МЕХАНИКА_ЗФ

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями рис. 19.2:

Iz IzC M a2 .

Рис. 19.2. Момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси

Вращающий момент тела

		I .	(19.6)
M

Момент импульса (момент количества движения) - это векторное произведение радиу-

са-вектора материальной точки на ее импульс.

Рис. 19.3. Момент импульса (количества движения) системы относительно точки

Момент импульса (количества движения) системы относительно точки О - векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы

L0	ri	mivi li .	(19.7)
	n	n
	i 1	i 1

С учетом связи линейных и угловых величин

L m r2	или		m r	2 I	.
		L
i i i		i i i		i

Момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси:

			I .				(19.8)
	L
Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что
				dL		.	(19.9)
	М
				dt

Закон сохранения момента количества движения: если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.

31

20. Динамика. Работа, мощность, энергия

Полная работа на пути S1S2 определяется интегралом

А SS2 FdS cos .	(20.1)
1

Рис. 20.1. Работа силы на криволинейной траектории

Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью Мощность численно равна отношению элементарной работы к промежутку времени за который она совершается.

	N dA					(20.2)
	или		dt
	N F dS cos Fv cos .					(20.3)
	dt
	Кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка
	вследствие своего движения:		mv2
	W				.	(20.4)
	k		2
	Работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2, равна
	изменению ее кинетической энергии на этом участке:
	mv2	mv2		А .		(20.5)
	2		1
	2	2			12

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия

Закон сохранения и превращения энергии: энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т. д.), но общее ее количество остается постоянным.

Теорема об изменении кинетической энергии: Изменение кинетической энергии матери-

альной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

n	n
Т Т0 Ae Ai ,
1	1

где Т0 – начальное значение кинетической энергии системы.

32

Формулы для подсчёта кинетической энергии твердого тела в различных видах его движения

Скорости всех точек твер-

Mv2

М – масса твердого тела,

Тело движется

дого тела одинаковы и

Т

поступательно

равны скорости центра

2

c

кг; vc – скорость центра

масс тела, м/с.

масс тела

Iz – момент инерции тела

Тело вращается

2

относительно оси враще-

вокруг неподвиж-

Т

Iz

ния тела, кг·м2; – угло-

ной оси

2

вая скорость вращения

тела, 1/c.

Плоское движение может

быть рассмотрено как

сумма поступательного

Тело совершает

движения тела со скоро-

J

2 Mv2

стью центра масс и враща-

Т

Cz

плоское движение

тельного движения тела

c

2

2

вокруг оси Сz', перпенди-

кулярной присоединенной

плоскости и проходящей

через центр масс тела

Тело вращается

2

Iω – момент инерции тела

вокруг неподвиж-

Т

I

относительно мгновенной

2

ной точки

оси скоростей, кг·м2

Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна ну-

лю.

Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А = ±Mghc, где М – масса материальной сис-

темы, кг; hc – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с2.

Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу,

равна: А = ±MП(φ – φ0), где MП – момент пары сил, приложенной к телу, Нм; φ – φ0 – значение конечного угла поворота тела.

Работа силы трения: А = –Fтр·S, где S – перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

Работа сил упругости пружины: А = 0,5с·(λ20 – λ21), где с – коэффициент жесткости пружины; λ – удлинение пружины, м. Работа положительна при λ0 > λ1 и отрицательна при

λ0 < λ1.

21. Динамика твердого тела.

Пример решения (применение теоремы об изменении кинетической энергии)

Механическая система (схема на рис. 21.1) состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 и r3, радиусом инерции ρ3 относительно оси вращения, блока 4 радиуса R4 и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3.

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

33

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

	N4
	N2
N3	Fтр
M	30o
	S1
	P2
P3	F
S5	45o

P5

Fупр

Рис. 21.1

Дано: m1 = 0 кг, m2 = 5 кг, m3 = 6 кг, m4 = 0 кг, m5 = 4 кг, R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м, ρ3 = 0,2 м, f = 0,1, с = 240 Н/м, М = 0,6 Нм, F = 80(3 + 2S)H, s1 = 0,2 м.

Определить: vc5 в тот момент, когда s = s1.

При решении задачи используем тот факт, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользуемся мгновенным центром скоростей – точкой, скорость которой в рассматриваемый момент времени равна нулю. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s1, учитывая при этом, что зависимость между перемещениями для заданных условиях (связи в виде нерастяжимых нитей) будет такой же, как между соответствующими скоростями

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. На систему действуют внешние силы F, Fупр, Р2, Р3, Р5, Fтр2, момент сопротивления М, натяжение нити S5 и реакции связей N1, N3, N4.

Для определения vc5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

n	n	n	n
Т Т0 Ae Ai , где		Ae , Ai – соответственно, сумма работ внешних и внутренних
1	1	1	1

сил системы.

Так как система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, то работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т0 = 0.

Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел системы:

Т = Т2 + Т3 + Т5.

Кинематический анализ определение видов движения тел, входящих в систему) показывает, что тело 2 движется поступательно, тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, тело 5 участвует в плоскопараллельном движении.

Следовательно, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

T m2v22		I3 32	m5vc25		Ic5 52	.
2		2	2		2

Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s1, определяется искомой скоростью vc5. Поэтому

34

далее выразим все скорости, входящие в выражение кинетической энергии через скорость

vc5:- поскольку грузы1 и 2 связанынерастяжимойнитью, то их скоростиравны. Всвою очередь эта нерастяжимаянитьперекинутачерез малый обод шкива 3, следовательно: v1 = v2 = vА, где vА

– любая точка обода радиуса r3 шкива 3;

- линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω3: v2 = ω3r3,

v5 = ω3R3;

- поскольку точка K5 является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити K5L), то v5 = 2vc5, и

vc5		;		2vc5	;	v	2		2vc5	r .
5	R5		3	R3					3
									R3

Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

I			m R2	I		m 2.
	c5		5 5 ;		3
			2			3 3

Подставив все определенные выше величины в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

		2m r2			2m 2			3m
	T vc5	22	3		32	3		5	. .
								4
		R			R
		3			3

Найдем работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s1 = 0,2 м. Пусть s2 – перемещение груза 2 (s2 = s1); φ3 – угол поворота шкива 3; h5 – перемещение центра масс блока 5; λ0, λ1 – начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

n

Ae AF AP2 AFтр2 AM AP5 AFупр ,

1

где

		s1
AF	80(3 2s)ds 80(3s1 s12 );
		0
A	P s sin 450 ;
P				2	1
2
A	2	f P s cos 450					;
F						2 1
тр
AM M 3;
AP	P5 h5 P sc5;
5
A			c	(λ	2	λ 2 )
F		2		0		1
упр

Работы остальных сил равны нулю, так как:

- точка K5 – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения нити S5 равна нулю;

- реакция опоры N2 перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому работы не совершает;

- реакции N3, N4, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ0 = 0, тогда λ1 = sc5 – перемещение конца пружины. Выразим вели-

чины sc5	и φ3	через заданное перемещение s1. Зависимость между перемещениями такая же,
как между соответствующими им скоростями:
		2vc5 ;		3	2sc5 .
		3	R3		R3

Поскольку v5 = v3 = ω3R3 и vc5 = 0,5v5, то vc5 = 0,5ω3R3. Следовательно, λ1 = sc5 = 0,5φ3R3 = = 0,5(s1R3)/r3.

Для найденных значениях φ3 и λ1 получим выражение для суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

35

				n		80(3s1			s1 ) P2 s1 sin 45 fP2 s1 cos 45 M		s		s R			cs2 R2			.
				A							r	P5 2r		3			8r2	3
				e					2		1		1				1
				1						3		3					3
	Кинетическую энергию приравниваем к работе:
			2m r2	2m 2			3m		n							s				s R		cs2 R2
	vc5		22 3	32	3		5		80(3s1 s12 ) P2 s1 sin 45 fP2 s1	cos 45				M		1	P5			1 3		1 2	3 .
																r3				2r3
			R3	R3			4		1													8r3

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость vc5.

Ответ: vc5 = 2,10 (м/c).

22. Динамика твердого тела. Задачи для самостоятельного решения

Дано: механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиуса R4 = 0,2 м и грузов 5 и 6 (рис. 22.0–22.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки катятся по плоскостям без скольжения.

Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. 22.0–22.4) и 2 (рис. 22.5– 22.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.

Определить: значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1 = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д 2, где обозначено: ω3 – угловая скорость тела 3; ε4 – угловое ускорение тела 4; v5 – скорость тела 5; ас2 – ускорение центра масс тела 2 и т. п.

Рис. 22.0								Рис. 22.1

Рис. 22.2

Рис. 22.3

36

	3
	5
	2
	4
	30o
1		6
	60o	F
Рис. 22.4	Рис. 22.5

Рис. 22.6

Рис. 22.7

	Рис. 22.8									Рис. 22.9
											Таблица Д-2
Номер		m1,	m2,	m3,	m4,	m5,	m6,	c,	М,	F = f(s),	Найти
условия		кг	кг	кг	кг	кг	кг	Н/м	Нм	H
0		2	0	4	0	6	0	180	1,2	80(3 + 4s)	vc1
1		0	2	0	6	0	4	120	0,6	20(6 + 5s)	a6
2		6	0	0	2	4	0	400	1,8	60(4 + s)	ω4
3		0	4	6	0	0	2	240	0,3	40(3 + 8s)	ε3
4		4	0	0	2	0	6	320	1,5	50(5 + 2s)	v6
5		2	0	4	0	0	6	100	0,9	30(4 + 3s)	ac1
6		0	4	0	6	2	0	160	2,4	60(2 + 5s)	v5
7		6	0	0	4	0	2	120	0,3	80(1 + 4s)	ε4
8		0	6	2	0	4	0	200	1,2	20(8 + 3s)	ω3
9		0	2	0	4	6	0	100	0,6	40(3 +2s)	ac2

37

	ОГЛАВЛЕНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ...........................................................................................		3
1.	Основные понятия и определения ...........................................................................................	3
2.	Аксиомы теоретической механики .........................................................................................	4
3.	Теоремы статики .......................................................................................................................	5
4.	Основные виды связей .............................................................................................................	5
5.	Статика. Условия равновесия ..................................................................................................	6
6.	Статика. Распределенные силы ...............................................................................................	7
7.	Статика. Примеры решения задач ...........................................................................................	7
8.	Статика. Задачи для самостоятельного решения .................................................................	10
9.	Кинематика. Основные положения кинематики точки .......................................................	12

10.	Кинематика. Примеры решения задач ................................................................................	14
11.	Кинематика. Вращение тела вокруг неподвижной оси ..................................................	16
12.	Кинематика. Примеры решения задач кинематики вращения тела вокруг оси .............	18
13.	Кинематика. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся
тело входит в состав различных механизмов ..........................................................................		19
14.	Кинематика. Сложное движение точки. Основные понятия и определения ..................	21
15.	Кинематика. Задачи для самостоятельного решения ........................................................	23
16.	Динамика. Основные положения динамики материальной точки ................................	25
17.	Динамика материальной точки. Пример решения задачи .............................................	25
18.	Динамика материальной точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения

материальной точки, находящейся под действием постоянных внешних сил. Задачи для са-

мостоятельного решения ....................................................................................		27
19.	Динамика. Основные положения динамики твердого тела ............................................	29
20.	Динамика. Работа, мощность, энергия .........................................................................	32
21.	Динамика твердого тела. Пример решения (применение теоремы об изменении кинетиче-
ской энергии) ...............................................................................................................		33
22.	Динамика твердого тела. Задачи для самостоятельного решения ................................	36

Механика часть I

Методические указания

_______________________________________________________________

2,1 уч.-изд. л.	Формат 60 84 1/16
Тираж 100 экз.	Заказ № ___

_______________________________________________________________

Отпечатано в ИПК МГУ им. адм. Г. И. Невельского Владивосток, 59, ул. Верхнепортовая, 50а

38