matem-up1

Из 2 го уравнения находим x2 = − 23 α ; из 1 го уравнения нахо

дим: x1 = −2 −32 α −α = 13 α . Общее решение системы имеет

вид:

		1			α
		3
	X =	−		2		α .
				3
				α

Заметим, что если взять α = 3β (а в таком виде, конечно, мож но записать любое число), то общее решение проще записать

		β			1
так:	X =	−2β		= β	−2		. Здесь β – также любое число.
		3β			3

6.Контрольные вопросы

1.Что называется матрицей? Как определяются правила сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения 2 х

матриц?

2.Что называется определителем 2 го и 3 го порядка?

3.Что называется минором и алгебраическим дополнени

ем элемента определителя?

4. Каковы основные свойства определителей?

91

5. Какие способы вычисления определителей больших по

рядков Вы знаете?

6.Что такое ранг матрицы?

7.Как можно вычислить ранг матрицы с помощью элемен

тарных преобразований?

8. Какая матрица называется обратной для данной матри цы? Для каких матриц существует обратная? Как можно найти обратную матрицу?

9. Какие системы линейных уравнений называются совме стными, несовместными, определёнными, неопределёнными?

10.Какие системы называются крамеровскими?

11.Как можно найти решение крамеровской системы с по

мощью обратной матрицы?

12. В чём заключается метод Крамера решения систем ли

нейных уравнений?

13. Какова последовательность действий при решении сис

темы линейных уравнений методом Гаусса?

14.При каком условии система линейных уравнений будет совместна (теорема Кронекера – Капелли)?

15.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

16.При каком условии система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений?

92

17. Какие неизвестные в неопределённой системе называ ются свободными, а какие базисными? Что такое общее реше ние системы линейных уравнений?

18. При каком условии однородная система линейных урав нений с квадратной матрицей имеет только нулевое решение?

									7.	Упражнения
1.										−1 0					, B =	2	1
		Даны матрицы: A =									3						−1	,
													2			−4
0 −1 1								−2 0 −1
C =	2	3 0			,	D =			1	3	1		.	Найти		матрицы: а) 2 A + B ;
	4	−1 2							1 2 3
б) A B ; в) B (A2 − BT ); г) C D − D C ; д) (C − 2D2 )T .
2.		Вычислить произведения матриц:
		а) (3 −2 4)					2						2		(3 −2 4);
								2	;	б)			2
							1						1
		0			1	0			−1 1
			1 1 2										1
		в)	2		−1 1				1 −1			.
									2	2			2
			1		0	1

3.	При каких значениях λ	4		3		−2		−1
		матрицы	−6	1		и	2	λ
перестановочны?
4.	Вычислить определители:
	93

		2 1					a + b a − b														2		−1	1				−1 3 2
а)						; б)										; в)					1 1 −1					; г)		2 8 1				;
		−3		−1			a − b a + b														2		−1	3				1	1 2
			x + y z				1				1			2			3					4				1 −2		5	9
											0 2 5 9														1 −1 7				4
		д)	y + z x 1					; е)															; ж)								.
			z + x y				1				0			0			3					7			1		3	3	4
											−2			−4			−6 0								1 2 3 4
													1	3			x
5.		Решить уравнение											4	5			−1			= 0 .
													2	−1			5
6.		При			каком значении												α						определитель							матрицы
−1 2 α																												α α − 1
A =	0	1		1	равен определителю матрицы B =
																													1			?
	2	0		3																								2
7.		Найти алгебраические дополнения элементов a32																														и a24
определителя
									1					0		3	4
											1 −1					2	5					.
									7 −2 3 −4
									0					1		6	8

8.Для указанных матриц найти обратные и сделать про

верку:

	3 4			3		2	−1			3		−4	5
				B =	1 1		2		;	C =	2 −3		1	.
	A =	5 7	;
					2	2	5				3	−5	−1

94

9.	Решить матричные уравнения
			1 2			3 −3			3 −2		0 1 −1
	Χ		−1 1	=		;			Y =				.
						3 3			2 −1		2 3 1
10.	Найти ранг матриц:
	2		3 7	11			1 1 1 0					2 1 −1
								2 −1 3 1					5 3	−2
A =		1 2 4 7				; B =					C =
								−1 2 0 3		;			2 3 1		.
		5	0 10	5
								3 1 1 −1					3 2	−1
11. При каком значении								λ	ранг матрицы				6		λ + 1
												A =		−1	−1

равен 1?

12. Решить системы уравнений методом Крамера и с по мощью обратной матрицы:

а) 3 x1	− 4 x2	=	6 ,
x1	+ 2 x2	=	2;

	2 x	1	− x	2	+ x	3	= 4,
в)	x1 + x2				− x3		= 2,
					+ 2x3 = 5;
2 x1 − x2

б)

г)

2 x	1	+ x	2	=	7 ,
				=	−2;
x1	− 3 x		2

x	1	+ 2 x	2	+ 3x	3	= 7 ,
x1		− 3x2		+ 2 x3		= 5,
		+ x2		+ x3		= 3.
x1

13. Решить системы уравнений методом Гаусса:

2 x

+ 3x

+ 5 x

= 12,

x1 + x2 + 2 x3

= 1,

1

2

3

x1 − 2 x2 − x3

= 2,

= −22,

а) x1

− 4 x2

+ 3x3

б)

x

−

x

+ 5 x

= 3,

3x1

− x2

− 2 x3

= 0;

1

2

3

+

2 x

+ 3x

= −4;

−2x

1

2

3

95

x

1

− 2 x

2

− x

3

+ 3x

4

= 5,

в) 2 x1

− 4 x2

− x3

+ 6 x4

= 10,

+ x2

+ x4

= 20;

2 x1

2x1 + x2

− x3

− x4

+ x5

= 1,

x

1

− x

2

+ x

3

+ x

4

− 2x

5

= 0,

г)

= 2,

3x1

+ 3x2

− 3x3

− 3x4

+ 4 x5

4 x

1

+ 5 x

2

− 5 x

3

− 5 x

4

+7 x

5

= 3;

x

+ x

+ x

= 0,

x1 + x2 − 4 x3

= 0,

1

2

3

3x

+ 5 x

+ 2 x

= 0,

= 0,

д) 3x1 − x2

+ 2x3

е)

4 x

1

+7 x

2

+ 5 x

3

= 0,

− 3x2

= 0;

1

2

3

2 x

+ 9 x

+ 6 x

= 0.

x1

1

2

3

x + 21 +

14. Решить систему 5 x1

3x1 −

x2	+ 4 x3	= 31,
x2	+ 2 x3	=	29, методом Гаус
x2	+ x3	=	10

са; методом Крамера; с помощью обратной матрицы.

15. Определить значение λ , при котором однородная сис тема

2 x		1	+ x	2	+ 3x	3	= 0,
							= 0,
4 x1			− x2		+7 x3
x	1	+ λ x		2	+ 2x	3	= 0

имеет ненулевые решения, и найти эти решения.

8. Ответы к упражнениям

			0 1		−2		−1		0		13			4	−4	6
	1.												; г)	−11	2	−2		;
		а)	2 3		; б)	−2	1		; в)	2	−21
														−23	−1	−6

96

−6 −2 −2

6 −4 8

−1

д)

.

2. а) (6 );

б)

3 −19 −25

6 −4 8

;

в)

12

.

3

−10 −20

3

−2 4

9

7

3. λ = −1 . 4. а) 1;

б) 4ab;

в) 6; г) –36;

д) 0;

е) 48; ж) 20.

5. –3.

6. –1.

7.

A32 = 14, A24 = 6 .

7 −4

1 −12 5

−8 29 −11

8. A

−1

B

−1

=

−1 17 −7

; C

−1

= −5 18 −7

.

=

3

;

−5

0 −2 1

1

−3 1

0

−3

,

Y =

4 5 3

10. r (A)= 2, r (B)= 4, r (C)= 2 .

9. X =

6 7 5

.

2

−1

11. λ = 5 .

12. а)

x1 = 2,

x2

= 0 ;

б)

x1

=

19

, x2

=

11

;

7

7

в) x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1 ; г) x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2 .

13. а) x1 = 1,

x2

= 5 ,

x3 = −1 ;

б) несовместна;

в) x1 =11−α, x2 =α, x3 = 0 , x4 = −2 +α ;

г) x1 =

1

γ +

1

, x2 =α + β −

5

γ +

1

, x3 =α , x4 = β , x5 = γ ;

3

3

3

3

д) x1 = 3α , x2 =α , x3 = −4α ; е) x1 = x2 = x3 = 0 .

14. x1 = 3, x2

= 4,

x3

= 5 .

15. λ =−1, x1 =−5α, x2 =α, x3 = 3α .

9.Образец контрольного задания

1.Вычислить определитель матрицы 2 A − B + 3BT , где

97

	A =	1			−1		,	−1		2
			1					B =	3	.
		0								4
2.	Вычислить определитель произведения матриц A B ,
где
	1		2			3			−1	1
									0 1
	A =	0	1			1	, B =				.
									2	1
3.	Вычислить алгебраическое дополнение A32 определите
ля
					1		1	2	5
					3		0	−4	7	.
					4	−1		3	4
					3	−2		−12	15

4.	Найти обратную матрицу A−1 для матрицы A =		3	1
				2	. В
			4
качестве ответа указать сумму всех элементов матрицы A−1 .
	x + 3 y −6z = 12,
5.		= −10,
	Решить систему уравнений 3x + 2 y + 5z
		= 6.
	2 x + 5 y − 3z

В ответе указать значение z.

6. Исследовать систему уравнений

x + y = 3,2 x − 3 y = 2,

3x + 2 y = 8 .

98

Указать номер правильного ответа: 1) совместная и определён ная; 2) несовместная; 3) совместная и неопределённая.

7. Проверить, что система уравнений

2 x1 + 3x2 + x3 − 4 x4 = 1,6 x1 + 13x2 +7 x3 − 8 x4 =7

совместна. Найти её общее решение. В качестве ответа указать число свободных неизвестных.

8. При каком значении λ однородная система

2 x + λ y = 0,

−x + 3 y = 0

имеет ненулевое решение?

99

Раздел 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на два типа: ска лярные и векторные. Величины, которые определяются толь ко одним числовым значением, называются скалярными или

скалярами (например, масса, время, температура, цена и т.

п.). Величины, для определения которых требуется задать кроме числа ещё и направление, называются векторными

(например, скорость, ускорение, сила и т. п.).

1. Общие понятия. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок

прямой с указанием точек начала А и конца В. Вектор обознача

uuur

ется символом AB или a .

	B	Расстояние между началом и концом век
A	a	тора называется его длиной или модулем и
			uuur		ar
		обозначается так:	AB	или		. Вектор, длина
которого равна		нулю, называется нулевым вектором и обозна

uur

чается 0 , например, AA = 0 . Направление нулевого вектора не определено.

Векторы ar и br называются коллинеарными, если они ле жат на одной или на параллельных прямых. Обозначение:

88