Domashnyaya_rabota_1
.rtf1. Описать правило, задающее бинарную операцию на одном множестве и не задающую на другом. Привести не менее двух таких правил.
2. Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R следующие операции:
а) f(a,b)= ab;
б) f(a,b)= a/b;
d) f(a,b)= ab-ba?
Какие из операций обладают свойством коммутативности, ассоциативности?
3. Придумать пример операции, которая на заданном множестве:
а) ассоциативна и коммутативна;
б) ассоциативна, но не коммутативна;
в) коммутативна, но не ассоциативна.
4. Для следующих операций, определенных на множестве R, проверить, какие из утверждений истинны:
а) операция max max{a,b} дистрибутивна относительно операции min {a,b};
б) операция min {a,b} дистрибутивна относительно операции max{a,b};
в) операция min {a,b}(max{a,b}) дистрибутивна относительно себя;
г) операция нахождения среднего арифметического дистрибутивна относительно себя;
д) операция ab-ba дистрибутивна относительно сложения;
е) операция ab-ba дистрибутивна относительно умножения.
5. Привести пример операции, являющейся только лево- или только право-дистрибутивной.
6. Составить таблицу Кэли:
а) для операции нахождения наименьшего общего кратного на множестве {1, 2, 3, 4, 6, 12};
б) для операции объединения на множестве всех подмножеств множества P = {1, 2};
в) для операции пересечения на множестве всех подмножеств множества P = {1, 2}.
По виду таблицы определить, коммутативны ли рассмотренные алгебры и есть ли в них нейтральный элемент.
7. Пусть <N, #>, <N, $> – группоиды, где a#b = max {a,b}, a$b = min {a,b}. Существуют ли в этих группоидах нейтральные элементы?
8. Являются ли следующие группоиды подгруппоидами группоида <Q, *>, где * – операция умножения:
а) множество всех четных целых чисел;
б) множество всех нечетных целых чисел;
в) множество всех целых чисел, кратных данному фиксированному целому n;
г) множество всех рациональных чисел с четными знаменателями;
д) множество всех рациональных чисел с нечетными знаменателями?
9. Являются ли следующие группоиды подгруппоидами группоида <Q, *>, где * – операция сложения:
а) множество {-1,1};
б) множество всех отличных от нуля рациональных чисел с четными знаменателями;
в) множество всех отличных от нуля рациональных чисел с нечетными знаменателями;
г) множество всех целочисленных степеней числа 2;
д) множество чисел вида pn, где n – целое число, p – простое число?
10. Образуют ли полугруппу/группу
1) вещественные числа относительно вычитания;
2) вещественные числа относительно операции −a − b;
3) ненулевые вещественные числа относительно деления?
11. Являются ли <Z, +>, <2Z, +>, <2Z+1, +>, <Q, +> – группами, абелевыми группами? Ответ обоснуйте.
12. На множестве P квадратных матриц n-го порядка с действительными элементами стандартным образом заданы операция сложения + и умножения * матриц. Является ли группой <P, +><P, ->. Ответ обоснуйте.