5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня

Давайте рассмотрим теперь модель, состоящую из двух упругих стержней, слабо взаимодействующих друг с другом (рис. 1.9 а). Дис­ кретный аналог этой модели показан на рис. 1.9 Ь. Он состоит из двух прямых цепочек дисков, связанных друг с другом продольными и по­ перечными пружинками. Предполагается, что каждый диск может (i) двигаться вдоль своей цепочки (продольные движения), (и) двигаться перпендикулярно этой цепочке (поперечные движения) и (iii) вращаться (крутильные движения).

5.3.1. Общий случай: гамильтониан

Как и следовало ожидать, общая форма гамильтониана, состоящего из нескольких слагаемых,

Н	+ J t(i) + 4 ° + н\%+ н[%т+ Я « г } + Я (1- 2\ (5.36)

совпадает с формулой (4.27) за исключением только одного: каждое из слагаемых содержит, кроме гармонических (квадратичных относитель­ но амплитуды смещений) слагаемых, слагаемые более высокого порядка (ангармонические слагаемые). Так же как и в случае уравнения (4.27),

слагаемые н [%\ н [г^ и уравнения (5.36) описывают вклад про­ дольных, вращательных и поперечных движений дисков в i-й цепочке

(г = 1,2); слагаемые H [%V Н\г} Ьти н [г\ г описывают взаимодействия меж­ ду движениями дисков в той же самой (г-й) цепочке; слагаемое Н ^~ 2^ описывает взаимодействие между цепочками через поперечные пружин­ ки, и его форма очень похожа на формулу (4.28)

я (1- 2>= н £ 72) + я ,(1 ;2) + я £ г 2 + нЦ ~2) + я Д " 2) +

(5.37)

5.3.2. Общий случай: динамические уравнения

Запишем уравнения, отвечающие гамильтониану (5.36). Это легко сделать, если принять во внимание вид соответствующих уравнений, по­ лученных в линейном приближении (см. уравнения (4.34)-(4.36)). Тогда общий вид нелинейных уравнений, имитирующих продольные движения,

можно записать как

М йп<1 = К[ (un+i,! - 2«„д - Ип-хд) + нелин. слаг. + взаимод.;

(5.38)

Miin,2 = К 21(«„+1,2 - 2«п>2 - «„_ 1,2) + слаг. + взаимод.

Уравнения, описывающие крутильные колебания, можно представить как

1ф п, 1 = к[12 [tpn+1Д -		2¥>„,! -	<Рп-i,i) + слаг. + взаимод.;
1фп,2 = КЦ2 (<*>„+1,2 -		2^п,2 -		(5.39)
			¥>„-1,2) + слаг. + взаимод.,
а уравнения, описывающие поперечные смещения, записать в виде
МупЛ = К ь (уп+1 , 1	-	2у„д -	Уп-1 ,1 ) + слаг. + взаимод.;		^
Муп<2 = К ь (уп+1,2 -		2з/п>2 -	Уп-1,2) + слаг. + взаимод.
Здесь иП}г> (pn,i и yn,i		— продольные, угловые и поперечные сме­
щения, соответственно;	М	и / — массы и моменты		инерции дисков;
К\ и /С? — продольная	и крутильная жесткости г-й			цепочки (г =	1,2)

w К ь — жесткость поперечных пружинок.

Точная форма нелинейных слагаемых и слагаемых, описывающих взаимодействия, в уравнениях (5.38)-(5.40) пока еще не найдена, и, бо­ лее того, никто пока не пытался сконструировать ее и рассмотреть нели­ нейную задачу в общем случае. Однако известно о нескольких упрощен­ ных подходах к решению общей задачи. Один их них был представлен в работе Йомосы [16,17], Такено и Хомма [18,19], Федянина и соав­ торов [23,24], Жанга [28] и Якушевич [26].. Мы будем называть со­ ответствующую приближенную модель У-моделью. Другой подход был развит в работах Пейарда и Бишопа [34,262]. Еще один подход был предложен Муто и соавторами [32]. Другие версии были предложены Христиансеном и соавторами [258] и Жангом [47], Ксиао и соавтора­ ми [263], Жангом и Коллинсом [264], Барби и соавторами [265,266] и [267]. Ниже мы опишем детально основные из этих моделей.

5.3.3. Y-модель

У-модель можно рассматривать, с одной стороны, как улучшенную модель Инглэндера, подробно описанную в разделе 5.1, и, с другой сто­ рона, как частный случай общей задачи (5.38)-(5.40). Улучшение мо­ дели связано с принятием во внимание вращательных движений осно­ ваний в обеих полинуклеотидных цепочках молекулы ДНК, в то время

как в модели Инглэндера учитывались лишь вращательные движения оснований в одной из двух полинуклеотидных цепочек. Вторая цепоч­ ка играла роль источника потенциального поля, которое было аналогом гравитационного поля в механической модели Скотта. Это улучшение привело к двум связанным нелинейным уравнениям [26]

1ф\ = K[a2l2<pUz + К Ь12 [2sin ¥>i - sin(y>i + <р2)];

^

1ф>2 = К1а212ср2Х1 + К Ь12 [2sin 992 —sin (ip2 + фi)]

вместо одного уравнения вида (5.2). Чтобы проиллюстрировать, как можно получить уравнения (5.41), удобно начать с дискретной версии модели двойного стержня, показанной на рис. 1.9 Ь, а затем перейти к континуальному пределу.

5.3.ЗЛ. Дискретный случай

Дискретный аналог У-модели состоит из двух цепочек дисков, свя­ занных между собой продольными и поперечными пружинками. Гамиль­ тониан такой модели имеет вид

H = T + V ^ + V V \	(5.42)
где Г — кинетическая энергия крутильных колебаний дисков,	—
потенциальная энергия продольных пружинок и V ^ — потенциальная
энергия поперечных пружинок. Для Т мы получим
Г = 5 > # » / 2 -	(5.43)
г,п

Здесь г и п — номера цепочек и дисков соответственно (г = 1,2; п =

= 1,2, ...,iV), (piiT — угол	вращения гс-го диска г-й цепочки;	а Д —
момент инерции дисков г-й цепи. Для V ^ мы имеем
VM	= ' £ K } A f i.ntn+1/2,	(5.44)
	i,n

где К } — жесткость продольных пружинок г-й цепи, а Д7*;п,п+1 — удли­

нение продольной пружинки между п-м и (п + 1)-м	дисками г-й цепочки:
1 = ^ [1 ■“ COS (<^г,п	l)] •	(5.45)
Здесь I — радиус дисков.

В разделе 1.3 при описании основных взаимодействий в ДНК мы показали, что водородные взаимодействия между основаниями внутри пар намного слабее обычных химических связей. Таким образом, мож­ но предположить, что в У-модели продольные пружинки, имитирующие химические связи в сахарофосфатной цепи, намного жестче поперечных пружинок, имитирующих водородные связи. В результате можно сделать вывод о том, что использование гармонического (относительно угловых смещений <pitTl) приближения вполне корректно для моделирования

но для моделирования		необходимо уже использовать ангармониче­
ское (нелинейное) приближение.
В гармоническом приближении потенциальная энергия продольных
пружинок	(формула (5.44)) преобразуется тогда к виду
	и 1}=	к » + 1 -	/ 2-	(5.46)
	г,п
А для V	мы предположим следующую модель:
		= J 2 K b (Alnf /2,		(5.47)
		71
где К ъ — жесткость продольных пружинок, а			Ы п — удлинение п-й
поперечной пружинки вследствие вращений дисков (см. рис. 5.4)
Д/п = [(2/ + lo -Icosipi^n -		lcOS(p2,n) 2 + (Zsin<pifn -Zsin<£>2,n)2]		1 -/о.
				(5.48)

Здесь lo — длина поперечной пружинки в равновесном состоянии. Динамические уравнения, связанные с гамильтонианом Н, можно

записать теперь в виде

/ivi.fi —	(vi,n+i + Vi,n~i “ 2y?ifTl- i) —			(5.49)
-	К ь {Ыпп/Тпп) [(212 +	llo) Sin ¥>i,n -	l2sin (v?i,n +	<p2,n)] ;
T*2V^2,n =	(<£>2,n+l + <£2,n~l —2(/?2,n-l) —			(5.50)
-	К ь ( Д й / й ) [(2^2 +	Ho) sin v?2,n -	l2 Sin (y>2,n +	v»i,n)],

где in = io + in-

Рис. 5.4. Поперечное сечение пары дисков

5.3.3.2. Непрерывный случай

Перейдем к континуальному пределу (i) заменив при этом в фор­ мулах (5.49) и (5.50) ipi'n (t) на <Pi(z,t) и (и) разложив у?*|П±i(t) в ряд Тейлора

Vi,n±i (t) = <Pi (z, t) ± tpiz + (1/2) cpizz (z, t) a2 ±

(5.51)

до слагаемого, пропорционального <Pizz. В результате уравнения (5.47)- (5.50) примут вид

1\ф\ —к[12а2<р1ая —К^ (Д7/7) [(2Z2 + /70) sin cpi —l2sin (ср\ -\- <^>2)] \

12ф 2 = K b2l 2a 2^ 2zz - К ь (Д7/7) [(2/2 + По) sin - 12 sin (у>2 + ^)] ,

(5.52) где a — расстояние между ближайшими дисками в цепочках. Для ДНК

в В-конформации а приблизительно равно 3.4 А.

Н_елинейные уравнения (5.52) довольно сложны, так как коэффици­ ент А1/1

Al/l = 1 — IQ |^(21+ /о —Icosepi —lcosip2)2 Н- (/sin^?i —Zsin<£>2)2

(5.53) является функцией переменных <pi и ср2. Эти уравнения могут быть, од­ нако, упрощены, если мы предположим, что расстояние между дисками в парах пренебрежимо мало (lo < 1). Положив /о = 0, мы получим, нако­ нец, уравнения (5.41). Приближенный гамильтониан, соответствующий динамическим уравнениям (5.41), имеет вид

Н = J dz{I1<pl/2 + h<pl/2+ K[a2l2v \zj 2 + K^a2l2<plzj 2 -

(5.54)

—К ь12 [2cosy>i + 2cosy>2 —cos (<pi + <Pi)\}-