- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
Простейший поток событий
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление вызовов на АТС, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и т.д. Рассмотрим основные свойства потоков событий.
Свойство стационарностихарактеризуется тем, что вероятность появленияkсобытий на любом промежутке времени зависит только от числаkи от длительностиtпромежутка и не зависит от начала его отсчета, при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.
Свойство отсутствия последействияхарактеризуется тем, что вероятность появленияkсобытий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
Свойство ординарностихарактеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появленияkсобытий простейшего потока за время длительностьюt определяется формулой Пуассона:. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, т.е. формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Пример.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
По условию: По формуле Пуассона:
а)
б) эти события практически невозможны.
в) – практически достоверное событие.
22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно– это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, тогда.
Если дискретная случайная величина Хпринимает счетное множество возможных значений, то, причемМ(Х) существует, если ряд сходитсяабсолютно.М(Х) – неслучайная (постоянная) величина.
Пример 1.НайтиМ(Х), если задан закон распределения:
Х |
2 |
3 |
5 |
р |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
Пример 2.НайтиМ(Х) числа появлений событияА в одном испытании, если вероятность появления событияАравнар.
Пусть Х – число появлений событияА, тогда– событиеАнаступило с вероятностьюри– событиеАне наступило с вероятностью
Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.