6633

растворится не равномерно. Короче говоря, мы не имеем		права
		1	n
считать, что сначала уменьшили основание в выражении 1				и
		n

только потом стали увеличивать степень, здесь оба процесса идут одновременно, поэтому сказать, что такой предел всегда равен 1, будет ошибкой.

Число, даже очень близкое к 1, при возведении в выокую степень существенно возрастает. Так, при инфляции 10% в год, за 20

лет цена будет почти в 7 раз больше: 1,120 = 6,7275. А если 15% в год, то за 20 лет в 16 раз больше: 1,15 20 = 16,36654.

Докажем, используя некоторые ранее полученные пределы, чтобы понять, каким образом в этом пределе появляется число e.

Возьмём

выражение

lim

ln( x 1)

1,

запишем

как

x 0

x

1

1

lim

ln( x 1)

1 .По

свойству

логарифма,

lim ln

(x 1) x

1.

x 0 x

x 0

Возведём в степень e:

1

1

lim exp ln

(x 1) x

e1

, то есть lim (1 x) x

e .

x 0

x 0

Если ввести замену t

1

1 t

, то получим

lim

1

e . Если здесь

x

t

t

выбрать значения только для целых абсцисс, то получится

1 n

lim 1

e .

n

n

Следствия из 2-го замечательного предела.

1

e

x

1

1

a( x)

lim 1 x

e , lim

1 , lim

1

e ,

x

x

n 0

x 0

a( x)

a(x)

1

lim 1 b(x) b(x) e .

b( x) 0

Вообще, с помощью 2 замечательного предела можно раскрывать неопределённости вида 1 .

21

					1
			x 1			x 2
	Пример. Вычислить предел lim						.
			2x 1
	x 2

Решение. Заметим, что если отдельно рассмотреть основание, видно, что оно стремится к 1 (там получается 3/3). Степень стремится к бесконечности. Таким образом, здесь есть неопределённость вида 1 , и можно применять 2-й замечательный предел.

Выделим целую часть этой неправильно дроби. Это можно сделать так: вписать перед дробью +1, а после неё (-1). Затем привести к общему знаменателю всё, что после первой единицы, то есть второй и третий элементы.

1

x 1

x 1

2x 1

x 2

lim 1

1

= lim 1

2x 1

2x 1

x 2

x 2

2x 1

1

x 2 =

				(x 1) (2x 1)
	lim 1
				2x 1
	x 2

1				1
x 2				2 x		x 2
	= lim	1					.
	x 2			2x 1

Обратите внимание, что само собой автоматически получилось, что после 1 такая дробь, которая стремится к 0. Это и должно было получиться, ведь всё основание стремится к 1. Теперь нужно в степени искусственно домножить на дробь, обратную к той, что в основании следует после единицы. Но чтобы степень в примере не изменилась, надо компенсировать домножением и на саму эту дробь, а не только на обратную.

2 x

1

2 x 1

2 x

1

2 x 1

2 x

2 x 1

x 2

2 x 2 x

2 x 1 x 2

2 x

lim 1

= lim

1

В больших

2x 1

x 2

2x 1

x 2

скобках получилось выражение типа 1 b(x)

1

b(x)

, его предел равен e.

Таким образом,

осталось найти lim e

2 x

1

lim

2 x

1

lim

1

= e

1

= e x 2 2 x 1

x 2 =

e

x 2

2 x 1

3 .

2 x 1

x 2

x 2

Чтобы степени было видно крупнее, можно записать через exp(A) вместо eA.

22

	2 x			1			lim	1
exp lim					=	exp			. Итак,
x 2	2x 1			x 2			x 2	2x 1

x 1 lim x 2 2x 1

1

x 2 e 13 .

* Замечание. Если основание стремится не к 1, а к другому числу, то второй замечательный предел можно и не использовать. Так, если

a 1 то предел равен 0, если a 1 то .

	1	n	0 ,	lim 3	n	. Неопределённость возникает только в том
lim
n	3			n

случае, когда основание стремится к 1.

§ 3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины.

Определение. Функция (x) называется бесконечно-малой в точке

x0 , если lim (x) 0 .

x x0

Функция (x) называется бесконечно-большой в точке x0 , если

lim (x) .

x x0

Это понятие не применимо к функции «вообще», без указания точки. Не бывает просто «бесконечно-малой функции», бывает только «бесконечно-малая функция в точке». Это свойство поведения

функции в конкретной точке. Так, (x 1)2 является бесконечно-малой при x0 1 .

	Очевидно, что если (x) беск-малая в точке, то	1	является
		( x)
	бесконечно-большой в той же точке.

Пример. Фкнкция x 2 1 является бесконечно малой в точках 1 и 1 x 2

и бесконечно большой в точке 2.

23

Бесконечно малые называются сравнимыми, если существует хотя

бы один из пределов lim			(x)	или	lim		(x)	.
			(x)
		x x0			x	x0	(x)
Если lim	(x)	K , причём K 0			и	K , то две функции
x x0	(x)

называются бесконечно-малыми ОДНОГО ПОРЯДКА малости.

Кстати, тогда lim

(x)

1

, то есть оба предела равны конечным

(x)

x x0

K

числам, а не . Если было бы K 0 то второй предел был бы .

Если при этом K 1, то есть lim

(x) 1

, то две бесконечно малые

x x0

(x)

называются ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ Это частный случай той

ситуации, когда они одного порядка.

Пример. sin(x) x .

Если lim

0

то

называется бесконечно-малой более высокого

x x0

порядка, чем .

Пример. lim

x 2

1

. Функции x 2 и 2x 2 одного порядка в точке 0.

2x 2

x 0

2

Пример. lim

x 2

lim

x

0 , а также lim

x

lim

1

,

x2

x 0

x

x 0

1

x 0

x 0

x

то есть x 2

более высокого порядка, чем x . И хотя они обе стремятся к

0, но скорость этого процесса кардинально отличается. Если рассмотреть их графики при большом увеличении около начала координат, то парабола почти неотличима от оси 0х.

Третья степень - ещё более высокого порядка, она будет проходить ниже, чем парабола. Как мы видим, хоть и все они стремятся к 0, но эти нули как бы совершенно разной силы.

24

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1. Если , то .

Доказательство очевидно, lim

(x) 1

то

lim

(x)

1

(x)

x x0

(x)

x x0

2. Если и

то .

Дано: lim

(x)

1 , lim

(x)

1 . Докажем, что lim

(x)

1 .

(x)

(x)

(x)

x x0

x x0

x x0

lim

(x) = lim

(x)

(x)

=

1 1 = 1.

x x0

(x)

x x0

(x) (x)

3. Порядок разности двух эквивалентных величин больше, чем порядок малости каждой из них.

Доказательство. Дано: lim (x) 1 . Докажем, что при делении x x0 (x)

разности на любую из них предел будет 0, это как раз и означает, что в числителе - более высокого порядка.

lim	(x) (x)	=	lim			(x)	= 1-1 = 0.
				1
	(x)
x x0			x x0			(x)

25

4. Порядок малости суммы равен наименьшему из порядков слагаемых.

Доказательство. Пронумеруем так, чтобы 1-е слагаемое было

наименьшего порядка. Тогда: lim

1 (x)

2 (x) ... n

(x)

=

1 (x)

x x0

(x)

...

(x)

= 1+0+...+0 = 1.

lim 1

2

n

1 (x)

x x0

1 (x)

То есть, эта сумма эквивалентна слагаемому наименьшего порядка.

Пример: (x) x x3 1-го а не 3-го порядка малости в точке x = 0.(x) x2 x6 x8 - 2-го порядка.

А вот если рассматривать предел при x , то тогда 8-го порядка. При малых значениях наибольшее влияние на сумму оказывает наименьшая степень, а при бесконечном возрастании - наибольшая степень.

4а. Порядок суммы бесконечно-больших равен наибольшему из порядков слагаемых.

5. Если

1

,

1

и lim K то

lim 1 K

x x0

x x0

1

то есть этот предел тоже существует, и равен К.

Доказательство.

Дано:

lim

(x) K ,

lim

(x)

1,

lim

(x)

1.

x x0

(x)

x x0

1

(x)

x x0

1

(x)

Вычислим lim

1

(x)

=

lim

1 (x) (x) (x)

= 1 K

1 K .

(x)

(x) (x)

(x)

x x0

1

x x0

1

Это свойство даёт возможность в дробях фактически заменять более сложные бесконено-малые на более простые, как правило, даже на степенные.

Пример. lim

sin 2 x

= lim

sin x sin x x 2

= 1 1

1

=

1

.

x 0 2x 2

x 0

x

x 2x 2

2

2

26

lim

x 0

Домножили и поделили, так что первая дробь стала состоять из двух эквивалентных величин, и её предел равен 1. А выглядит это так, как

будто в числителе просто заменили sin 2 x на эквивалентную x 2 .

Лекция № 11. 18. 11. 2016 Главная часть бесконечно-малой.

Определение. Если lim	(x)			1 то функция C(x x	)k
x x0 С(x x		)k		0
	0
называется ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ бесконечно-малой (x) .
Фактически, это степенная				функция, эквивалентная данной

(x) . Если найти коэффициент C и степень k , то мы найдём такую степенную функцию, график которой наилучшим образом (среди всех степенных) похож на график функции (x) в окрестности точки.

Пример. Найти главную часть бесконечномалой (x) x sin x 2 в точке 0.

Решение. Так как точка 0, то (x x0 ) x , то есть главная часть

имеет вид Cx k . Запишем отношение данной бесконечно-малой и «эталонной» степенной. Нужно потребовать, чтобы этот предел был 1, ведь мы ищем именно эквивалентную бесконечно-малую.

x sin x 2 1 . Преобразуем выражение с целью его упростить.

Cx k

Домножим и поделим на x 2 , этим мы фактически можем заменить

sin(x 2 ) на x 2 . Параметры C и k пока просто переписываем,

не меняя

их в процессе преобразований.

lim

x sin x 2

lim

sin x 2

x 2 x

= lim

sin x 2

lim

x3

1 lim

x3

1.

Cx k

x 2

Cx k

x 2

Cx k

Cx k

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

Полное сокращение всех x будет лишь в случае k=3, а иначе предел 0 или , и не будет равен 1.

	lim	1		1	1, тогда С = 1. Итак, Cx k	= 1x3 .
		C		C
	x 0
	Ответ.			(x) x3 .

27

Ниже изображены графики бесконечно-малой и её главной части: как видно, вблизи (0,0) они практически неотличимы.

Задачи на поиск главной части по методам и сложности похожи на вычисление lim, но фактически это обратная задача: при вычислении предела внутри нет параметров, а предел неизвестен, здесь же наоборот, известно, что предел равен 1, но внутри выражения неизвестные параметры C, k, которые надо найти, так, чтобы предел был равен 1.

Если учесть не только одну степенную функцию, но добавить ещё и последующие степени, то можно построить ещё более точное приближение. Это будет изучено позже, тема «формула Тейлора».

§ 4. Непрерывность и точки разыва. Односторонние пределы.

Бывают такие ситуации, когда функция определена только при x a или x a . В этом случае тоже можно вычислять предел, но область определения пересекается только с правой или левой полуокрестностью.

28

Определение. Число A называется правосторонним пределом

функции f (x)	в точке x0 , если:	0	0, так, что при
x (x0 , x0 )	выполняется: f (x) (A , A ) .
Обозначается	lim f (x) .
	x x0 0
Аналогично,
Определение. Число A называется левосторонним пределом
функции f (x)	в точке x0 , если:	0	0, так, что при
x (x0 , x0 )	выполняется: f (x) (A , A ) .
Обозначается	lim f (x) .

x x0 0

Односторонние пределы очень полезны при изучении функций, так как существуют такие ситуации, когда график функции слева и справа от некоторого x a стремится к разным ординатам.

Если односторонние пределы равны между собой, то существует предел функции в точке, если они разные, то предел не существует:

ведь тогда f (x) A для одной полуокрестности, но для второй полуокрестности эта разность не может быть меньше чем , она будет A B .

Представьте себе физический пример: температура 0 градусов. Если она понижается, проходя через 0, то есть до этого была положительна, то вода ещё не замёрзла, снега на улице нет. Если же она повышается и проходит через 0, например в марте, ситуация совсем иная - снег ещё не успел растяать. Как видно, ситуация при 0 градусов сильно зависит от того, какая температура была до этого.

29

Определение. Функция называется непрерывной в точке x0 , если в этой точке определено значение f (x0 ) , и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами:

lim	f (x) f (x0 ) lim f (x) .
x x0 0	x x0 0

Классификация: устранимый разрыв, разрыв 1 и 2 рода.

Устранимый разрыв.

Точка разрыва называется устранимой, если односторонние пределы

	равны lim		f (x)		lim f (x) причём равны конечному числу, но не
	x x0 0			x x0			0
	существует f (x0 ) или оно не равно пределу.
	Пример.	f (x)		sin x			. Формально			sin 0	вычислить нельзя, но предел
				x					0
	есть, он раен 1. Получается график с одной выколотой точкой.
	Пример.	f (x)		x 2	9				. Точка x 3 - точка устранимого разыва.
				x	3

Значение не существует, но предел есть.

	lim	x 2	9	= lim	(x 3)(x 3)	= lim (x 3) = 6.
		x	3		x 3
	x 3			x 3		x 3

Можно доопределить значение функции в одной точке, то есть устранить разрыв. Поэтому он и называется устранимым. Неустранимые разрывы делятся на 2 типа:

Разрыв 1-го рода (скачок).
Если lim	f (x) A lim	f (x) B ,	A B .
x x0 0	x x0 0

Вопрос о значении функции в точке в этом случае не обсуждается, это не имеет смысла, так как всё равно предел не существует, то есть непрерывности быть не может.

Пример. f (x) arctg 1x .

30