книги / Решение инженерных задач на высокопроизводительном вычислительном комплексе Пермского национального исследовательского политехнического университета

Элемент железобетона аналогичен объемному элементу задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с добавлением специальных возможностей образования трещин и скалывания. Самой важной особенностью этого элемента является использование нелинейных свойств материала. Бетон имеет возможность образования трещин (в трех ортогональных направлениях), скалывания, пластического деформирования и ползучести. Арматура имеет возможность растяжения и сжатия, но не сдвига, также поддерживает свойства пластического деформирования и ползучести.

Геометрия, расположение узлов и система координат элемента показаны на рис. 23.1. Элемент определяется восемью узлами и свойствами изотропного материала. К специальным возможностям элемента относятся: пластичность, ползучесть, образование трещин и сколов, большие перемещения и деформации, изменение жесткости при приложении нагрузок, рождение и смерть [3]. При образовании трещины в элементе можно посмотреть, в каком направлении она развивается, каково ее состояние: закрыта или открыта трещина.

Далее, для демонстрации свойств элемента с возможностью трещинообразования рассмотрим задачу о шарнирно опертой балке (рис. 23.2). Исследуемая модель представляет собой шарнирно закрепленный брусок размером 10× 1× 1 м, к центру которого по всей ширине приложено вертикальное перемещение. Для наглядности и лучшей сходимости решения нами был выбран кинематический способ приложения нагрузки. Во всех примерах прикладывалось одинаковое перемещение uy = −0, 01 м.

Рис. 23.2. Свободно опертая балка (закрепление и нагрузка)

271

Трехмерная модель балки занимает объем V, ограниченный поверхностью Γ= Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 Γ6 (см. рис. 23.2). Система балки отнесена к прямоугольной декартовой системе координат, начало которой расположено в левом дальнем углу плоскости Г4 (нижняя плоскость).

Для определения напряженно-деформированного состоя-

ния имеем следующую систему уравнений [4]:
–	уравнения равновесия
	σij , j (x) + ρ(x)Fi	= 0 , x V	(23.1)
где x –	радиус-вектор пространственного положения частицы;
ρ(x) –	плотность материала; ρFi	– компоненты вектора внеш-
них массовых сил.

Здесь и далее по умолчанию запятая с индексом означает частную производную по соответствующей координате xi; индексы при компонентах тензоров, набранные малыми латинскими буквами, принимают значения от 1 до 3. По повторяющемуся индексу (называемому немым индексом) предполагается суммирование также от 1 до 3, если не оговорено другое;

– геометрические соотношения (соотношения Коши): полагаем, что во всех точках деформируемой области деформации будут достаточно малыми.

εij	(x) =	1	(ui, j (x) + u j ,i (x)) , x V ,	(23.2)
	2

где ui – компоненты вектора перемещения u ;

– физические (определяющие) соотношения: определяющие соотношения МДТТ для случая линейной связи между напряжениями идеформациями имеют вид обобщенного закон Гука

σij = Cijkl (x)εkl , x V ,

(23.3)

где Сijkl – компоненты тензора модулей упругости.

272

Граничные условия заданы в перемещениях в виде шарнирного опирания по нижней поверхности и вертикальных перемещений в центре верхней поверхности по всей ширине балки. Остальные поверхности свободны от нагрузок.

ux (x) = 0,uz (x) = 0 x = 0,9L Γ4 ,

uy (x) = –0,001 L x = L / 2 Γ3 ,

(23.4)

ui (x) = 0 x = 0,1L Γ4 ,

где L – длина балки.

σij (x)n j (x) = 0.

Также учитывалось нелинейное поведение, связанное с изменением состояния материала конструкции (появление трещин, раскрашивание). Жесткость в таких случаях меняется скачком и может зависеть непосредственно от нагрузки или определяться некоторыми внешними причинами. При этом учитывались такие характерные виды разрушения бетона и кирпичной кладки, как раскалывание и раскрашивание.

Растрескивание материала или появление «трещины» в плоскости, перпендикулярной одной из координатных осей, приводит к падению жесткости материала в данном направлении. Под «трещиной» понимается образование в бесконечно малом элементе среды зоны со сниженными механическими характеристиками в результате накопления повреждений [5].

В центре балки приложено перемещение по всей ширине (см. рис. 23.2), армирование отсутствует, но с помощью таблиц данных введены нелинейные свойства бетона (учтена зависимость модуля упругости материала от деформации (рис. 23.3).

На рис. 23.4–23.6 приведены изополя деформаций εy , главных напряжений σ1 и вертикальных перемещений u y . Из рис. 23.5 видно, что в зоне образования трещины напряжения

273

равны нулю. Таким образом, «треснувшие» элементы перестают работать и нагрузка перераспределяется на соседние элементы.

Рис. 23.3. Кривая зависимости напряжений и деформаций

Рис. 23.4. Деформации εy

Рис. 23.5. Напряжения σ1 , Па, σmax = 15 МПа

274

Рис. 23.6. Изополя вертикальных перемещений u y , м; umax = 0, 01 м

В результате приложения нагрузки в зонах наибольших растягивающих напряжений образовались трещины. Так как приложенная нагрузка действует в одном направлении, то, как и следовало ожидать, все трещины перпендикулярны действию этой нагрузки, т.е. перпендикулярны площадке главных напряжений σ1. На рис. 23.7, а, б, в показаны картины трещин при различных сгущениях сетки. Самая глубокая трещина на рис. 23.7, в, так как в этом случае самая мелкая сетка, следовательно, жесткость конечно-элементной конструкции ниже.

а

б

в

Рис. 23.7. Картина трещин в зависимости от размера КЭ сетки:

а – при 720 элементах; б – при 4000 элементах; в – при 8640 элементах

Также было рассмотрено поведение данной тестовой модели при задании различных свойств, т.е., помимо задания диаграммы деформирования материала, решались задачи при учете опции армирования конечного элемента и без учета каких-либо свойств, задавались только пределы прочности материала на сжатие и разрыв (рис. 23.9, 23.10). На рис. 23.8 показано направление армирующего материала.

275

Рис. 23.8. Направление армирования

Рис. 23.9. Картина трещин при учете армирования (4000 элементов)

Рис. 23.10. Картина трещин при учете только пределов прочности материала

Результаты тестовых примеров показали, что выбранный конечный элемент чувствителен к размеру сетки и способу приложения нагрузки.

В качестве расчетной модели для исследования напряжен- но-деформированного состояния более сложной конструкции взято здание с фундаментом без моделирования грунтового массива (рис. 23.11). Влияние основания учитывается с помощью кинематических граничных условий, приложенных к фундаментной плите здания. Из-за неравномерности поля перемещений в здании начался процесс трещинообразования. Для упрощения модели и в силу того, что кирпичная кладка имеет более низкие прочностные характеристики, чем бетон, трещинообразование учитывалось только в материале кирпичной кладки.

Физико-механические свойства бетона и кирпичной кладки приведены в таблице 23.1 [5].

Так как свойство трещинообразования для данной расчетной схемы учитывалось только в кирпичной кладке, то на рис. 23.12, а, б приведены картины распространения трещин лишь для этого материала.

276

Рис. 23.11. Геометрическая модель сегмента здания

Физико-механические характеристики материалов

	Модуль	Коэффи-	Расчетное	Расчетное	Плотность,
Материал	упругости,	циент	сопротивление	сопротивление
			растяжению,		3
	МПа	Пуассона		сжатию, МПа	кг/м
			МПа
Кирпичная	23500	0.25	0.21	9.0	1900
кладка
Бетон	750	0.22	7.50	28.5	2800

а

б

Рис. 23.12. Картина распространения трещин в кирпичной кладке: а – вид с фасада здания; б – вид со стороны фундаментной плиты

277

По результатам расчета напряженно-деформированного состояния можно судить о наиболее неблагоприятных зонах, в которых может развиваться трещина. С помощью пакета ANSYS был оценен характер (закрыта или открыта) и направление трещины. Таким образом, можно сделать вывод, что данная расчетная схема подходит для прогнозирования развития трещин в здании и выявления их локализации.

Список литературы

1. Willam K.J., Warnke E.D., Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete // Proceedings, International Association for Bridge and Structural Engineering. – 1975. – Vol. 19. – ISMES.

Bergamo, Italy. – P. 174.

2.Басов К.А. ANSYS: справочник пользователя. – М.:

ДМК Пресс, 2005. – 640 с.

3.ANSYS. Версия 10.0. Руководство пользователя [Электронный ресурс]. – URL: www.ansys.com ( дата обращения:

01.10.2010).

4.Хан Х. Теория упругости: Основы линейной теории упругости и ее применения: пер. с нем. – М.: Мир, 1988. – 344 с.

5.Кашеварова Г.Г., Труфанов Н.А. Численное моделирование деформирования и разрушения системы «здание – фундамент– основание» / УрОРАН. – Екатеринбург– Пермь, 2005. – 225 с.

278

ГЛАВА 24. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОПРАВКИ ДЛЯ НАМОТКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В работе представлены физическая и математическая модели для оценки напряженно-деформированного состояния оправки. Проведен анализ влияния геометрических характеристик оправки на массовые характеристики конструкции.

Для эффективного использования труб из стеклопластика необходимо снизить их себестоимость до уровня стальных. Для этого необходимо снизить энергоемкость приводов, увеличить скорость наработки трубы [3–6].

Анализ существующих конструкций оправок (рис. 24.1) показал, что возможна их существенная модернизация путем использования принципа уравновешивания действующих внешних сил (рис. 24.2). Имеется конструкция, которая защищена патентом [1]. Ниже рассмотрены некоторые вопросы проектирования модернизированной оправки.

Рис. 24.1. Существующая	Рис. 24.2. Новая конструкция
конструкция

Усовершенствованная оправка содержит расположенные симметрично относительно ее оси вращения жестко соединенные в секции секторные планки. Секторные планки снабжены

279

одним или несколькими ребрами жесткости, направленными вдоль оси вращения оправки, и соединены посредством этих ребер жесткости в два или более блоков, образующих рабочую и опорную части оправки.

Достигаемый при этом технический результат заключается в упрощении конструкции, повышении надежности оправки, снижении ее веса, уменьшении материалоемкости и снижении энергозатрат на изготовление трубы.

Наружная поверхность рабочей части оправки определяет форму и размеры изготавливаемой трубы [3–5].

Вобщем случае конструкция, изготовленная из реального материала, находящаяся под действием внешних нагрузок, может иметь много особенностей, включающих в себя несовершенство формы, несплошность и неоднородность свойств материала, особенности в характере внешнего нагружения и т.п. В практических расчетах учесть все имеющиеся особенности конструкции, материала и нагружения не представляется возможным.

Таким образом, физическая модель может быть наделена лишь частью свойств реальной конструкции, при этом ее математическое описание упрощается. От того, насколько удачно выбрана физическая модель конструкции, зависит в конечном счете трудоемкость расчета и точность его результатов.

Врамках физической модели принимается, что конструкция трехмерная; учитывается действующее давление на оправку при намотке, P = 0,6 МПа; конструкция закреплена консольно; материал конструкции упругий, изотропный; материал – сталь 40 [2].

При формировании математической модели находим связь между перемещениями, деформациями и напряжениями. Решение получаем в виде системы линейных алгебраических уравнений.

Исследуемую область разбивают на конечные элементы. Используют треугольные или прямоугольные конечные элементы, с промежуточными узлами на ребрах или без них. Для ре-

280