matem-up1

Пример 4.3. Записать уравнение прямой, проходящей че

рез точку М(1, –2) и составляющей угол 135o с осью OX.

Решение. Угловой коэффициент прямой k = tg 135o = −1 .

Уравнение прямой можно записать в виде y = −x + b . Подбе

рём	b так, чтобы точка М(1,	–2) лежала на прямой:
−2 = −1 1 + b . Отсюда b = −1 . Итак,		y = −x − 1 . Общее уравне
ние:	x + y + 1 = 0 .

Рассмотрим ещё один способ задания прямой.

Пусть М0(x0, y0) – какая нибудь точка на прямой L, а sr = (sx , sy ) – ненулевой вектор, параллельный прямой (на

правляющий вектор прямой). Получим уравнение этой пря

мой.

sr

Y

M0

M L

O X

Решение. Текущая точка М(x, y)

лежит на прямой только в случае,

uuuur

если векторы M0 M и s коллинеар ны. В координатной записи коллине арность векторов означает пропор

циональность координат:

x − x0 = y − y0 . sx sy

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

127

Замечания. 1) В качестве направляющего вектора прямой не может выступать нулевой вектор (он не имеет направления),

но одна из его координат может быть равна нулю. В этом случае

допускается, например, запись вида:	x − x0	=	y − y0	. Это урав
	0
			sy

нение задаёт прямую, проходящую через точку М0(x0, y0) парал лельно вектору sr = (0 , sy ). Так как направляющий вектор

sr OY , то прямая будет вертикальной. В этом случае абсциссы всех точек этой прямой одинаковы и равны x0 . Поэтому урав нение прямой проще записать так: x = x0 .

Аналогично,	x − x0	=	y − y0		y = y .
	sx	0			0

2)	Если заданы две точки			М0 и М1 прямой, то вектор
uuuuur
M0 M1	можно взять в качестве направляющего.
3)	r	(A, B)	– вектор нормали прямой, то направ
	Если n =
ляющим можно		взять	вектор	sr = (B, − A). Действительно,
nr sr = 0 nr sr .

4) От канонического уравнения прямой можно перейти к

параметрическим уравнениям прямой:

x − x	1		y − y	1	x = s		t + x
		=			= t	x		1 .
sx			sy
					y = sy t + y1

128

Пример 4.4. Прямая проходит через точки M1 (1, 1) и

M2 (2, − 1) . Записать уравнение этой прямой в различных фор

мах.

Решение. Так как из условий задачи легко найти направ

	r	uuuuuuur			= (2 − 1, − 1 − 1) = (1, − 2) , то проще
ляющий вектор s = M1 M2
сначала записать каноническое уравнение:
				x − 1		=	y − 1	.
					1
							−2
Перейдём к параметрическим уравнениям:
	x − 1	=	y − 1		= t	{xy == −t 2t+ 1+ 1 .
	1		−2

Получим общее уравнение:

−2(x −1)= y − 1 2 x + y − 3 = 0 .

Уравнение с угловым коэффициентом: y = −2 x + 3 .

Взаимное расположение двух прямых на плоскости вполне определяется или их направляющими векторами, или нормаль ными векторами, или угловыми коэффициентами.

Рассмотрим задачу исследования взаимного расположе ния двух прямых для случая, когда прямые заданы своими об щими уравнениями:

L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0,

L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.

129

Выпишем векторы нормалей nr1 = (A1 , B1 ) и nr2 = (A2 , B2 ) . Нетрудно заметить, что (L1 , L2 ) = (nr1 , nr2 ) .

Используя результаты векторной алгебры, запишем формулу,

позволяющую находить угол между прямыми:

	cos (L1 , L2 )=	n nr			=		A A + B B		2
		r	1	r2			1 2	1		.
						A2	+ B2	A2	+ B2
		| n1	| | n2 |
					1		1	2	2

Запишем условия перпендикулярности и параллельности

прямых:

L1 L2 nr1 nr2 nr1 nr2 = 0 A1 A2 + B1 B2 = 0 ,

L || L nr			|| nr	2		A1	=	B1	.
1	2	1				A2		B2

Чтобы найти точку пересечения прямых L1 и L2 , нужно из

уравнений прямых составить систему и решить её.

Пример 4.5. Найти угол α между прямыми

L1 : y = 3x, L2 : {xy == −t 2t+ 1,+ 3.

Решение. Запишем общие уравнения прямых и их векторы

нормалей nr1 , nr2 :

L1 : 3x − y = 0, nr1 = (3, − 1),

L2 : {ty==x−2t− 1,+ 3 y = −2(x − 1)+ 3 2 x + y − 5 = 0, nr2 = (2, 1)

.

130

r

r

5

1

n

n

o

Тогда cosα =

r

1

r2

=

=

. Значит, α = 45

.

10

5

2

| n1

| | n2 |

Решим

важную

задачу:

найти

расстояние

r от точки

M1 (x1 , y1 ) до прямой

L,

заданной общим

уравнением

Ax + By + C = 0 .

Y

M1

n

Решение.

Пусть

точка

M0 (x0 , y0 ) L – проекция точки M1 на

L

M0

прямую L. Тогда

X

uuuuuur

=(x1 − x0 , y1 − y0 )|| nr = (A, B).

O

M0 M1

uuuuuur

В этом случае | cos (M0 M1 , nr)|= 1 , так как угол между векто

uuuuuur

n

рами M0 M1 и

равен

0o

или 180o .

Поэтому

uuuuuuur

r

uuuuuuur

r

| M0 M1

n |

=

| M0 M1 | | n | . Отсюда:

uuuuuuur

uuuuuuur

r

| A(x1 − x0 )+ B(y1 − y0 )|

| M M

n|

r = | M0 M1 |

=

0 r

1

=

=

A2 + B2

| n |

=

| Ax1 + By1 −(Ax0

+ By0 )|

.

A2 + B2

Так как M0 L Ax0 + By0 + C = 0 C = −(Ax0 + By0 ). Итак,

r = | Ax1 + By1 + C | . A2 + B2

Пример 4.6. Найти расстояние между прямыми

L1 : Ax + By + C1 = 0 и L2 : Ax + By + C2 = 0 .

131

Решение. Из условия видно, что L1 || L2 (почему?). Ясно, что расстояние r между параллельными прямыми равно расстоя

нию от какой либо точки M1 (x1 , y1 ) L1				до прямой L2 :
r =	| Ax1 + By1 + C2 |	=	| −C1 + C2 |		=	| C1 − C2 |	.
	A2 + B2
			A2 + B2			A2 + B2

3. Линии 2 го порядка

Логично изучать линии в порядке возрастания сложности их уравнений. Самой простой линией является прямая, она за даётся алгебраическим уравнением 1 й степени. Следующими по своей сложности являются линии, уравнения которых имеют

2 ю степень (линии 2 го порядка).

Рассмотрим линии: эллипс, гиперболу и параболу. Ниже будет показано, что их уравнения в декартовой системе коор динат имеют 2 ю степень, и что других линий, задаваемых ал гебраическим уравнением 2 й степени, нет.

3.1. Эллипс

Эллипсом называется множество точек на плоскости, та ких, что сумма расстояний от каждой из них до двух данных то чек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Это определение позволяет по строить эллипс. Возьмём на плоскости

F1 •

•

132

любые две точки F1 и F2 – фокусы. Возьмём нитку, длина ко

торой больше расстояния между фокусами. Концы нитки закре пим в точках F1 и F2 . Затем с помощью острия карандаша на тянем нитку и, удерживая её в натянутом положении, нарисуем линию на плоскости. Это и есть эллипс. Действительно, сумма расстояний от любой точки линии до фокусов равна длине нит ки, т. е. постоянна.

Для вывода уравнения эллипса выберем декартову систе му координат так, чтобы ось ОХ прошла через фокусы F1 и F2 ,

Y

начало координат О поместим

M (x , y)

•

F1F2 , ось

в середину отрезка

•

•

X OY проведём

через

точку О

O

перпендикулярно оси ОХ. Если

F

F

обозначить

межфокусное

расстояние

F1F2

= 2c , то в такой системе координат фокусы

имеют координаты F1 (−c, 0), F2 (c, 0).

Возьмём произвольную точку M (x, y) на эллипсе. По оп ределению эллипса сумма расстояний от точки М до точек F1 и

F2		(длина					нитки) постоянна, обозначим её через 2a:
	MF1		+		MF2		= 2a . Очевидно, что 2a > 2c , т. е. a > c .

Вычисляя расстояние между точками через координаты точек, получим уравнение эллипса:

133

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a .

Упростим это уравнение. Перенесём 2 й корень в правую часть

равенства, затем возведём в квадрат:

x2 + 2 xc + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2 xc + c2 + y2 .

После упрощений получим: a (x − c)2 + y2 = a2 − cx .

Повторим процедуру возведения в квадрат ещё раз: a2 (x2 − 2 xc + c2 + y2 )= a4 − 2 xca2 + x2c2 .

Перенесём члены с x и y в левую часть, остальные – в правую: (a2 −c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Так как а > c, то a2 − c2 > 0 и

можно обозначить: a2 − c2 = b2 . Теперь уравнение эллипса примет вид: b2 x2 + a2 y2 = a2b2 . Разделим обе части равенства на a2b2 . Окончательно получим каноническое уравнение эл

липса:

x2 + y2 = 1 . a2 b2

Заметим, что из уравнения следует: если точка (x, y) ле жит на эллипсе, то и точки (x, − y), (−x , y), (−x, − y) также лежат на эллипсе. Отсюда следует, что эллипс симметричен от носительно координатных осей (оси симметрии), а также отно сительно точки O (0, 0) (центр эллипса).

134

Точки пересечения эллипса с осями координат называются

его вершинами. Пересечения с осью OX: y = 0 x = ±a . Пере

сечения с осью OY: x = 0 y = ±b . Значит, вершины эллипса

имеют координаты (±a, 0), (0, ± b).

Числа 2a и 2b называются осями эллипса (a и b – полуоси).

В нашем построении a > b . Однако в случае a < b уравнение

	x2	+	y2	= 1 также считается каноническим уравнением эллип
	a2		b2

са. Разница лишь в том, что фокусы та кого эллипса располагаются на оси OY.

Отметим, что числа a, b и с связаны в этом случае другим соотношением:

c2 = b2 −a2 .

Пример 4.7. Построить эллипс

Y

5

• F2

3

O X

	x	2		y	2	• F1
			+			= 1 , указать его фокусы.
	9			25

Решение. Так как a = 3, b = 5 , то a < b , значит, фокусы на ходятся на оси OY. Вершины эллипса имеют координаты:

(3, 0), (−3, 0), (0, 5), (0, − 5).

Найдём c = b2 − a2 = 4 .

Фокусы: F1 (0, − 4), F2 (0, 4).

Если полуоси эллипса равны: a = b, то c = 0, фокусы совпа

135

дают с центром, эллипс превращается в окружность:

	x2	+	y2	= 1 , или x2 + y2 = a2 , a – радиус.
	a2		a2

Характеристикой «вытянутости» эллипса, отличия его от окружности, служит эксцентриситет:

ε = ac .

Здесь c – половина межфокусного расстояния, a – большая по

	c		a2	− b2		b			2
луось эллипса. Так как ε =		=			=	1 −			, то
	a			a
						a

0 ≤ ε < 1 . Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем более эллипс похож на окружность.

В примере 4.7 эксцентриситет ε = bc = 54 , так как b = 5 –

большая полуось.

Замечание. Укажем (без доказательства) оптическое свой ство эллипса: если в один из фокусов поместить источник света,

то все лучи после отражения от эллипса, пройдут через второй фокус.

3.2. Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, та ких, что модуль разности расстояний от каждой до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

136