6633

Рассмотрим последовательность		1		2		3		4		n
			,		,		,		...,			,...
										n 1
		2		3		4		5

Вычислим предел. lim

n

= lim

n / n

= lim

1

. Второе

n n 1

n

(n 1) / n

n

1

1

n

слагаемое в знаменателе стремится к 0. В итоге,

1

1,

lim

n

=1.

1

0

n n 1

Таким же методом можно сокращать старшие степени и в других

случаях, для произвольных степеней.

1

1

an2

n 1

a

a

lim

= lim

n

n 2

=

.

n 2

n bn2

n

1 2

b

b

n

n2

s

a

при s k

an

...

b

lim

при s k .

В общем случае, когда степени разные:

=

0

...

n bnk

при s k

Пример. Вычислить предел lim

2n 2 4n 1

n 3n2 7n 2

Решение. Здесь неопределённость типа

. Сократим на n 2 :

4

1

2n 2

4n 1

2

2 0 0

lim

= lim

n

n2

=

2

.

0

n 3n2 7n 2

n

7

2

3

0 3

3

n

n2

n .

Пример. Вычислить предел lim

n 2

n

n

Комментарий. В выражениях с неопределённостью типа

ответ

не виден из самого выражения. Так, если 2 объекта от нас удаляются в бесконечность, то при этом расстояние между ними может уменьшаться, может стабилизироваться на каком-то уровне, а может

возрастать. Например, для 2n n	оба слагаемых стремятся к
	11

бесконечности, но и разность между ними тоже увеличивается неограниченно. А в разности (n 1) n оба слагаемых увеличиваются,

но разность стабильна и равна 1. Поэтому при решении таких примеров снаала нужны преобразования, приводящие к виду дроби, а там уже можно сократить на какой-то множитель.

Итак, lim n 2 n n умножим на сопряжённое выражение, то есть

n

на сумму, подобную этой разности. Тогда можно будет применить формулу сокращённого умножения, и корень исчезнет, так как он будет возведён в квадрат.

n2 n n n2 n n

n

2

n

n

2

2

= lim

= lim

=

n

n2

n n

n

n2 n n

lim

n2

n n2

= lim

n

n

n2 n n

n

n2 n n

В знаменателе содержится n и выражение, содержащее корень из 2 степени, которое по скорости роста сопоставимо с n. Сократим числитель и знаменатель на n.

lim

n

=

lim

1

=

lim

1

=

n

n

2

n n

n

n

2

n

n

n

2

n

1

1

n

n

2

lim

1

. Чтобы разделить корень, удобно факт деления на

n

n

2

n

1

n 2

n представили как деление на корень из n2, продолжим:

lim

1

= lim

1

= lim

1

1

.

n

n 2 n

n

1

n 1 1

2

n

2

1

1 n 1

Вычислительный эксперимент. Чтобы луше понять понятие

предела, можете вычислить выражение

n

n2

n

например, при n

12

= 100, n = 1000 на калькуляторе. Чем больше n тем ближе к 0,5 ответ получится.

n = 100 результат 0,49876. Отклонение от 1/2 составило 0,00124. n = 1000 результат 0,49988. Отклонение от 1/2 составило 0,00012.

Теорема 1. Пусть дано 3 последовательности, причём для любого

номера n: un vn	wn . Если lim un	A , lim wn	A	lim vn A.
	n	n		n

Доказательство. Так как для первой и третьей последовательности предел равен А, то числа un , wn (начиная с какого-то номера) отклоняются от A не больше чем на величину , то есть принадлежат интервалу ( A , A ) . Но число vn находится между ними, тогда оно тоже принадлежит ( A , A ) . Тогда по

определению, для средней последовательности тоже существует предел.

Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

Примеры нарушения одного из этих двух условий. {1,2,3,...,n,...} не ограничена, предел .

{1,0,1,0,....} не монотонна. Пределом не может быть ни одно из чисел 0

или 1. Здесь после любого элемента, среди последующих есть какойлибо, удалённый от данного на расстояние 1, то есть в определении предела было бы не «для любого », а только для >1. Колебания по высоте не уменьшаются, все последующие элементы не впишутся в узкую полосу ширины 2 .

Предел функции при x .

Число A называется пределом функции f (x) , при x если:0 M R , так, что x M выполняется: f (x) A .

13

Объяснение: для любой заранее заданной погрешности существует такая константа М, что правее неё график отклоняется от ординаты А не более, чем на .

Аналогично определяется предел при x для левой полуоси.

Пример.	f (x) arctg(x) . Два различных предела при и					.
lim arctg(x)		.	Предел на правой полуоси равен		, но при этом
x		2		2

ни в одной точке x R функция не принимает это значение.

Пример. Найти lim 2x 5 .Вычисление проводится таким же x 3x 6

методом, как в случае последовательности, где было n .

		5
	2						2	0		2
Сократим на x , получим lim				x		=					.
		6					3	0		3
x
	3
			x

14

Как видим, вычислять пределы для дробно-рациональных выражений можно тем же методом, что было для последовательностей. Как видим, эта ситуация сильно напоминает то, что было в случае пределов последовательностей, только там дискретная величина n а здесь непрерывная, x .

Предел функции в точке (при x x0 ).

Определение. Число A называется пределом функции f (x) в

точке x0 , если: 0 0 , такое, что при 0						x x0
выполняется:		A f (x)		.

(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такое число дельта, так что если модуль разности x x0 меньше дельта, то модуль разности f (x) A меньше, чем эпсилон).

Обозначение A lim f (x) .

x x0

В случае существования предела, получается, что задавая погрешность можно найти такой интервал в области определения, что отклонение значений от А будет меньше чем . Фактически, часть графика впишется в некоторый прямоугольник, при уменьшении одной стороны будет уменьшаться и вторая.

У студентов может закономерно возникнуть вопрос, а для чего вообще нужно понятие предела в точке, и почему нельзя просто подставить x0 и вычислить функцию. Проблема в том, что не всегда

значение функции существует в точке. Иногда бывает так, что

15

	формально	её вычислить	нельзя. Например,	для	функции	x2	9
						x	3
	значение в	точке x0 =3	не существует.	При	вычислении			на
	калькуляторе поочерёдно числителя и знаменателя, получили бы						0	и
							0

калькуляторы, компьютеры выдали бы сообщение об ошибке. Но ведь в соседних точках значение функции есть. График функции подходит к некоторой точке в плоскости. Так вот, её ордината и равна этому пределу.

	Пример. Вычислить предел lim	x 2	9	.
		x	3
	x 3

В точке 3 значение функции не существует, однако во всех соседних точках существует, и можно узнать, к какой ординате стремится график при x 3 . Разложим на множители:

	lim	x 2	9	= lim	(x 3)(x 3)	= lim	(x 3)	= 6.
		x	3		x 3		1
	x 3			x 3		x 3

Тот множитель, который отвечал за стремление к 0 в числителе и знаменателе, сокращён, поэтому далее удалось просто подставить 3 и получить ответ.

Как видим, методы разные: если неопределённость типа 00 , то выделяем множители, чтобы сократить те множители, которые

стремятся к 0. Если неопределённость , то корни искать не нужно, а

нужно сократить на степенную функцию старшей степени. Для

	неопределённостей типа	0	основным методом является разложение
		0

на множители, и сокращение тех множителей, которые ответственны за стремление к 0.

		1
Пример функции, не имеющей предела в нуле.	f (x) sin		.
	x

Здесь при приближении к 0 бесконечное число колебаний, то есть, уменьшая область определения, например интервал ( , ) , никак не

16

удастся получить уменьшение области значений функции над этим интервалом, размах колебаний всё равно останется от -1 до 1. При подходе абсциссы к 0, функция здесь должна пройти бесконечное число колебаний амплитуды 2 (от -1 до 1).

Лекция № 10. 11. 11. 2016 Метод Лопиталя для неопределённостей 00 . Несмотря на то, что тема

«производные» подробно будет позже, и доказательство этого метода будет дано в той теме, производные для некоторых элементарных функций известны из школы, и можно этим пользоваться при вычислении пределов.

17

Если f (x) 0 ,

g(x) 0

при x x

и lim

f (x)

A ,

0

g (x)

x x0

то lim

f (x)

A .

x x0

g(x)

Пример. lim

x 2 1

= lim

(x2

1)

= lim

2x

=

2

2 .

x 1 x 2 3x 2

x 1 (x2 3x 2)

x 1

2x 3

1

Этот метод можно применять и в 2 или более шагов, если после 1-го дифференцирования остаётся неопределённость 00 .

					1
	ln(1 x)
Вычислим этим же способом lim		= lim	1		x		= 1.
	x				1
x 0		x 0

График ln(1+x) это ln(x) сдвинутый влево на 1, касательная проходит ровно под углом 45 градусов, то есть совпадает с функцияей y = x. Если рассмотреть при большом увеличении, они почти неотличимы.

Ещё пример.

lim

e x 1

lim

(e x 1)

lim

e x

e0

1.

x

(x)

1

1

x 0

x 0

x 0

Ещё пример.

lim

sin x

lim

(sin x)

lim

cos x

1.

(x)

x 0

x

x 0

x 0

1

1-й замечательный предел.

lim

sin x

1 .

x 0

x

Доказательство 1-го замечательного предела из геометрических соображений.

18

Рассмотрим единичную окружность, и какой-либо угол. Длина дуги AB равна - это по определению радианной меры угла. Так как ОА это радиус, а мы взяли единичную окружность, то

	| AC |				| AC |		tg .
	| OA |		1
Так как ОВ это тоже радиус, то				| BD |				| BD |		sin .
				| OB |				1

Но длина дуги на чертеже больше, чем отрезок BD, и меньше, чем AC. | BD | | AC | , то есть sin tg .

Совпадают они именно при 0 .

Кстати, графики трёх функций именно так и расположены: у них общая касательная, тангенс выше, синус ниже, чем биссектриса.

Неравенства sin tg перепишем в виде: sin

sin

.

cos

1

Теперь разделим всё на синус.

1

. Рассмотрим обратные

sin

cos

величины ко всем этим, пользуясь тем, что из a b следует

1

1

.

a

b

Получится cos

sin

1.

Применим

свойство,

которое

доказывали

когда-то

ранее:

если

u v w и две крайние из 3

величин стремятся к А,

то и средняя

имеет предел и стремится к А.

Учитывая,

что lim cos 1, а

константа

справа и так равна

1, то

0

lim

sin

1 .

0

19

Если обозначение угла сменить, обозначить x, то и получается

lim

sin x

1 .

x

x 0

Следствия из 1-го замечательного предела:

lim

arcsin x

1,

lim

tgx

1, lim

arctgx

1 ,

lim

sin a(x)

1.

a(x)

x 0

x

x 0 x

x 0

x

a( x) 0

Пример. lim

sin 3x

lim

sin(3x)

3 1 3 3 .

x 0

x

x 0

(3x)

Более подробно: мы могли бы заменить t 3x , и учесть, что при x 0 будет и t 0 .

	Пример. Найти предел lim	sin(x2 1)	.
		x 1
	x 1

Решение. Надо получить в знаменателе такое же выражение, как под знаком sin.

lim

sin(x2 1)

= lim

sin(x 2 1)

(x 1)

=

lim

sin(x2 1)

lim(x 1) = 2.

x 1

x 1

x 1

(x 1)( x

1)

x 1

(x2 1)

x 1

Здесь можно в процессе решения переобозначить (x) x2 1,

причём (x) 0 при x 1.

1 n

1 x

2-й замечательный предел.

lim 1

e

lim 1

e

n

n

n

x

Обратите внимание, что этот предел вовсе не 1, как могло бы показаться. Ведь в степень всегда возводится не 1, а число, большее, чем 1. Оно уменьшается, но оно ни при каком n не равно 1. Здесь 2 процесса: одновременно уменьшается основание до единицы, и при этом увеличивается степень. Всё зависит от соотношения скоростей этих процессов.

Если, к примеру, есть 2 процесса: растворение краски и замораживание ёмкости с водой, то существенно отличается результат, если выполнить 1-й или 2-й процесс раньше. Если сначала заморозить воду, то уже ничего не растворится, а если сначала растворить, то будет равномерная смесь. Если замораживать одновременно с растворением, то будет другой результат, краска

20