра			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	номера варианта
			, См/м	3.2	1.8	2.6	3.5	2.4	4.2	4.7	3.6	2.8	3.3
		107
	Третья цифра			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	номера варианта
		f, ГГц		4	3	6	5	7	2.5	1.4	1.6	1.8	2

131

6ТЕМА 6. ВОЛНОВОДЫ

6.1Основные формулы

Прямоугольный волновод.

Для волны типа Е в прямоугольном волноводе E z 0, H z 0 , тогда согласно формулам перехода

j h

E z

j 0

E z

E x

,

H x

,

g 2

x

g 2

y

j h

E z

j 0

E z

E x

,

H x

,

g 2

y

g 2

x

где h - продольное волновое число,

g - поперечное волновое число, ко-

торые связаны соотношением h2 g2 02

или h 0

sin ,

g 0 cos , - угол

падения, 0

2 0 .

На стенках волновода должны выполняться граничные условия

							при		x 0, x a		,
E z 0
									y	0, y b
	E z		0				при		y 0, y b,
	x
	E z		0				при		x 0, x a,
	y
где a и b - размеры большой и малой стенки волновода.
Из граничных условий следует, что
			m 2				n 2
g										,
			a				b
где m и n - целые числа, m - число стоячих полуволн вдоль широкой
стенки волновода, а n					- вдоль узкой стенки b . Величина g , отвечающая паре

чисел m и n , носит название собственного значения краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

Продольное волновое число h

2

g2 . При g,

h 0 и, следователь-

но, в , которая называется критической длиной волны кр .

кр

2

2

;

откуда вводится

g

m

2

n

2

a

b

c

c

m

2

n 2

f кр

.

кр

2

a

b

132

Длина волны в волноводе в , длина волны генератора 0 и кр связаны соотношением

1			1					1						или	в				0				.
в				20				2кр									1 0 / кр 2
						c											d						0			2
ф														;	гр				c	1					.
											2
																	dh
							0																	кр
		1
							кр

Откуда

ф гр c2 на любой рабочей частоте,

Для волны типа Н,		H z		0, E z 0 .
Тогда	j 0				Hz
Ex						,
	g2
					y
	j 0				Hz
E y						,
	g2
					x

			0		2
							0
	ZcE Z0	1			, Z0			.
							0
			кр

	j h				Ez
Hx							,
	g2					x
Hx j h						Ez .
		g2				y

Граничные условия запишутся

	H z	0	при	y 0, y b,
	y
	H z	0	при	x 0, x a.
	x

Каждой паре индексов m , n соответствует волна Н -типа, обозначаемая H mn . Формулы для g, кр , в и ф остаются прежними, записанные для Е -

волн.

Основной волной в прямоугольном волноводе (при заданном a может распространяться волна с максимальной в ) является волна H10 , для которой

кр 2 a .

Плотность потока мощности

		1					0 h a	2
П1		2	E y iy H x ix				2 2

2	sin	2		x		,
H0					iz
				a

откуда видно, что для волны

максимальна в центре волновода

H10	плотность потока
	x	sin	a	sin
sin			2 a
	a				2

мощности будет

1.

Поток мощности вдоль координаты x будет

		1					0 a
								2
П 2		2	E y iy H z			iz j	4	H 0

	2		2 x
sin					ix .
			a

133

Эта часть потока мощности чисто мнимая (реактивная) в переносе мощности не участвует и связана с образованием стоячих волн вдоль поперечной оси х.

Характеристическое сопротивление

ZCH				Z0					.
					0		2
		1
					кр
Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу волной типа H10
будет
	E max2			a b						0 2
Pс р								1			.
	480
										2 a

Круглый металлический волновод.

			Ym n r
Для волны типа E mn	E z E 0	J			cosm ,	H z 0 , тогда
			a

2

Y 2

a

Y

r

E

j h E

m a

J

m n

J

m n

cosm e j h z

,

r

0

Y 2

r

m

a

Ym n

m 1

a

m n

m a 2

Ym n

r

E

j h E

0

J

m

sin m e j h z ,

2

a

Ym n r

Ym n r

E

z

E

0

J

m

cosm e j h z ,

a

0

0

H r

h

E ,

H

h

E r ,

H z 0

,

где

r, , z - координаты цилиндрической системы координат, ось z ко-

торой совпадает с осью цилиндра, a - радиус волновода, Ym n - корни функции Бесселя.

Критическая длина волны													крE					2			2 a				,
																	g m n				Ym n
																m n
а	в					0						;						ф										c					.
								0		2																			0		2
				1																			1
																												кр
								кр
Характеристическое сопротивление
																													2
				E r E r					E				E												0
	ZCE														120				1								.
																							кр
			H r H r						H				H

Основным типом волны является волна E 01 .

134

пс рz 12 E r H

	Pcp	0 a 2
		Y2
		01

		0 a 2 h	2		Y01		r
			E0	J1					,
		Y012				a
	2

h

2

a

2

Y01

r

0 a 4 h

2

2

Y01 .

E0

J1

r dr

2

E0

J1

0

a

2 Y01

Для волн типа H mn

в круглом волноводе

H z 0

,

E z 0 .

0

m a 2

mn

r

E

j

H

J

sin m e

j h z ,

2

0

m

r

a

mn r

E j 0 H0

Ez 0
	h
H r	0	E ,

m a 2

mn

a

J

m

2

r

a

mn

mn

h

H

E r ,

0

	mn				r					j h z
J m 1							cosm e				,
				a
							mn r
H	H		0	J	m				cosm e j h z .
z							f

Основные расчетные формулы будут теми же, что и для волн E - типа:

						крH				2 a	,
									m n	mn
	в		0					,			ф			c			.
															2
				0	2									0
		1											1
				кр										кр
	Основной волной является волна H11, для												которой крH							2 a		3.41 a .
																			1.841
																		11

Действительно, это наибольшая длина волны для круглого волновода радиуса a . Для сравнения приводим

крE01

крH21

крH01

2 a 2.61 a ,

2.405

2 a 2.06 a ,

3.054

2 a 1.64 a .

3.832

Коаксиальный волновод.

Могут распространяться только поперечные волны, E z Hz 0 .

			U
							j z
E r,z						e			ir	;
	n b a r
			a a		U
								j z
H ,z		n b a		r			e			i .

135

E

a

Zc

r

-

совпадает с характеристическим сопротивлением заполня-

a

H

ющей среды.

Волновое сопротивление Zв

будет

n b a

U

b

Zв

60

n

,

I

2

a a

a

зависит от отношения внешнего радиуса b к внутреннему a

и относи-

тельных проницаемостей заполняющей среды.

U2

Переносимая мощность P

.

120 n b a

Полосковые волноводы.

Могут распространяться квази -

Т - волны. При h b 1 и

про-

дольными проекциями E z

и H z можно пренебречь, где h - толщина диэлек-

трика, b - ширина полоска.

Zв

U

120

h

- формула приближенная, используется для грубой

I

b

оценки и в качестве первого приближения при расчетах по более точной формуле

	188 .5					b	1					1				b		1
Zв							0.441 0.082		2					1.451	n		0.94	,
						2h
												2			2h

справедливая при условии, что hb 1, 1.

6.2 Примеры решения типовых задач

6.2.1 В заполненном воздухом прямоугольном волноводе с размерами a 50мм, b 25мм возбуждена волна типа E11 . Вектор напряженности электрического поля в центре волновода при x a2, y b2 имеет ам-

плитуду E 0 200 В / м . Определить комплексную амплитуду вектора H вдоль оси z в точке с координатами x 15мм, y 10мм . Длина волны возбуждающего генератора 0 35мм .

Решение . Коэффициент фазы в свободном пространстве

2 0 179.5 м 1 .

Поперечное волновое число, соответствующее волне типа E11 будет

g		2			2
					140 .5 м 1 .
	a		b

Продольное волновое число

136

h

2

g2

111.7 м 1 .

Поле H z будет иметь только две компоненты, поскольку для волны E11

H z 0 .

H z H x ix

H y iy

j

E 0

e j h z

1

sin x

cos y

1

cos

x sin

y

0

g

2

a

b

a

b

a

a

e j 111.7 z .

j 0.151 ix

0.199 iy

6.2.2 Прямоугольный волновод с размерами поперечного сечения

a 60мм ,

b 35мм работает на волне типа E11 . Определить коэффициент ослабле-

ния

в волноводе, если частота f 0

0.8 f кр .

Решение. Критическая частота связана с критической длиной волны со-

отношением

c

c

m 2

n

2

9

Гц ,

откуда

fкр

4.96 10

ђ р

2

a

b

f0 3.968 109

Гц ,

тогда

0

2 f 0

103.88 м 1

;

c

c

g

2

2

103 .91 м 1 .

a

b

j 2.497 м 1 ,

h

2

g 2

j

g 2 2

оказывается

мнимым.

Если выбрать знак минус, то e j h z e z

- то есть волна распространяется с

коэффициентом

ослабления

2.497 м 1 (постоянная

распространения

j ).

6.2.3 Волна типа H10

в волноводе с размерами стенок a 40мм , b 20мм имеет

амплитудное

значение

Emax 3 104 В / м .

Длина волны

генератора

0 55мм . Найти длину волны в волноводе,

а также величину H zmax -

амплитуду напряженности магнитного поля на узких стенках волново-

да.

Решение. Для волны H10

кр 2 a 80мм , откуда

в

0

75.7 мм .

0

2

1

кр

Продольная составляющая магнитного поля запишется

H		j		E		cos	x	e j h z .
	z				max
			0 a
							a

	137
На стенках волновода cos x		x 0	1	, тогда
a
		x a

Hzmax E max 54.71 А / м .

0 a

6.2.4Радиус круглого волновода a 15мм , длина волны возбуждающего генератора в свободном пространстве 0 32мм , тип волны E 01 . Амплиту-

да продольной проекции вектора напряженности электрического поля на оси волновода E0 7 103 В / м . Найти величину E r m a - амплитудное значение радиальной проекции электрического вектора и H m - ам-

плитуду азимутальной проекции вектора напряженности магнитного поля на стенке рассматриваемого круглого волновода.

Решение. Критическая длина волны

крE

2.61 a 39.15 мм 0 , что го-

01

ворит о распространяющейся волне.

При r a

h a

j h z

E r a,z j

Y01

J1 Y01

e

и

E r a,z

H a,z

.

ZcE

01

По таблицам функций Бесселя находим

J1 2.405 0.52 . Безразмерный па-

раметр

2 a

2 a

0

h a

1

1.697 .

в

c

кр

0

Волновое сопротивление ZC

120

1

217 Ом .

E

кр

Окончательно находим

E

rm

a 2.57 103 В / м ,

E

m

a 11.82 А / м .

6.2.5Коаксиальный волновод имеет размеры a 2мм, b 6мм . Заполняющей средой является диэлектрик с параметрами 1, 2.4 . Найти амплитуду напряжения в бегущей волне, если известно, что амплитуда тока равна 0.4 A .

Решение. Волновое сопротивление Zв линии передачи с волной типа Т запишется

	U				b
Zв		60			n			42.5 Ом .
	I
					a

Тогда

138

U I Zв 17 В .

6.2.6Рассчитать волновое сопротивление, погонные емкость и индуктивность, а также предельную передаваемую мощность в несимметричной полосковой линии передачи с воздушным заполнением. Параметры линии: ширина проводника b 5мм , расстояние между проводником и

заземленной металлической пластиной h 1мм , толщина полоски t 0.025мм , предельно допустимое значение напряженности электрического поля в воздухе E пред 30 кВ / см .

Решение. По условию задачи bh 2, поэтому воспользуемся формулой, учитывающей толщину проводника в виде

314

Zв

.

b

1

1

h

1

t

h

Поскольку 1,

то

Zв 51.24 Ом .

Погонная емкость

Откуда

формуле

							t		1
C 1.06 10 11			b				h
	1				при
			h				b	0.6
							h
C 63.6 10 9 Ф / м ,			а погонная индуктивность определяется по

	Z‰		L		откуда L Zв C 0.173	10 6	Гн / м .
			C

Предельная передаваемая мощность в несимметричной полосковой линии определяется по формуле

P 16.88 10 4					E 2	h t r , Вт ,
пред					пред	B

где коэффициент rB - находится по таблицам в зависимости от th . В нашем случае rB 14.56, 1, тогда

Pпред 5.53 103 Вт .

6.3Задачи для самостоятельной работы

6.3.1Какие типы волн могут распространяться в круглом волноводе диамет-

ром 3 см, заполненном диэлектриком с относительной проницаемостью 3.2 на частоте 10 ГГц .

139

Ответ:		2 a	5.627 mn ;
		d
	mn E 01, E 02 , E11, E 21, H 01, H11, H12 , H 21, H 31, H 41			.

6.3.2 В прямоугольном волноводе сечением 4x3 см распространяется волна типа H11. Волновод заполнен диэлектриком с 1.15. Частота колебаний 8 ГГц. Определить фазовую скорость и длину волны в волноводе.

Ответ: ф 4.084 105 м / с , в 5.105 см .

6.3.3 Прямоугольный волновод сечением 23x10 мм служит для передачи СВЧ импульсов t 6 нс , несущая частота f 0 10 ГГц . Длина линии 50м .

Оценить качественно величину искажения импульсов, вызванных дисперсией волновода.

Указание. Спектр прямоугольного СВЧ импульса в области положительных частот описывается выражением

					( 0 ) t
	E t		sin
S					2			.
	2			0		t
					2

Ответ: t 5.4 нс .

6.3.4Диаметр волновода в котором распространяется на частоте 12 ГГц мода TE11 , равен 6 см. Определить критическую длину волны, длину волн в

волноводе и характеристическое сопротивление.

Ответ: кр 7.88 см,

в 2.64 см,

Zc 358 Ом .

6.3.5При каком диаметре круглого волновода в нем может распространяться только один основной тип волны при частоте колебаний 10 ГГц.

Ответ: 17.58 мм а 22.96 мм .

6.3.6В круглом волноводе диаметром 5 см распространяется волна E 01 . Пе-

редаваемая мощность 20 кВт. Определить максимальные значения напряженности электрического поля и амплитуду поверхностной плотности тока на стенках волновода.

Y01					2
Указание:	J12	x x dx			Y01	J12 Y01 0.778 .
					2
	0
			3							H r a
Ответ: Emax	1.676 10			В / м .							3.01 А / м .
							кз

6.3.7 Вычислить размеры поперечного сечения квадратного волновода, если известно, что фазовая скорость волны типа E11 равна 6 10 8 м / с . Частота передаваемых колебаний 5 ГГц.