книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

п* (V2 хТф)=<т"VJ е 5„.

(1.5.46)

Статическая часть смешанных граничных условий (1.3.52) и (1.3.53), представленных в табл. 6 и 7, также записывается через тензор функций напряжений Тф:

з

(V2xT®)-Tn = р"У^б5’)„или V s e S ^ ;
■х[(У2хТф)-в]хв=тпУ5б5„или VJ E 5w.	(1.5.47)

Кинематическая часть этих условий может быть задана с помощью формул Е.Чезаро, представляемой за счет подстановки определяющего уравнения (1.5.28) в (1.2.89) в виде

Тя- < и 0 + Тш0- ( х - х 0) -	) (х - у )х Vx	T.-(V2 x T j . < /y	К
X
+ J Ts-(V2 х Тф) ■dy >=npV s e S xu\
X0 L
n x < u 0 +Тш0 ( х - х 0) -	j ( x - y ) x ] V x	4	(1.5.48)
		T«-(V2 x Тф )-rfy
	*0

T » (V 2 xTe ) dy>*u = nxV s e S pu,

X n L

либо в другом виде после аналогичной подстановки в (1.2.167)

V < v 0 +T w0 ( х - х 0) - / (x - y )x jV x		Т» ‘(V2 хТф )’dy > +
X,
X	d y > = \ p' i s e S xv\
T**(V2 xT® )
X n	'		(1.5.49)
		" 4 *
nx<V 0 + Tw0 • (x —x о) —J (x - y)x <V х
		Т » - ( 7 2 х Т ф М у
X	dy>xn = \ xV s e S pv.
T.-(V2 xT*)
X0

При кинематических граничных условиях полный вектор переме­ щения на поверхности Su или полный вектор скорости на поверхности S, могут быть заданы своими касательными и* или V ' и нормальными и' или \ р составляющими к этим поверхностям (1.5.48) или (1.5.49) со-

141

ответственно. Либо для поверхности Su они задаются с помощью (1.2.89) и (1.4.19)

	0 " ( х ~ х о ) -		i (*-уЫ Vx		Ts(V2 xT0).rfy К
“о+тш
			Хл				(1.5.50)
		Тs•(Vj хТф)
	+ /			dy = m”\ / s e S u,
а для поверхности Sy- с помощью (1.2.167) и (1.4.19)
0	0		х	г Г4 .		2	>+
V +Tw-(x-*o)- J(x-y)xjVx Т,-(У хТф)-</у
			х0				(1.5.51)
				d y =V*V.reSv.
	] Г т ; . ( у 2 х т ф)
	XAL

Обозначения параметров, входящих в формулы (1.5.48), (1.5.50), (1.5.49) и (1,5.51), совпадают с обозначениями этих же параметров в формулах (1.2.89) и (1.2.167) соответственно.

1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов

Среда М-опытов, направленных на определение механических свойств металлов, используются процессы ОМД, для которых априори известна схема НДС. Наибольшее распространение среди таких про­ цессов получили испытания образцов на одноосное растяжение или сжатие и кручение. Кинематические параметры первых двух процессов при однородной деформации образцов из несжимаемых материалов, полученные в п. 1.2.6, представлены в табл. 10.

Если требуется определил» механические свойства деформируемо­ го металла, практически несжимаемого в исследуемом процессе ОМД, в зависимости от степени и скорости деформации, то для условий мно­ гих таких процессов в соответствии с постулатом макроскопической определимости испытания M -образцов из этого металла могут быть сведены к их растяжению или сжатию (1.2.168) при постоянном значе­ нии интенсивности сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161). Для обеспечения в испытаниях плоской деформации (к = 2) используют об­ разцы в виде тонкой, широкой полосы; для обеспечения осесимметрич­

ной деформации (к = >/з) - в виде круглого цилиндра, для объемной

деформации (к = ) - в виде прямоугольного параллелепипеда (табл.

142

10). Испытания с фиксированной скоростью деформации (1.2.168) можно осуществить на кулачковом пластометре (рис. 34).

Т а б л и ц а 10. Кинематическиепараметры механическихнспытажй

Пара-		Сжатие (h=ho-Ahf)
		осесиммет­ объемное при
мет­
	плоское при ричное при			hobol$=hbl;
ры	hobb^hb
					bol=bib
		ш h ft
Li
L2	£ 2Ь .
	1 h
Li		Ез
Vi		h
v2			AhE2
	h		— -		r
			2h
Vi		0			AhE, ,
					— - r
					2h
5i		_ Дh	f ,
		h
ь	Дh	f ,	ДЛ
	h	J	2A
	0

Растяжение (h =ho+Ahf)

	плоское при	осесиммет­	объемное при
		ричное при	hobolb=hbl;
	hobb=hb	h„F*=hie
			Ьь1~Ь1ь
	A0
	E h _
	E2 h	■	Я
	Ез
		h
	_ АкЕг r	Ы Е г г
	h		2h
	0		AhE*
			— - r
			Ih
		ДЛ r
		h
	_ Ah		Д* f .
	h J		2h
	0

Упражнение 1.5.10. Показать, что текущий радиус кулака пласгометра при изменении высоты образца по закону (1.2.117), определяемому функцией (1.2.168), обеспечивает выполнение условия Н - const -Н *, ес­ ли он рассчитан по формуле

+ Я*<р е~— —-1 +лБ» (1.5.52)

кш

где кп - передаточное число гидравлического редуктора; <р - текущий угол поворота барабана радиуса гБ; со - угловая скорость вращения ба­ рабана, со = <рIt. Знаку плюс в (1.5.52) соответствует растяжение, а знаку минус - сжатие О

143

Рис. 34. Пртщтиальная схема кулачкового пластометра: 1 - образец на раствжснис (вверху) или сж ат (внизу); 2 - гидрощиищдр; 3 - вертмсальиЛ шток с порываем;4 - Пфизонталыаьб1 шток с , что, несмотря на относительную кфостоту получения зависимости (1. положешмх; 7 - барабан(маховик)

Если дополнительно к приведен­ ным условиям требуется изучить влия­ ние на механические свойства гидро­ статического давления, то аналогич­ ные испытания можно выполнить на специальной установке (рис. 35), в ко­ торой образец деформируется за счет гидроэкструдирования связанной с ним заготовки переменного сечения.

Упражнение 1.5.11. Показать, что для обеспечения постоянства интен­ сивности сдвиговых скоростей дефор­ маций (Н=Н*) при испытании на уста­ новке, показанной на рис. 35, текущий диаметр Dz выдавливаемой гидроэкс­ трузией заготовки рассчитывается по формуле

	Dz'=d	кУя	(1.5.53)
	Н > 0 ±*)’
Рис. 35. Схема устройства для растя­	где V„ - скорость истечения заготовки
жения образца 1фи высоком гидроста­	из канала матрицы диаметром d; z -
тическом давлетм: 1 —пресс-шайба с	текущая высота рабочего участка за­
уплотним ; 2 - катйир; 3 - рабо­	готовки.
чаяжнхкосгъ; 4 —опорная шайба; 5 -	П о я с н е н и я	к р е ш е н и ю . При
образец;6-смлотмсрнгешлыйстакан
(меедоза); 7 - прессуемый исполни-	Ei - h по данным	табл. 10 получил,
теш й элемент; 8-|ресеовая матри­	зн ач ен и е ск орости	= V " , к отор ая и з
ца;9 - прессуемый пруток

144

условия постоянства потока материала заготовки связана со скоростью ее истечения из канала матрицы соотношением V*D \ = VHd 2 3

При осадке круглого образца из изотропного материала с посто­ янным объемом в условиях однородной осесимметричной деформации НДС характеризуется нижеследующими тензорами напряжений, де­ формаций и скоростей деформаций:

			■-		- е	0	0
'0	0	0			2
Т„ = 0 0		0	•т	=	0 1 .		0
			»1 8
0	0	- а			0	2	-8
						0

«■

	о
2
;т $ = о	к
0	2
	0

—

* 0

0	(1.5.54)

“ 4

					«	_		т
	Аналогичные параметры НДС при растяжении круглого образца в
	таких же условиях имеют вид:
	а О		- е	0	О	5	0	0
		•т		1				(1.5.55)
	О О		О '— s		0	0	- к	0
		»1 (
	О О			2	1	0	2
			О	О			0
					------- 8			- к
					2 .			2 J

В обоих случаях а - осевое напряжение, прикладываемое к дефор­ мируемому образцу, рассчитываемое по формуле ст = PIF с помощью площади поперечного сечения образца F и действующего на него уси­

лия Р\ в - деформация изменения длины образца, 8 =— . Величины а и в определяются параметрами поведения границы образца, характери­

зуемой величинами F и ^о. р,мпа

Сучетом (1.5.54) и /400

(1.5.55)	из (1.5.31) или (1.5.42)					т о
имеем:	Д=—	или		*	а
				и	=—
	38				3$
что позволяет		с	помощью
экспериментальной диаграм­
мы механического состояния
металла при растяжении или
сжатии	определить			зависи­
мость	функции		состояния			°*7 О?	^4 0,5 0,0 о
среды ОТ степени деформации						3^ Зависимость фунодш сосхомм среды ji от
(рис. 36).					стелетлефортаи 8

145

Другим распространенным способом испытания механических свойств металлов является кручение, при котором круглый образец под­ вержен действию крутящего момента М . При простом вручении, когда угол закручивания образца линейно изменяется по его длине, закон движения (1.2.9) в эйлеровых координатах Ер, Е9, Егимеет вид:

<f>E0Ez	(1.5.56)
L p - £ р ; L v = E v + - ! - £ - s L z = Et ,

где £ - длина образца; ф - угол поворота торца образца при Ег=£. Упражнение 1.5.12. Используя (1.5.56), показать, что при простом

кручении изотропного материала параметры НДС имеют вил:

■

0

0

0

0

0

0

0

0

ф £ р

; т 0 = 0

0

ф £ р

(1.5.57)

и

— - р

и

0

ф £ р

0

0

ф£ р

0

и

I t

.

- -

. .

•

П о я с н е н и я

к

р е ш е н и ю .

Воспользоваться

формулой

О.Коши (1.2.70) в цилиндрических координатах

Э“ Р . е

_ 1

Гди

ф

и

ди.

*рр

L +-L

>^РФ ~

к ЪЕ

ЪЕр

'Р

Ер 3£ф

5фф

1

ди

Р .9 Z " _

ди,

ди

я>

\

(1.5.58)

ЕрдЕ,

е р а я .

дЕ*7

%

ди* . р

_

ди„

ди. \

ZZ

дЕг’>^*р - .

дЕг

дЕр J

уравнением равновесия (1.4.18) в этих же координатах

fopp

дЕ,

да ФР

дЕ,

да ч>

дЕ,

1	aopy	t ао рг	| g PP ~ q qxp	_ Q.
Ер дЕф		дЕ,
1	да ФФ	да ФZ + 2- фр = 0;		(1.5.59)
Ер a s .		дЕ.
1	Эоzw	да
	— + —Н -+ 2 -Zp = 0,
Ер а£ ф		a£z	£

соотношением (1.5.31) и отсутствием напряжений на цилиндрической поверхности образца 9

146

Параметры НДС в (1.5.57) не являются однородными и в общем

случае меняются в пределах	R		Ли
	—;0£<т_. >-ф— в интервале
*	21	4	21

изменения эйлеровой координаты ОйЕрйЯ. Ясно, что в соответствии с условиями проведения М-опыгов не всякий образец может быть ис­ пользован при кручении в качестве М-образца. В частности, к большим погрешностям приводят испытания, в которых в качестве образца ис­ пользуются пруток или толстостенная труба. Для тонкостенных труб, подвергаемых кручению, вместо переменной сдвиговой деформации е?г используют ее усредненное по толщине t стенки трубы значение

I ^	1R—t
t д_г	(1.5.60)
	4£

Отсюда видно, что при R » t величина еф£ = -ф — . 21

С помощью метода мембранной аналогии Р.Бердг для кручения тонкостенных труб получил связь между углом поворота ф и крутящим

моментом М : ф= ^ , которая позволяет определить в (1.5.57) отлич- 4\и2£

Yт тт^4! —Т)	----- —	_и	—П
ные от нуля параметры НДС: е ?			= — гт« где а Ф? “ Ус'
	*\и2е2		8t2t 2

редненное касательное напряжение, действующее в скручиваемой тон­ костенной трубе.

Трубчатые образцы используются также при испытаниях на на­ гружение внутренним и внешним давлением. Для цилиндрической тру­ бы относительно большой длины из однородного изотропного мате­ риала параметры НДС в цилиндрических координатах зависят только от текущего радиуса Ер. Так как к поверхностям трубы приложено

только нормальное давление, касательные напряжения а 9Р и		равны
нулю. Поэтому из (1.5.59) получаем
дар	= 0.	(1.5.61)

Уравнение (1.5.61) обращается в тождество, если его решение искать в виде

а р	дФ
	(1.5.62)
	д Е Р

Дополнительные условия для определения функции Ф(ЕР) должны быть связаны с соотношениями между параметрами напряженного и де­ формированного состояний. Причем, последние должны удовлетворять

147

уравнениям совместности тала (1.2.88) или (1.2.166). Соотношения ме­ жду параметрами НДС записываются в виде определяющих уравнений, зависящих от свойств деформируемой среды. Так, для линейно-упругой, однородной, изотропной среды в определяющем уравнении Р.Гука (1.5.2)

4

компоненты тензора T s по аналогии с (1.5.9) записываются в виде

sU&n =~ .	X		1
	“ T^tk^jm +“		(1.5.63)
2ц(ЗХ+2ц)		4ц

Точно так же, как из (1.5.9) и (1.5.1) было получено (1.5.10), с по­ мощью (1.5.63) и (1.5.2) получаем обобщенный закон Р.Гука для изо­ тропных сред в обратном по отношению к (1.5.10) визе

х

т*е S„ (1.5.64)

2ц(ЗХ+2ц)

В теории упругости эти соотношения обычно записывают через модуль

упругости Т.Ю нга д = ..**1i и коэффициент СуЦ.Пуассош v= — - — . Х.+Ц 2(Х+ц)

Тогда тензорную запись (1.5.64) можно переписать в следующей ска­ лярной форме

	11Г	1	)1	1
8 РР	"в 1а рр		+^фф IJ; ерф%2царф;
	__1_г	/	1	1
ефф			Л
	1афф-П СТРР+<*22-)J;Sz			2ц
	Е
ezz	1г	1	Л	1	(1.5.65)
	\Pzz	-v(aw +<7рр IJ; ezP -		a zp*
	Е			2ц

В связи с тем, что поперечные сечения нагружаемой внутренним и внешним давлением трубы остаются плоскими, осевая деформация е„ постоянна, а все остальные деформации являются функциями текущего радиуса Ер. Кроме того, при осевой симметрии трубы, изотропности и однородности ее материала, нет причин для появления сдвиговых де­ формаций. Поэтому условие Б.Сен-Венана (1.2.88) принимает вид

(1.5.66)

Подстановкой (1.5.62) в (1.5.66) получаем дифференциальное урав­ нение относительно функции Ф:

а 2Ф	1 эф	ф
дЕр	Ер дЕр	(1.5.67)
		£ 2

148

общее решение которого Ф =АЕ0 +—	позволяет определить с точно-
v F
ЙР
стыо до констант компоненты тензора напряжений (1.5.62)
а р	(1.5.68)

Неизвестные консганш А и В определим из граничных условий на поверхностях Sa: при EP =R имеем <yp= -pi, а при Ер- г имеем Подставляя эти условия в (1.5.68), находим значения констант А и В ,& с их помощью - напряжения

	_ p2r2 - p lR2 .	(P i-p2)R2r2 .
Р	R 2 - г 1	E lift - r 2)	'
	р2тг - P\R2 . (Pi~P2)R2r2
Ф	R 2 - г 2	£ * (я * - г2)	(1.5.69)
			'

Теперь на основе принципа суперпозиции параметров однородных НДС можно записать тензоры напряжений, деформаций и скоростей деформаций для сложной механической схемы деформаций (совокуп­ ность схем деформированного и напряженного состояний), получаемой растяжением или сжатием, кручением и нагружением внешним и внут­ ренним давлением круглой тонкостенной трубы. В дальнейшем всякое испытание механических свойств материалов, для которого известны параметры НДС, будем называть стандартным испытанием.

Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что соотношения между параметрами НДС, полученными при стан­ дартном испытании макрообразцов из различных металлов, могут быть использованы в расчетах параметров НДС для процессов просто­ го нагружения с произвольными механическими схемами деформаций, что подтверждает гипотезу единой кривой, обычно используемую при решении задач ОМД. Пример диаграмм механического состояния хро­ моникелевой стали, полученных А.М.Жуковым для различных соот­ ношений напряжений при испытаниях труб на растяжение с внутрен­ ним давлением, приведен на рис. 37. В общем случае такие диаграммы при одноосном растяжении (рис. 38) имеют несколько характерных учаспсов. На первом участке диаграмм, где 0^<т£<тпц, напряжение рас­ тяжения образца пропорционально деформации и его значение изменя­ ется в соответствии с линейным законом Р.Гука

ст= £ б.

(1.5.70)

149

Т9МПа

Рис. 37. Подтверждение ппотезы единой	Рис.38. Обижйяидwaipamai а-е
кртой при различных соотношениях растя-

Далее при а > а ш соотношение между напряжением и деформацией становится нелинейным. Однако до значения о = от металл ведет себя как упругое тело, так как нагружение до а£<тт и разгрузка до снятия деформирующего напряжения происходят по одной и той же кривой без остаточной деформации после полного снятия нагрузки. При о = от начинается так называемая текучесть металла, при которой рост де­ формации осуществляется практически без изменения силовой нагруз­ ки. Для некоторых металлов можно наблюдать ярко выраженную пло­ щадку текучести. При напряжении о=От начинается пластическая де­ формация металла, при которой в результате полной разгрузки металл получает остаточную деформацию Еосг.

Напряжение <зт называется пределом текучести (в некоторых изда­ ниях это напряжение обозначают а,). Если на диаграмме механического состояния металла отсутствует ярко выраженная площадка текучести (рис. 39), то вместо от назначается условная величина Оуа, получаемая на диаграмме в точке ее пересечения с прямой, параллельной участку пропорциональности (1.5.70), исходящей из точки а = 0; е = еуСл. Поэтому напряжение <уусл называется условным пределом текучести. Величина ус­ ловной степени деформации еУсл в нашей стране'принимается равной 0,2% (еУсл = вод), а соответствующее ей напряжение оУсл обозначается со,2. В не­ которых странах значение еусл принимают равным 0,05% или 0,1% и тогда условный предел текучести обозначается соде или oo,i соответственно.

Разгрузка образца при произвольном уровне напряжения о за площадкой текучести диаграммы механического состояния осуществ­ ляется параллельно прямой участка линейной упругости. Если разгруз­ ка произошла полностью, то ее прямая пересекает ось деформации в

150