книги / Управление колебаниями

§ 41

П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е Д В У Х М А С С О В О Й С И С Т ЕМ Ы

271

Поставим цель найти какое-либо решение системы (6.4.28). Заметим, что начало и конец траектории можно поменять местами, обратив дви­ жение. Поэтому будем искать

t2, tz в виде, обеспечиваю­ щем симметрию управления (6.4.27) относительно момента i =* 772

U = 272 -	/ 2 =	772,
U = Т/2 +		(6.4.29)
Здесь	1 — нсизвестпая пос-		о	8п г
тояпная.	Подставим формулы
(0.4.29) в систему		(6.4.28). Пер-		Рпс. 6.9.

вое уравнение (6.4.28) при этом автоматически удовлетворяется, а остальные уравнения преобразованиями приводятся к виду

2g2 = ТУ4 - a,	cos (772)12 cos | - 1 - cos (772)1 = 0,
sin (772)[2c o s | - l - c o s (772)] = 0.						(6.4.30)
Последние два уравнения			(6.4.30)	удовлетворяются,
если принять
	%=	arccos cos2 (274).				(6.4.31)
Подставляя (6.4.31) в первое уравнение (6.4.30), пол}-?
чпм уравнение для Т
		f(T)=a.				(6.4.32)
Здесь введено обозначение
/(Я =	ТУА- 2 {arccos[cos2 (774)D2.					(6.4.33)
Можно показать, что фупкцпя /(Я				пз	(6.4.33) строго
возрастает от 0 до °о, когда Т изменяется от 0 до						Сле­
довательно, при любом		а > 0	уравпенпо		(6.4.32)	имеет
едннствеппое решеппо		7’ > 0 .	График функции /(Я дай

на рис. 6.9. При Т ->- 0 и Т -*■«> справедливы асимптотиче-

272	П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х	С И С Т Е М	[Г Л . 6
скпе представления
/(Г )= ш	+ 0 (П (Г-*0), /( Г ) = £	+ 0(1)	(Г->оо).
			(6.4.34)

Соотношения (6.4.34) можно использовать для при­ ближенной оценки решения уравнения (6.4.32) при малых или больших а. Отметим еще следующие равенства, выте­ кающие из (6.4.33)

/(4я7с) = 4я2/о2, к = 1 , 2 , . . .

(6.4.35)

Построение управления (6.4.27) свелось к следующим операциям. Сначала для заданного а > 0 находим единст­ венное решение уравнения (6.4.32), для этого можно по­ пользовать график рис. 6.9. Далее определяем £ либо по формуле (6.4.31), либо из первого уравпеппя (6.4.30), что эквивалентно

Из соотношений (6.4.32), (6 АЗЗ) видно, что всегда Т>21а. (6.4.37)

Следовательно, величина |, определяемая равенством (6.4.36) , вещественна и неотрицательна. Искомые момен­ ты переключений находим по формулам (6.4.29). Из (6.4.36) следует, что | < 274, поэтому момспты переключе­ ний удовлетворяют неравенствам

	0 < т	<	« 1 < < г < »		з <	т < : г -	<м	-38)
Если	а ~ 4я2/с2,	к = 1 , 2 ,		...,	то	вследствие	равенств
(6.4.35)	уравнение (6.4.32) пмест решение Т = 4л/о. В этом
случае соотношения (6.4.36), (6.4.29) дают
а = 4я2/с2,		Т = 4я/о,		£ = 0,		Т = 2 i 'и,
	t\= h =		t3= 272,		/с =	1 , 2 , . . .	(6.4.39)
Режим (6.4.27) с			тремя	переключениями			в	случае
(6.4.39)	переходит в оптимальный режим (6.4.15),							(6.4.19)
с одним переключением.

Итак, построено управлеппе (6.4.27), переводящее си­ стему (6.4.10) из начального состояния в конечное (6.4.11)

§ 4] ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ 273

при любых а > 0. Для доказательства его оптимальности, как и в п. 3, укажем соответствующий пепулевой вектор сопряженных переменных. При этом исключим значения а, указанные в (6.4.39), так как для пих оптимальность

управления уже	доказана в п. 3. Для а ^ 4 я 2/с2, как не­
трудно видеть лз (6.4.32), (6.4.33), (6.4.36), имеем
Т > 2 а1'2,	%> 0,	а Ф 4л2/с2, к =	1 , 2 , ...	(6.4.40)
Рассмотрим при условиях (6.4.40) сопряженные псрс-
мстптыо
				(6.4.41)
Функции (6.4.4!) удовлетворяют системе (6.4.13), а со­
ответствующее пм управление (6.4.14) равно
u[t) = sign [ т *		( т - * ) - Ц	т - ‘)]-	<6-4-42>

Нетрудно проверить, что управление (6.4.42) испыты­ вает переключения в моменты (6.4.29) и совпадает с (6.4.27). Условие Н(Т) > 0 также выполнено.

Итак, построепиое управление (6.4.27) удовлетворяет прттпципу максимума для рассматриваемой линейной за­ дачи быстродействия, Условие общности положения п принадлежности нуля внутренней части области ограниче­ ний Ы < 1 здесь также выполнены (см. п. 2 ).

Следовательно, управление (6.4.27), определяемое соот­ ношениями (6.4.29), (6.4.32), (6.4.33), (6.4.36), оптимально при всех а > 0. Это едипствеппое оптимальное управление есть решение задачи 5.

Обозначим через Т*(а) мпппмальпое время перемеще­ ния системы (6.4.10) пз лачальпого состояния (6.4.11) в состояние х{1') = a, v(T) = 0. Здесь гашепля колебаний, т. е. равепств ф — а =0 при t = Т, пе требуется. Отималь-

пое	время быстродействия Т*(а) соответствует примеру
1 пз	Г176], который описывается первыми двумя уравне­

ниями (6.4.10), и равно Т*(а) = 2я,/2. Теперь неравенство (6.4.37) приобретает паглядпьтй смысл Т>Т*, т. е. время перемещения с условием гашеппя колебаний не меньше, чем время перемещения без этого условия. С'другой сто-

18 ф. я. Чсрноусько, Я. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов

274	ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ	СИСТЕМ	[ГЛ. в
роны, имеет место неравенство Т < Т i,		где 1\Ы) — зави­

симость (6.4.26) времени от пути для квазиоптимальпого режима с одним переключением. В обоих леравепствах Г* < JT < Т\ достигается равенство при значениях а из (6.4.39), п только при них. На рис. 6.10 сплошпой и пунк­ тирной кривой соответст­ венно показаны отпошепия Т/Т* н 7УГ* в зави­ симости от а. Вторая завпсимость является раз­ рывной функцией а. Прп

	больших а оба отношения
	приближаются к			единице.
	6 .			Управ
	нейными		колебаниями.
	Откажемся		от	условия
	малости угла ср и рассмот­
р и ею	рим	пелипойпую		систему
	(6.4.1). Будем искать уп­
равление с одной точкой переключения,			расположенной
в середине интервала
F M = F *f	i s (0,772),	0 < F * < F 0,		(6.4.43)
F(t) = -F *,	te(T/2,T).

Здесь F*— неизвестная постоянная, подлежащая опре­ делению, Т — время процесса. Управление (6.4.43) удов-', летворяет ограничению (6.4.3) и должно переводить си­ стему (6.4.1) из пачальпого состояния (6.4.4) в конечное (6.4.5).

Потребуем, чтобы движение обладало свойством C H M -'I мстрии относительно точки t = 772, точнее, чтобы коорди­ наты (х — а/2 ), ср были печетными, а скорости — v, со — четными функциями от t — 772. Указанные свойства чет­ ности допускаются уравнениями (6.4.1) (прп печетпом уп­ равлении (6.4.43)) и граничными условиями (6.4.4), (6.4.5).^ Вместо условий в конце движения (6.4.5) достаточно по­ требовать равенств

«(772) = а/2 , <р(772) = 0 .

(6.4.44)

Тогда движепие, построенное на интервале (0, Т/2) при граничных условиях (6.4.2), (6.4.44), будет продолже­ но указанным симметричным образом на интервал (772, Т).

<> 41

П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е Д В У Х М Л С С О Б О Й С И С Т ЕМ Ы

275

Проинтегрируем систему (6.4.1) при постоянном управ­ лении F. Интегрируя дважды уравнение двпжепия цент­ ра масс, получим

(М + т)v — тЬ(й cos ср = F*t + С\,

(6.4.45)

Ш + т)х — mb sin ср = F*tV2 + Сit + С2.

Здесь С1, Со — постоянные интегрирования.

Полная механическая энергия системы (6.4.1) равна

Е = v + -----mbvсо cos ср — mgL cos ср. (6.4.46)

Изменение энергии (6.4.46) равно работе постоянной силы F*. Поэтому имеем интеграл (Са— постоянная)

(М + то) v /©-----mLm cos ср — mgL cos ф — F^x = C3.

(6.4.47)

В сохранении интеграла (6.4.47) можно убедиться и непосредственно, умножая первые два уравнения (6.4.1) на v, со соответственно и складывая их. Выразим перемен­ ные v, х при помощи равенств (6.4.45) и подставим их в (6.4.47). После упрощений получим

М т 2 cpj ср2 — mgL cos ф ■ mLFg sin<p -1- M+ m

C\ -2F*C2=ca. (6.4.48) 2{M + m)

Уравнение (6.4.48) сводится к квадратуре. Определим произвольные постоянные, подставляя на­

чальные данпые (6.4.4) в интегралы (6.4.45), (6.4.48)

С\ — С2 — 0, Сз,— — mgL.

После этого интегралы (6.4.45) примут вид

Ш -Ьm)v — mLd) cos ф= F* t,

(6.4.49)

Ш+ m)x — mLsin cp — F# tV2,

аинтеграл (6.4.48) даст

mLF,„sin <p

M-i-m — mgL (1 — cos ф). (6.4.50)

18*

2 %

П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М

[Г Л . О

Для определения двух неизвестных постоянных F%, Т закона управления (6.4.43) имеем два условия (6.4.44). Подставляя их в (6.4.49), получим соотношение

(M+ m)a = F*T2/4.

(6.4.51)

Для получения второго соотношеппя проанализируем уравнение (6.4.50). Его левая часть неотрицательна, так как I > mb2, а его правая часть

2шХ sin ■§•

cos i - g sin -f-)

положительна па интервале (0 , ср*), где

Ф« = 2 arctg

(6.4.52)

Следовательно, угол ср, изменяющийся согласно урав­ нению (6.4.50), испытывает колебания в пределах 0 < ^ ф < ср* Условие (6.4.44) для ср означает, что Т/ 2 равно целому числу п периодов колебаний, т. е.

Т_ = 2^п Т		[I - mzL2 (М-|- щ) - 1 cos2 cpl1/adtp
2	mL J	щ _| W)-i sin ср— g (1 — cos ф)]1/2 *
		n = l , 2 t .. .	(6.4.53)
Исключая T при помощи равенства (6.4.51)
		Т = 2 [{М + m) aF; 1 ] 1/2	(6.4.54)

иподставляя ого в (6.4.53), получим

^Ш + т) a j 1/a _

т*	(М+ m)-*1 cos2 ф]17Уф	_ . „
_
mb.) [7^ (7J/	mp i sin ф _ g ^ _ cos ф)]1/а ’	11 ~~ ’ А' "
		(6.4.55)

Итак, расчет искомого режима (6.4.43) сведен к решеипю относительно /'’* трансцендентного уравнения (6 .4 .5 5 ), в котором ср* дано формулой (6.4.52). Решение F* долншо лежать в интервале 10, FQ\. Большим F* отвечает соглас­ но (6.4.54) мепьшее время Т. Следовательно, натуральное

$ 41 перемещение двухмассоеой системы 277

п следует выбрать таким, чтобы соответствующий корень /'’ * уравнения (6.4.55) лежал в (0, Fo\ и был максимален. Интеграл (6.4.55) может быть упрощен в предельных слу­ чаях малых и больших отношений т/М.

Рассмотрим вопрос о возможности схода со связи для режима (6.4.43) в случае точечной массы т, подвешенной на иорастяжпмой нити. Воспользуемся для этого форму­ лой (6.4.8).

	В силу симметрии движения достаточно рассмотреть
интервал		£е[0, 2Y2I, па котором				F = F#1 ере [0,			ф*|.
В силу равенства (6.4.52) имеем						0 < ф < я. Рассмотрим
•сначала те моменты времени,					где 0 ^ ф < я/2. Здесь пз
формулы (6.4.8) сразу получим R > 0.								лишь	при
	Пусть	теперь	я / 2 < ф < я ,		что		возможно
Ф *> я/2. На этом интервале					sin ф		и cos ф	убывают, н
справедливы следующие оценки для (6.4.8)
д	т{Р* sin ф + mgcosф)			т(Р*sin ср» + mgcosф»)					_
		М -f- т					М+ т
			__ 2mF* tg (ф^/2) + m2g[1 — tg2 (у»/2)1
					(Л/ -f- т) [1 + tg2 (ф*/2)]
	Подставляя ф*		из (6.4.52), получим
	D ^	2/и. (М+	т) gF\ + т г (М+			m)2 g3 -		^ Л
	^		(Л/ +	т) 3 g				>

Итак, R > 0, и сход со связи при данном способе дви­ жения никогда не происходит.

Покажем, что построенные режимы управления, опре­ деляемые соотношениями (6.4.43), (6.4.52), (6.4.54), (6.4.55), олтимальпы (являются решением задачи 4) прп некоторых зпачениях параметров задачи. Пусть уравне­ ние (6 .4 .5 5 ) при некотором натуральном п имеет решепис F.^ = F0, т. е. параметры задачи, таковы, что прп некото­

ром п выполняется равенство

Г(М -I- т)а11/2 _

L	2^	J “
	Фо	[I — m*L(М+ ffl)-1 cos2 ф]1/2 eftp
___ К_ Г			= Ij 2, . ..
~	mL ,)	n
		(Л/ - f ю )"1 sin ф — g ( L — cos ф)j 1/z '

Фо = 2 arctff F0(M +	^ ) _ 1 g~l.	(6.4.56)

278	ПЕРЕМЕЩЕНИЕ НОЛЕВАТЕЛЬЙЫХ СИСТЕМ	1ГЛ. в
В этом случае управление все время лежит па ограни­
чении, а время движения (6.4.54). равно
	r=.2[(Af + i»)ftFJ1]lft.	(6.4.57)
Для доказательства оптимальности первое уравнение
(6.4.1)	представим в виде
	q = F7 q = Ш + т)х — mb sin <р,	(6.4.58)

где q характеризует положение центра масс системы. Из краевых условий (6.4.4), (6.4.5) вытекает, что

g(0) = g(0) = 0, q(T) = m + m ) a , i ( T ) = 0. (6.4.59)

Рассмотрим задачу о наискорейшем перемещении цент­ ра масс системы (6.4.58) при условиях (6.4.59) и ограни­ чении (6.4.3). Решение этой линейной задачи быстродей­ ствия, как отмечалось в п. 5, дается управлением (6.4.43) при F = FQ. Время быстродействия равно (6.4.57).

В поставленной задаче о паискорейшем перемещении с гашением колебаний (6.4.1), (6.4.3) — (6.4.5) требуется, помимо условий (6.4.59), удовлетворить еще условиям на Ф, со. Поэтому время быстродействия в исходной задаче но меньше (6.4.57). Это доказывает оптимальность режима (6.4.43) с одним переключением, а с F *=F 0 для тех слу­ чаев, когда выполнено условие (6.4.56). Условие (6.4.56) выделяет счетное число значений расстояния а, пропор­ циональных п2.

Построенные здесь режимы являются непосредствен­ ным обобщением решений пп. 3, 4 и переходят в них в в случае малых колебаний.

Г Л А В А Т

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Вэтой главе рассмотрены режимы, сообщающие колебательпой системе заданную скорость с гашением ко­ лебаний относительно положения равновесия. Такие ре­ жимы будем пазывать режимами разгона. Будут рас­ смотрены также режимы торможения, гасящие колеба­ ния системы, с одновременной, ее остановкой.

В§ 1 дана постановка задач разгона и “уорможенпя. Показано, что задача торможения заменой переменных сводится к задаче разгона. В § 2 исследованы задачи разгона при ограничениях, наложенных либо на ско­ рость, либо на ускорение положения равновесия. В § 3 рассмотрена задача разгона при совместных ограниче­

ниях па скорость и ускорение положения равновесия. В § 4 приводится решение задачи о разгоне маятника переменной длины. Изложение этой главы опирается па результаты работ [199, 197, 141, 140, 92].

§1. Задачи папскорсйшего разгона

сгашением колебаний1

1.Постановка задач. Рассматриваемая колебательная система представляет собой маятник, точка подвеса ко­

торого может перемещаться вдоль горизонтальной оси х. Эта система (рис. 6 .1 ) описана в и. 1 § 1 главы 6 , и ее уравнения в безразмерных переменных имеют вид (6.1.5), а именно .

Ар = £0 , 0 = — ф + U>, X = V, V — W.

( 7 . 1 . 1 )

Построенные в главе 6 оптимальные п квазиоптпмальпые способы управления колебательной системой (7.1.1) обеспечивали ее перемещение па заданное расстояние а с гашением колебаний. При этом законы управления зависели от а и в процессе движения система соверша-

280

РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. 7

ла колебания. Рассматриваемые в данной главе режимы разгона (торможения) переводят систему из покоя в состояние поступательного движения без колебаний (и обратно). Эти режимы особеппо удобны с практической точки зрения, так как их применение позволяет разбить перемещение колебательной системы па три этапа: раз­ гон — движение без колебаний — торможение. Управле­ ние па этапе разгона и торможения определяется только параметрами системы п не зависит от расстояпия, па ко­ торое требуется переместить систему. Движение без ко­ лебаний па среднем участке дает возможность сочетать этот впд движения с другими, например, с измененном длины подвеса. Это позволяет, в частпостн, сравнитель­ но просто перемещать маятник в вертикальной плоскости на заданное расстояние и высоту с гашением его колеба­ нии. -

Предполагается, что па скорость vit) н ускорение wit) наложены ограппчопия вида (а, р, Ъ— заданные константы)

	а ) - а < у < р , а > 0 , Р > 0 ;
				б) - Ь < н ;< 1 ,	Ь >	0.	(7.1.2)
.	Будет	рассмотрен	также случай, когда			ограничение
на	ускорение зависит		от	знака скорости точки			подвеса
	—	(у >	0),	— K w < :b	iv <	0),	(7.1.3)

-р < v < р.

Вчастности, одно из двух ограничений (7.1.2) может отсутствовать.

На рис. 7.1, а, б изображены области допустимых значений управления wit) и скорости подвеса vit) для ограничений (7.1.2), (7.1.3) соответственно. Отметим, что одна из постоянных в ограничениях (7.1.2), (7.1.3) При­ пяти равной едипице, что уменьшает число независимых параметров и не ограничивает общности, так как эта пос­ тоянная может быть принята в качестве масштаба при введении безразмерных перемеппых. А лмеппо, в соот­ ношениях (6.1.4) пужпо Припять vo = w0T0, где w0 — мак­ симальное ускорение в положительном направлении осп

хв случае (7 .1г,2 ), или в направлении текущей скорости

v— в случае (7.1.3),