книги / Управление колебаниями

§ 31

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

461

рейдируя (3.1.37) полным образом по р, получим вместо (3.1.40)

у,(Р) = ( i f |,= е .	Ie(p ) = I ( 0 -	9 - V <Л Р)-
		(3.3.8)

Здесь через |е(р) обозначена сложная функция от р, получающаяся из (3.1.33) при подстановке т = 0, где 0 == = 0(р), см. (3.3.8). Подставим в формулу (3.3.8) функ­ цию dg/d\ из краевого условия (3.1.31)

(I, i o .	#е\	‘*№,А#)рив
—	Ле> 4Р / “	dp

(3.3.9)

Здесь Tie определено аналогично |в в (3.3.8). Так как для всех р имеем М — 0 при т = 0(р), то первое слагае­ мое в (3.3.9) обращается в нуль. Преобразуя второе сла­ гаемое, получим

/;<р>— fa, ■ £ L e ' w - f a . - § L - <3-3-10>

Здесь и далее через д\/др обозначается производная по р от функции (3.1.33), в которую подставлена зависи­ мость 0(р). Вместо d\/dx в формулу (3.3.10) подставим правую часть соответствующего уравнения (3.1.31), а вто­ рое слагаемое в (3.3.10) представим в виде интеграла. Получим

/ ; < » — (ле, < /;> & , 49» © '( Р ) -

	Р	л -“ >
	т0
Первое слагаемое формулы (3.3.11) преобразуем при
помощи	интеграла (3.1.32), взятого при т = 0,	h = 0.
Второе	слагаемое равно пулю, так как £ = а0 при т = то

для всех р. Под интеграл в третье слагаемое формулы (3.3.11) подставим производную от т) в силу системы

11 Ф. Л. Чериоусько, Л. Д. Акуленко. Б. Н, Соколов

162	УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ								[ГЛ. 3
(3.1.31).	В	результате формула				(3.3.11) примет			вид
^ ( Р ) =	Р » 6(в ) е #(Р) +
- ! [ ( * - £		+ т < 4 ' < / :> )' I			) - ( ч Л у # ) ] * • • ’ <3 'З Л 2 >
Дифференцируя по параметру р уравнение (3.1.31)
для получим
		d	д%	аОоУ	a(fo)		дг\	(3.3.13)
		dx	д$ ~~	дЪ	+	дт\	I f
Подставим (3.3.13) в (3.3.12) и воспользуемся тож­
деством
			*(’Ь<,,>) =		</.>			(3.3.14)

Напомним, что тождество (3.3.14) вытекает из (2.2.7)

и определения (3.1.28) функции </о>, или же из кано­ ничности усредненной системы (3.1.31). Из соотношений (3.3.12)—(3.3.14) получим

А(Р )= Р"> ( & ) в ' (Р) + Р J	- § ) л =
ч '	'
ч	в = в(р). (3.3.15)

Окончательный вид производной J0(Р) совпал со слу­ чаем фиксированного 0 (см. (3.1.41) и (3.3.15)). Поэто­ му дальнейшие выводы п. 6 § 1 сохраняют свою силу. Значение р = 0 является точкой возможного экстремума

функции / 0(р).	Если вторая производная	Jo (Р) сущест­
вует, то точка	Р = 0 будет локального	минимума, если

выполнено условие (3.1.42). Условия глобального мини­ мума функции /о(р) можно представить в виде (3.1.44) или (3.1.45).

Процедура построения приближенного решения зада­ чи оптимального управления остается той же, что и в слу­ чае закрепленного времени (см. п. 7 § 1). Отличие бу­

§ 3] НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 163

дет состоять в том, что усредненная краевая задача (3.1.31) решается при нефиксированном 0, после чего

устанавливается		связь	0 = 0({J) при	помощи интеграла
(3.1.32)	, где	h —0.	Оптимальное	управление строится
также	аналогично п. 7		§ 1 и может	быть представлепо

в виде функции различных наборов аргументов. Отме­ тим, что управление в форме синтеза оказывается зави­ сящим лишь от а, ф и не зависит от т, что является следствием того, что система автономна, а время оконча­

ния процесса Т пефпкенровапо.				лзложенпой методики
4.	Пример. Для	иллюстрации
рассмотрим задачу управления быстрыми вращениями
системы типа маятника (см. (3.1.12))
У = еи + е/(у),		у (0) = у0, у (0) = у0 >			0,
	М < о о ,	у(Г) =	у * > 0 ,		(3.3.16)
	т
J =	гк'Т + е f u2dt ->■min,		/с =	const >	0.
	о	*

Здесь б > 0 — малый параметр, Т—нефиксированный момопт окончания процесса, / — 2л-периодическая функ­ ция от I/ с нулевым средним. Скалярная переменная у является быстро вращающейся фазой, а медленная пере­

менная у — частотой. Введением дополнительной цикли­ ческой переменной функционал (3.3.16) приводится к ви­ ду (3.1.15). Из условия максимума гамильтониана (3.1.17) находим, что и* = V2p, где р — скалярная пере­

менная, сопряженная у. Усредненная краевая задача (3.1.31) в данном случае имеет вид

	_	Ч,			Ч	ч!
“ЗГ —						L, ’
dx	=	г	S	. =	о.	т = е*.	<3-3-17)
			ах
Ш =		is (0) =		0,	h (в) « у * .

1l2(0) = - l , 0 = вТ.

Здесь медленная переменная |i отвечает у,	функ­
ционалу (3.3.16), а Ць Цг — соответствующие	сопряжен­
ные переменные.

И *

164 УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. 3

Запишем решение (3.1.33) краевой задачи (3.3.17) для

1ь Ль Ла |1 = -(Р /4 )(т -0 )8-

- (т - 0)в	(Д + ре'Л) + У*,				А = У°-У*,			(3.3.18)
т)1- - Р	( т - 0	) - 2 0	- , (Д +		Р в 7 4 ) .
Первый интеграл (3.1.32)				при	1ъ =	0 дает	связь меж­
ду переменными
		К1 + у ч		! - *	= 0.			(3.3.19)
Подставляя в		(3.3.19)	решение			(3.3.18)	и	полагая
т = 0, получим связь между параметрами 0							и	£ в виде
	Ру* + 0~2(Д + V4p02)2 -					к = 0.		(3.3.20)

Для вычисления /о(р) = |а(0(р)) воспользуемся соот­ ношениями (3.3.17), (3.3.18). В результате интегрирова­ ния получим

/о(р) = 2/с0 - (р2/24)0® - (р/2)0Д - ру*0, (3.3.21)

где зависимость 0(р) дана формулой (3.3.20). Путем диф­ ференцирования этой неявной функции вычислим про­ изводные

0' (0) = \0(0) к-1(у , + ± д), кв*(0) = Л2,

/„ (0) = 240' (0) - 0 (0) (у, + 1 Д) = 0.

(3-3,22)

Как и следовало ожидать (см. (3.3.15)), точка р = 0 является стационарной точкой функции /о(р). Вычисляя вторую производную (3.1.42) при помощи равенств ю = = |ь (3.3.18), (3.3.22), получим

j"„ (0) = 0s (0)/24 + 0 (0) ( у* + 4 bj/zh > 0.

Таким образом, значепие р = 0 соответствует локаль­ ному минимуму функционала. Подставляя Р — 0 в (3.3.18), (3.3.21), а также в формулу tt**=V2Ль получим искомое приближенное решение |i для медленной

§4]	У П Р А В Л Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я М И			М А Я Т Н И К А	165
фазовой переменной у, уравнения и функционала
	!i = у0 + т7с,/2 sign (— Л),			A =
	0(0) =	|Д|7с-1/2, и* =	kU2sign (— Д),		(3.3.23)
	/о	= 2 1Д |/с1/г =	27с0 (0).

Здесь 0(0) определено формулой (3.3.22). Управление (3.3.23) можно представить в форме синтеза, а именно

u* = kU2sign (у*-у).

Отметим, что вклад каждого из членов (3.3.16) в функ­ ционал, как следует из (3.3.23), в первом приближении одинаков и равен IДIА:1/2.

В следующих §§ 4, 5 на основе развитой в §§ 1—3 методики исследуются задачи управления колебаниями и вращениями нелинейных систем с одной и двумя сте­ пенями свободы.

§ 4. Оптнмальпое управление колебаниями

пвращениями маятника1

1.Постановка задачи. В качестве примера применения метода усреднения с ограничением на управление рас­ смотрим движения маятника под действием ограниченно­ го по модулю управляющего момента. Выберем единицу

времени так, чтобы период малых колебаний маятника был равен 2я. Тогда уравнение движепия примет вид

<p + sincp =	eH, Ы < 1 ,	0 < £ < 2 \	(3.4.1)
Здесь <р — угол	отклонения	маятника	от нижнего

устойчивого положения равновесия, е > 0 — малый пара­ метр. Требуется пайти управление и, минимизирующее полную энергию маятника в заданный конечный момент

времени Т = 0е-1.		введем полную
В качестве медленной переменной
энергию маятника
а = 1/2ф2— (1 + созф),	—2.		(3.4.2)
Здесь за начало отсчета энергии принято верхнее по­
ложение равновесия .маятника	ф = я,	так	что при

У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х З А Д А Ч А Х

1ГЛ . 3

— 2 < а < 0 маятник совершает колебания, а при я > 0 — вращения. Дифференцируя (3.4.2) в силу (3.4.1), получим

уравнение		(см.	(3.1.9))
		а =	щи,	я(£о) = а°,	— 2 < а0< °°,	(3.4.3)
где ф выражается через а, ф согласно (3.4.2)
			Ф = ± [2(я 4-1 +		cos ф )]1/2.	(3.4.4)
Уравнепис для фазы i|) имеет обычпыи вид (3.1.9)
			1|) = ©(я) + еТЧф, а)и.
Здесь		« ( а ) — частота колебапий или вращений					(см.
. ниже),	а вид		2я-периодической по ф функции			F для
дальнейшего несущественен.
2.	р,	Приближенное оптимальное управление. Обозначая
через		q сопряженные переменные, отвечающие					я,
получим на основании принципа максимума (см. (3.1.17),
(3.1.18))
			zz* = s ig n (/^ + gF ).
Так как q = 0(e)				(см. § 1), то при условии отсутствия
особых	управлений			(р Ф 0)	с погрешностью 0(e)		по
функционалу
				и* = sign(/Hp).		(3.4.5)

Введем усредненные переменные 1, ц, отвечающие переменным я, р. Подставим управление и* из (3.4.5) в уравнение (3.4.3) и в соответствующее ему сопряженное уравнение и усредним уравнения по фазе i|). Получим усредпепнуго краевую задачу (см. (3.1.31))

2Я

W =	|ф № signal, £(0) = я°,	(3.4.6)
	о
	2Я

И = - 1 ,н 4 г ж 1 |фМЧ> —	л<в) — 1.
О

Здесь ф должно быть выражено через я, 1|). Как сле­ дует из первого уравнения (3.4.6), наплучшпй результат (минимум 7«=|(0)) достигается при условии, что г| < О

§ 4)	У П Р А В Л Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я М И М А Я Т Н И К А	107
иа всем	интервале т «=[(), 0]. Требуется выяснить,	до­

пускает ли второе (сопряженное) уравнение (3.4.6) реше­ ние, обладающее этим свойством. Очевидно, если поло­

жить	Р =		0, то	т](т) < 0 для всех			т е [0,	0]. Следователь­
но,	в	первом		приближении можно положить р < 0 в
(3.4.5).			установлено, что в			первом		приближении по
Итак,
функционалу (п переменной а) синтез оптимального уп­
равления имеет вид:
					и* — — signcp.			(3.4.7)
Движение маятника (3.4.1) под действием управления
(3.4.7) описывается уравнением
				<р + sin ф = — е sign ф,				(3.4.8)
отвечающим движению при наличии сухого трения.
3.			Анализ		оптимального	движения. Асимптотическое
решение			уравнения (3.4.8) строим, следуя [227], где ре­
шалось			аналогичное уравнение.				При	е = 0 уравнение
(3.4.8)		описывает			свободные	колебания или вращения

маятника.

В режиме колебаний при — 2 < а < 0 , решение зада­ ется соотношениями [89, 236, 723

	Ф =	2 агсзт{А:1 sn[&i(i + 6|), /cil), 0 ^ /с*< 1 ,
к\ =	а	а,	(3.4.9)
	1 + у		Тх= 4К (/fj), Фо = 2 arcsin kL.
Здесь 6i — произвольная фазовая постоянная, ^ — пе­
риод	колебаний,		фо — их амплитуда; sn — эллиптический

синус, К — полный эллиптический интеграл первого рода,

/с, — модуль	эллиптических функций.		Нижний индекс 1
далее будем	относить	к колебаниям,	2 — к вращениям.
В реяшме вращений, при а > 0, имеем
Ф =	2 am[(i	б2) к^1, й2].
* Г * - 1 + т в,		“ > 0 - П = 2 к,К(кг). (3-4-10>

Здесь бг — фазовая постоянная, Т%— период враще­ ний, am — эллиптическая амплитуда, къ — модуль.

168	У С Р Е Д Н Е Н И Е В Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х		З А Д А Ч А Х	[Г Л . 3
Выпишем первое уравнение (3.4.6) для режима коле­
баний (3.4.9) в явном виде (имеем г\ <			0)
	тг	т±/4
£ —	1 7 J 1 * 1 * - - - ^ J
	=	— 4ГГ1(Ро = — 2К 1(/сх) arcsin kL.		(3.4.11)

Здесь s заменено на а и использованы свойства чет­

ности функции ф из (3.4.9). Переходя к переменной /с? и выбирая в качестве т = 0 момент перехода из режима

вращений в колебания, где а = 0, получим из	(3.4.11)
dkl/dx = - КГг(Аа) arcsin /съ кг(0) = 1, т >	0. (3.4.12)

Уравнение (3.4.12) интегрируется в квадратурах. Аналогично, пользуясь соотношениями (3.4.10), выпи­

шем уравнение для а в режиме вращений

Переходя к переменной к\ согласно (3.4.10), получим

dkl	к*	М 0 ) =	1, Т < 0 .	(3.4.14)
■ З Г = Т Ш
Уравнение (3.4.14) интегрируется в полных эллипти­
ческих интегралах.	Действительно,		обозначив	z = к\,
и пользуясь формулой из [236, стр. 117], находим
		z=fc|
	4 E ih)			т < 0 .
				(3.4.15)
Здесь ЕШ — полный эллиптический интеграл второго
рода, Ж1) = 1. Формула		(3.4.15)	определяет	решение
уравнения (3.4.14) при х ^		0.
Отметим некоторые свойства функций к{(х), к2(х),
следующие из (3.4.12)— (3.4.15). Обе			функции монотонно
убывают с ростом величины 1x1. При малых т,				когда к\

§4]	УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯМИ МАЯТНИКА

близко к единице, асимптотика /сДт) имеет вид

1 -fc \

(3.4.16)

Здесь использована связь к\ и а из (3.4.9). Формула (3.4.16) позволяет отойти от точки т = 0 при численном интегрировании уравнения (3.4.12). Формулы (3.4.16)

справедливы также и для режима вращений (3.4.13)— (3.4.15) с заменой к\ на к2, т на — т и а на — а.

Исследуем асимптотику в другом предельном случае, когда ki и к2 близки к нулю. Используя представления Ki.lt) при малых к в (3.4.12), (3.4.14), получим

к\ «	— (т — т*)/л,	0 ^ т < т * ; klt		= 0 , т > т * .
	к2 — —2/т,		т -*• — оо.	(3.4.17)
Здесь	т* — некоторая	положительная		постоянная. Из
(3.4.17)	следует, что величина к\ обращается в нуль при
некотором конечном значении			T = T #I , T .	е. полная оста­

новка маятника требует конечного времени. Это естест­

венный результат для системы (3.4.8)		с сухим трением.
Формула (3.4.17) для к2	описывает	убывание к2 при
Т -------- оо.	определения зависимостей
Результаты численного

AJ(T) и k2ir) представлены на рис. 3.3. Зависимость &I(T) определялась интегрированием уравнения (3.4.12) с уче­

170	УСРЕДНЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ	[ГЛ. 3
том	асимптотики (3.4.16), а зависимость к2(х) — путем

расчета по формуле (3.4.15). График к\(х) близок к пря­ мой лншш. Зпачеппе постоянной т* в формуле (3.4.17) оказалось равным т* = 3,342. Эта постоянная равпа без­ размерному времени, необходимому для остановки в ниж­ нем положении равновесия маятника, первоначально на­ ходящегося в верхнем положении равновесия.

На рис.	3.4 (в мелком и крупном масштабах) пред­
ставлена зависимость энергии а(х) для колебаний		(т 5s 0)
п вращений	(т < 0 ), полученпая путем пересчета	зависи­

мостей fti(r) н к2(х) по формулам (3.4.9), (3.4.10). Отме­ тим, что согласно асимптотической формуле (3.4.10) про­

изводная dx/da^>— 00	при а-*-0. Поэтому касательная
к кривой а(х) в точке	т = 0, а = 0 горпзоптальпа, что
видно на рис. 3.4 в крупном масштабе.

Зависимость а(т) является универсальной п позволяет решать различные задачи о мппимпзации и максимиза­ ции энергии маятника. Пусть в начальный момент эпергия маятника равпа а0 п требуется за время Т = 0е-1 минимизировать или максимизировать конечное значение полной энергии колебаний или вращений маятника. Что­ бы решить эту задачу, вначале на графике а(т) паходпм точку то, отвечающую начальному значению а(то) = а0. В силу строгой монотонности а(т) точка то единственна. Затем от точки то отложим интервал длины 0 в сторону возрастания т в случае минимизации энергии п в сторону

убывания — в	случае	максимизации	энергии.	Получим
точку т = то + 0 для		задачи минимизации и		точку т =
= то — 0 для	задачи	максимизации	энергии.	Соответст­

вующие этим точкам значения а(то ± 0) дадут минималь­
ную (максимальную) энергию в конце интервала управ­
ления. Отметим, что	если т0 + О 5* т*, то это означает,
что в конце процесса	маятник находится в нижнем устой­

чивом положении равновесия,	где а = — 2. При этом
управление и* = 0 на интервале	т * < т < Т о + 0.

Полученные решения могут описывать переход вра­ щений в колебания (для задачи минимизации энергии) или колебаний во вращения (для задачи макепмпзацпп энергии). Такие переходы будут иметь место, если интер­ вал [то, то + 0] содержит точку т = 0. Отметим, что при таком переходе, отвечающем переходу возмущенпого ре­ шения через сепаратрису порождающего уравнения, ча-