9. Решение системы линейных уравнений

Р

	A	B	C	D	E	Исходная система
1	Матрица коэффициентов при неизвестных			Правые части
2	1	2	3		10
3	3	2	0		13
4	1	-2	3		2
5	Обратная матрица			Значения неизвестных
6	-0,167	0,333	0,167	Х1=	3
7	0,250	0,000	-0,250	Х2=	2
8	0,222	-0,111	0,111	Х3=	1

Рисунок 29 - Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

ешение системы линейных уравнений методом обратной матрицы имеет следующий видX=A^-1*B. Здесь Х – вектор значений неизвестных, А – матрица коэффициентов при неизвестных в системе линейных уравнений, В – вектор правых частей в системе линейных уравнений.

Для реализации этого метода средствами системы Excel необходимо:

• Разместить на рабочем листе матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор правых частей системы линейных уравнений;

• Вычислить обратную матрицу при помощи функции МОБР;

• Вычислить значения неизвестных, умножив обратную матрицу на матрицу правых частей при помощи функции МУМНОЖ.

Ниже приведён пример системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, оформление её решения методом обратной матрицы на рабочем листе и использование функции МУМНОЖ в процессе решения (Рисунок 29).

10. Задача аппроксимации

Постановка задачи: Дана дискретная (табличная) зависимость Yi от Xi. Необходимо найти ее аналитическую формулу (аппроксимирующую зависимость) в виде параболы Yp = a*X² + b*X + c. Эта задача сводится к нахождению числовых значений коэффициентов a, b, и c. При использовании метода наименьших квадратов они находятся как решение системы трех линейных уравнений (1)(Рисунок 30) с тремя неизвестными a, b, c.

П

	A	B	C	D	E	C		D		E
1	№ точки (i)	Задание		Расчетные величины
2		Xi	Yi	Xi^2	Xi^3	Xi^4		Xi^2*Yi		Xi*Yi
3	1	1	7	1	1	1		7		7
4	2	2,5	8	6,25	15,6	39,06		50		20
5	3	4	13	16	64	256		208		52
6	4	5,5	12,5	30,25	166	915,1		378,13		68,75
7	сумма	13	40,5	53,5	247	1211		643,13		147,75
8	Матрица коэффициентов			Правые части			Данные для построения графиков
9	1211	247	53,5	643,13			Хi		Yi		Yp
10	247	53,5	13	147,75			1		7		6,53
11	53,5	13	4	40,5			2,5		8		9,43
12	Обратная матрица			Ответы			3		13		10,23
12	0,049	-0,321	0,383	a =	-0,167		5,5		12,5		12,12
13	-0,321	2,175	-2,777	b =	2,517		6				13,27
14	0,383	-2,777	4,155	c =	4,175

Рисунок 30 - Аппроксимация зависимостиYотXпараболой

роверьте себя: значенияYp и Yi в соответствующих точках должны быть достаточно близки.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

• На рабочем листе создать таблицу для расчета коэффициентов и правых частей системы линейных уравнений (1). В каждом столбце таблицы вычисляется один из коэффициентов или правых частей системы (1). При этом Х_i и Y_i – значения, данные в исходной таблице. В последней строке таблицы вычислить суммы по столбцам.

• Записать матрицы коэффициентов и правых частей системы (1). Коэффициенты при неизвестных a, b, c и правые части - это суммы из последней строки расчетной таблицы, а коэффициент «n» равен количеству точек в исходной таблице. Можно не переписывать уже подсчитанные суммы, а сделать ссылку на ячейку, где эта сумма подсчитана. Например, чтобы сумма Х_i (Рисунок 30) оказалась в ячейке С10 нужно в ней набрать такую формулу =В7, а ещё лучше нажать на клавишу «=», а затем щёлкнуть по ячейке В7.

• Решить систему линейных уравнений методом «Обратной матрицы» как описано в разделе 9.1.

• Рассчитать значения функции У_р для исходных значений Xi. Значения Х_i и Y_i массив (B2:C6) (Рисунок 30) можно просто скопировать в ячейки С9:D12, а формулу для У_р записать используя абсолютные адреса ячеек где находятся найденные коэффициенты а, в и с.