МЕХАНИКА_ЗФ

Решение Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже

30 об/мин или

1 n 30 1/ с. 30 30

Модули скоростей точек соприкосновения зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (13.1)

V1,2 = 1r1 = 2r2.

Отсюда 1 r2 . (см. также (13.2)).

2 r1

Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то 1 z2 .

2 z1

Отсюда

2 1 z1 . z2

Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому

3 2 1 z1 . z2

Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (13.2) можно записать

4			r3			z3		.
			r
						z	4
3	4
Отсюда		z3					z1			z3
											.
4 3 z4						1 z2 z4

Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому

5 4 1 z1 z3 . z2 z4

Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому

v

p

r

z1

z3

r

или v

p

6 8

4 0,75 см/c.

z4

24 32

5 5

1 z2

5

14. Кинематика.

Сложное движение точки. Основные понятия и определения

В разделе 9 «Кинематика. Основные положения кинематики точки» предполагалось, что точка движется по заданному закону относительно неподвижного тела (или относительно неподвижной системы отсчета).

Если же точка движется по заданному закону относительно тела, а тело, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета, то движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется сложным или составным: оно складывается из движения точки по телу и движения вместе с этим телом.

Например, мяч, катящийся по палубе плывущего вдоль берега теплохода, совершает относительно берега сложное движение, которое состоит из качения по палубе и движения вместе с палубой (теплоходом). Сложное движение относительно платформы совершает человек, идущий внутри вагона движущегося поезда.

Рассмотрим движение точки М (рис. 14.1) по траектории 1–1 внутри тела А, которое, в свою очередь, движется относительно неподвижного тела В (стойки). Движение точки М по отношению к телу В есть сложное движение.

21

Система координатных осей О1х1у1z1, связанная с движущимся телом А, называется подвижной системой

Рис. 14.1. Неподвижная и подвижная системы отсчета

Система осей Охуz, связанная с неподвижным телом В, называется неподвижной системой отсчета.

Движение точки M относительно тела A (или относительно О1х1у1z1) по траектории 1-1 называется относительным движением точки М. Скорость и ускорение точки М в этом дви-

жении есть относительная скорость и относительное ускорение точки М, их обозначают vr

и ar соответственно.

Движение тела А (или системы О1х1у1z1) относительно системы Охуz называется переносным движением. Переносной скоростью (ускорением) точки М называется скорость (ускорение) точки тела А, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка М. Поясним это определение.

В каждый момент времени точка М совпадает с некоторой точкой М' тела А (рис. 14.2). Скорость (ускорение) точки М' и есть переносная скорость (ускорение) точки М. Перенос-

ную скорость и переносное ускорение обозначают ve и ae.

Рис. 14.2. Сложное движение точки

Движение точки М (рис. 14.2) относительно неподвижной системы Охуz называется абсолютным движением точки М. Скорость и ускорение точки в этом движении есть абсолют-

ная скорость и абсолютное ускорение точки М, их обозначают va и aa.

Анализ движения выполняется в соответствии с установленными выше определениями относительного, переносного и абсолютного движений. Для рассмотренного выше случая (см. рис. 14.1) результат анализа будет таким:

-относительное движение – движение точки М по телу А;

-переносное движение – движение тела А относительно тела В (относительно стойки);

-абсолютное движение – движение точки М относительно тела В (относительно стойки). При анализе сложного движения точки надо иметь в виду, что объектом относительного

иабсолютного движений является одна и та же точка; объектом же переносного движения является тело, по которому точка совершает относительное движение.

Рассмотрим выполнение анализа сложного движения точки на конкретных примерах.

22

Пример 14.1. Вдоль цеха по рельсам с постоянной скоростью 0,1 м/с перемещается мостовой кра АВ, по которому с постоянной скоростью 0,2 м/с движется тележка М. Определить абсолютную скорость тележки.

Решение 1. На расчетной схеме (рис. 14.3) изображена точка М (тележка), совершающая сложное

движение и подвижное тело – кран АВ в заданный момент времени.

C

r

D

B

va a

vr

M

e

a

A

ve

e

E

O

r

Рис. 14.3. Расчет абсолютной скорости 2. Анализ движения тележки:

- относительное движение – движение тележки М по крану АВ;

- переносное движение – движение крана АВ относительно цеха ОСDE; - абсолютное движение – движение тележки М относительно цеха.

3. Проводим через точку М линии по направлению векторов скоростей. Траектория относительного движения точки М – прямая АВ, поэтому линия r-r совпадает с АВ; переносным движением является поступательное движение крана вдоль стороны ОЕ цеха, поэтому линия e-e проведена параллельно OE; траекторию абсолютного движения точки М установить по

условию задачи нельзя, поэтому линию а-а проводим под некоторым углом к линии е-е,

считая искомой величиной.

4. Построим параллелограмм скоростей: по условию задачи известны направления относительной скорости точки (она равна скорости движения тележки по крану) и переносной скорости (она равна скорости точки крана, с которой в данный момент совпадает тележка);

откладываем от точки М по линии r–r вектор относительной скорости vr, а по линии е–е –
вектор переносной скорости ve; затем достраиваем параллелограмм скоростей.
5.	По условию задачи имеем vr = 0,2 м/с, ve = 0,1 м/с, угол = 90o.
6.	Решая треугольник Меа (рис. 14.3), находим
	v	v2	v2 0, 22	0,12 0, 224 м/c;
	а	r	e
			tg vr	0, 2 2.
			v	0,1
			е

15. Кинематика.

Задачи для самостоятельного решения

15.1. Даны уравнения движения точки:

-определить уравнение траектории и построить ее;

-определить начальное положение точки на траектории;

-указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат;

-найти закон движения точки по траектории s = (t), принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки;

-построить график движения точки.

23

	Номер	Уравнения движения в координатной форме
	варианта
	1	x 6sin	t 8		y 10 8sin			t
			6					6
	2	x 3sin	t 3		y 5 4sin			t
			6					6
	3	x 4sin	t 2		y 3sin	t 3
			6			6
	4	x 8sin	t 4		y 6sin	t 3
			4			4
	5	x 3cos	t 1,5		y 4 4cos t
			3					3
	6	x 6 12cos t			y 5cos	t 5
				2		2
	7	x 5cos t 20			y 12 12cos				t
		2							2
	8	x 10cos	t 5		y 28 24cos				t
			2						2
	9	x 4sin2	t 3		y 1,5 3sin			2 t
			4						4
	10	x 8sin2	t 4		y 3 6sin2			t
				4				4
	11	x 6sin2	t 3		y 8sin2	t 12
			6			6
	12	x 12sin2	t 9		y 5sin2	t 2,5
			3			3
	13	x 12sin	2 t 9		y 5sin2		t 8
				2			2
	14	x 3 4sin		2 3 t	y 3sin2 3		t 1,5
				2	2
	15	x 3cos2		t 8	y 4cos2		t 2
				6			6
	16	x 12cos2		t 3	y 5 5cos2 t
				4					4

15.2. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия. Определить:

-высоту полета H и дальность обстрела L;

-скорость снаряда v в момент падения;

-ускорение снаряда a.

Номер	Уравнения движения в координатной форме
варианта
17	x 605t	y 350t 4,9t2
18	x 566t	y 566t 4,9t2
19	x 450t	y 777t 4,9t2
20	x 519t	y 300t 4,9t2

24

16. Динамика.

Основные положения динамики материальной точки

Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются инерциальными системами отсчета. Это такие системы отсчета, относительно которых материальная точка, на которую не действуют другие тела, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Под действием силы материальная точка изменяет скорость своего поступательного движения, приобретая ускорение. При этом ускорение прямо пропорционально вызывающей его силе и совпадает с ней по направлению. Пропорциональность между силой и ускорением выражется в следующем виде:

a	F			.	(16.1)
	m

Постоянная m называется массой тела. Масса является мерой инертности тела в поступательном движении.

Выражение 16.1. – это второй закон Ньютона, формулирующийся следующим образом: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

Если на материальную точку действуют несколько сил, то

						n
						Fi			n
		F
	a					i 1			ai .
		m				m
									i 1

где ai - ускорение материальной точки, вызываемое действием на нее одной силы F. Второй закон Ньютона можно записать в другой форме.

a ddtv ;

			m dv				d	mv .
	F			или F
							dt
			dt

Откуда вытекает основное уравнение динамики материальной точки:

Fdt d mv .

(16.2)

(16.3)

Вектор mv называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости, а d mv выражает изменение вектора импульса.

Третий закон Ньютона - две материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны между собой и направлены во взаимно противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F12 = - F21

(16.4)

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение мас-

сы материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси вращения.

17. Динамика материальной точки. Пример решения задачи

Труба АВС состоит из наклонного участка АВ и горизонтального – ВС. При движении по наклонному участку на груз D массой m действует сила тяжести, постоянная сила Q и сила

сопротивления R (рис. 17.1). Движение груза от точки А при v0 = 22 м/с до точки В происходит в течение t с.

На горизонтальном участке ВС на груз кроме силы тяжести действует сила трения Fтр и переменная сила F = F(t).

25

Дано: m = 3 кг; v0 = 22 м/c; Q = 9 H; R = μv(H); μ =0,5 кг/c; t = 3c; F = 4sin(2t); α = 30o.

Определить: закон движения груза на участке ВС.

A	Y
	N
R			N
	B			C
	α
Q	F	тр	F	X

Z P

Рис. 17.1. Пример решения задачи динамики материальной точки

Решение

На участке АВ на груз действуют силы: P, R, Q, N. Для оси AZ, параллельной оси наклонной части трубы дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на эту ось имеют вид:

m

dvz

Fkz

или

m

dvz

P sin Q v, ,

dt

dt

dv

mg sin

Q

m

dt

v .

или

m

Обозначим выражение в скобках:

mg sin

Q

a

,

откуда при заданных значениях получим а = 12 м/с при g = 10 м/с2.

Разделив в уравнении переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим:

dv			dt,	ln(a v)		t C .
a v		m			m	1

При заданных в задаче начальных условиях t = 0, v0 = 22 м/c получаем С1 = –ln(a – 22). Тогдауравнение приметвид:

	ln(a 22) ln(a v)						t.
						m
	или:
	ln a 22				a 22
				t или			e		t .
								m
					a v
	a v		m

откуда:

v a a 22t . em

При t =3 c, для заданных значений а, μ, m: vB = 18,1 м/c.

Далее рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость vB будет для движения груза на этом участке являться начальной скоростью (v0 = vB). Изобразим в произ-

вольном положении груз и действующие на него силы: : P, N , Fтр, F.

Введем систему декартовых координат с осями BX и BY (рис. 17.1) и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось BX:

m dvdtx Fтр F,

где Fтр = fN.

26

Для определения N составим уравнение в проекции на ось BY. Так как в направлении BY перемещение отсутствует, то y 0, поэтому 0 = N – mg, откуда N = mg. Следовательно, Fтр =

= fmg. Учитывая, что F = 4sin(2t), уравнение примет вид:

		m		d v x		fm g 4 s in ( 2 t ) .
					d t
Разделив обе части равенства на m, получим:
d v x	fg		4		s i n ( 2 t ) или		d v x	1, 3 3 s in ( 2 t ) 2 ,
d t			m				d t

где 4/m = 1,33; fg = 2 м/c2 при f = 0,2.

Проинтегрировав полученное выше уравнение, получим: vx 1,233 cos(2t) 2t C2 .

Для заданных начальных условий t = 0, v0 = vB = 18,1 м/c получим С2 = 18,1 + 1,33/2 = = 18,8.

Уравнение для скорости движения вдоль оси Х при найденной С2 примет вид:

vx dxdt 18,8 2t 0, 67 cos(2t).

Интегрируя уравнение для скорости, получим для закона движения: x 18,8t t2 0,33sin(2t) C3.

При t=0, x=0 С3=0, и закон движения груза окончательно будет представлен выражени-

ем:

x18,8t t2 0,33sin(2t).

18.Динамика материальной точки.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных внешних сил.

Задачи для самостоятельного решения

Условие задачи соответствует приведенному выше примеру. Исходные данные приведены на рис. 18.0–18.9 и в таблице Д-1.

Рис. 18.0

18.1

Рис. 18.2

18.3

27

			B D Q	A		D Q A
	C	D
		30	o	C D	B	30o
	x			x
		Рис. 18.4			18.5

Рис. 18.6						18.7

										C			D					B				Q D
										x
																						30o		A
		Рис. 18.8															18.9
																							Таблица Д-1
	Номер		m, кг			v0, м/с		Q, Н	R, H			l, м				t1, c						Fx, H
	условия
	0		2			20		6	0,4v			-				2,5				2sin(4t)
	1		2,4			12		6	0,8v2			1,5				-						6t
	2		4,5			24		9	0,5v			-				3				3sin(2t)
	3		6			14		22	0,6v2			5				-			–3cos(2t)
	4		1,6			18		4	0,4v			-				2				4cos(4t)
	5		8			10		16	0,5v2			4				-			–6sin(2t)
	6		1,8			24		5	0,3v			-				2						9t2
	7		4			12		12	0,8v2			2,5				-			–8cos(4t)
	8		3			22		9	0,5v			-				3				2cos(2t)
	9		4,8			10		12	0,2v2			4				-			–6sin(4t)
	10		2			20		6	0,4v			-				2,5				2sin(4t)
	11		11			14		22	0,6v2			5				-			–3cos(2t)
	12		1,8			24		5	0,4v			-				2						7t2
	13		3,8			22		9	0,6v			-				3				2cos(2t)
	14		2			18		4	0,2v			-				2				4cos(2t)
	15		4,5			24		9	0,5v			-				3				3sin(2t)
	16		5,6			10		12	0,3v2			4				-			–6sin(4t)
	17		8			10		16	0,4v2			4				-			–6sin(3t)
	18		3			12		12	0,8v2			2,5				-			–5cos(4t)
	19		5			14		22	0,5v2			5				-			–3cos(2t)
	20		1,6			18		4	0,4v			-				2				3cos(4t)

28

19. Динамика.

Основные положения динамики твердого тела

Если тело состоит из n материальных точек с массами mi и радиус-векторами ri, то центром масс системы материальных точек называют такую точку С, радиус-вектор которой определяется следующим образом:

	n
	mi ri		1	n
rС	i 1			mi ri ,	(19.1)
	n
	mi		m i 1

i 1

где mi - масса и ri - радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая масса всей системы. Скорость центра инерции:

	dr	1	n	dr	1	n
vС	C		mi	i		mivi .	(19.2)
	dt	m i 1		dt	m i 1

Импульс системы – это геометрическая сумма импульсов всех материальных точек системы:

n

Kmivi .

i 1

тогда скорость центра масс

v K		.	(19.3)

С m

Главный вектор внешних сил, действующих на систему:

dK				.	(19.4)
		F
dt

Внешние силы - силы, действующие на систему со стороны внешних тел.

Внутренние силы - силы взаимодействия между материальными точками, принадлежащими рассматриваемой системе, и их равнодействующая равна нулю. Уравнение (18.4) показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе. В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения вокруг центра инерции. Поэтому последнее уравнение часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

Изолированная (замкнутая) система тел - механическая система, на каждое из тел которой не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т. е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему.

В изолированной системе dKdt 0.

При любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.

Моментом инерции механической системы относительно оси называется величина, равная сумме произведений масс точек системы на квадраты их расстояний до оси (рис. 19.1).

n
Iz mk hk2 .	(19.5)

k 1

где h - расстояние от массы точки системы m до оси вращения.

29

z

m1 h1

hk mk

mn hn

Рис. 19.1. Момент инерции механической системы

Моменты инерции некоторых тел

т	т	т
I Ji mi R2		R2 mi mR2
i 1	i 1	i 1

Кольцо, масса которого распределена по ободу.

O		R		R		4		2
			R		hR		mR
			I r2dm r2 2 rh dr 2 h r3dr
		0		0	2		2

Сплошной диск.

	Стержень длиной L и массой m				I		1		mL2
	относительно оси, проходящей:
						12
	а) через центр стержня -
						1			2
	б) через начало стержня -				I 3 mL
					Ix			mh2
									3
					I y			mb2
									3
	Момент инерции прямоугольной
	пластины.

30