книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Пространство называется линейным т-мерным ( т - размерность пространства), если в нем существует т линейно независимых элемен­ тов, а всякие т + к ( к > 0) элементы линейно зависимы. Набор любых т линейно независимых элементов в m-мерном пространстве Е называет­ ся его базисом. Линейное пространство Е называется бесконечномер­ ным, если для каждого натурального п ь Е существует п линейно неза­ висимых элементов.

В линейном вещественном пространстве Е со свойствами (П2.2) скалярные множители X, ц ,... - вещественные числа. Такое пространст­ во называется евклидовым, если каждой паре его элементов Y j\iY k ста­ вится в соответствие вещественное число, обозначаемое (Yj,Yk) к назы­ ваемое скалярным произведением этих элементов, наделенное следую­ щими свойствами:

1)(У,У*) = (Yk, Yj) - коммутативность;

2)(У,+ Yj, Yk) = (Y„ Yt)+(Yj, У*) - дистрибутивность;

3)(XYp Yk) =X(Yj, Yk) - ассоциативность;

4)(Yj, Yk) > 0 - неотрицательность для любого Yme E, причем

(Yj, Yk) = 0 только при Ym= 0.

(П2.3)

Рассмотрим некоторые действия над элементами функциональных пространств.

В функциональном евклидовом пространстве скалярным произве­ дением двух функций Yj и Yk в некоторой области изменения их аргу­ ментов называется определенный интеграл от произведения этих функ­ ций. Так, для функций одного аргумента Yj= Yj(x) на интервале \а,Ъ] (айхйЬ) скалярное произведение имеет вид:

( № ) = J W * .	(П2.4)
а
Определитель И .П . Грома
G=\(Y',YJ\,	(П2.5)

составленный из всевозможных попарных скалярных произведений ли­ нейно независимых элементов Y„ включая произведения элементов са­ мих на себя, отличат от нуля.

Линейное пространство Е называется нормированным, если для ка­ ждого элемента Yj е Е определено вещественное число ||У^||, называе­ мое нормой Yj, для которого выполняются следующие аксиоматические условия:

V Y je Е й Yj=e о 1 1 ^ = 0 -невырожденность;

2) II*-tyl= INI ||У)||- однородность;

3) ||Уу+ У*||^ II Yj\ + 1|Щ| - неравенство треугольника

(П2.6)

261

Из всевозможных нормированных пространств выделим подпро­ странство D -C.E функций с суммируемым квадратом, в котором норма конечна и определяется по формуле

|l'; |=V (f’/ . l ’y )< “ -

(П2.7)

М етрическим пространством называется всякое множество эле­ ментов Ymе Е, если для любых Yj и YKиз него определено неотрица­ тельное число

г(Гу,П ) = ||Гу- П ||,

(П2.8)

называемое расстоянием между двумя элементами Ys и У„ наделенное следующими свойствами:

1)г(Гу,Г*)^0УГя еЕ и Г у=П=>г = 0;

2)r(YfiYk) = r(Yk,Yj)’

3) г(Гу,Г*)£г(Ку,Г,)+г(П,К*).

(П2.9)

Упражнение П2.1. Доказать, что понятие "метрические простран­ ства" является обобщением понятия "нормированные пространства" О

Вопросы существования решения связаны со сходимостью в том или ином смысле рассматриваемого ряда функций.

Последовательность элементов Yt метрического пространства Е называется фундаментальной (сходящ ейся в себе), если она удовлетво­ ряет критерию О.Коишг. для любого б > 0 существует номер N = N(e) та­ кой, что для любых номеров л>Л ги любых натуральных т выполняет­ ся неравенство ||ГЯ+Я- У„||< е.

Элемент Y метрического пространства Е называется пределом бес­

конечной последовательности элементов Ykе Е, если
Ш пг(Г,Г*)=0.	(П2.10)
Л

Определенная таким образом сходимость последовательности эле­ ментов Yk называется сходимостью по метрике (по расстоянию) про­ странства Е .

Множество элементов А , содержащееся в метрическом простран­ стве Е , называется компактным множ еством, если из любой бесконеч­ ной последовательности элементов Yk e A можно выделить частичную последовательность, сходящуюся в £ к некоторому пределу. Если та­ ким свойством обладает все пространство Е , то оно называется ком­ пактным пространством. Компактное множество ограничено по рас­ стоянию.

262

Если для любой сходящейся к пределу Y последовательности Yke A этот предел также принадлежит A (Y e А), то А называется замкнутым множеством.

Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Полное нормиро­ ванное пространство Н , в котором норма определена скалярным про­ изведением, называется гильбертовым пространством. Примером гиль­ бертова пространства может служить пространство /Л 'д дя элементов которого выполняется свойство (П2.7).

Два элемента Ys и Yk гильбертова пространства называются орто­ гональными, если их скалярное произведение равно нулю:

{Yp Yd =0.	(П2.11)
Множество линейно независимых элементов	Yk e L 2 процедурой

ортогонализации по Э.Ш мидту приводится к множеству ортогональ­ ных элементов hk

hi = Yi; й*= Y t - b f o (/ = 1

1;

2)

(П2.12)

где

(П2.13)

Упражнение П2.2. Доказать, что для линейной комбинации

h =\ khk	(П2.14)
множества ортогональных элементов
М * ) = 1 № 1 |8 а	(П2.15)
справедлива обобщенная теорема Пифагора:

	И 2=Х*1М2 ®	(П2Л6)
Теорема Пифагора (П2.16) позволяет утверждать сходимость (по
норме) ряда	ао
	, составленного из попарно ортогональных элемен­
	ты

тов, при условии сходимости числового ряда, составленного из квадра-

п2

тов норм этих элементов £||й*]| .

ы

Множество элементов, норма которых равна единице, называется нормированным множ еством. Множество ортогональных элементов Л*

263

(П2.12) можно привеста к множеству ортонормированных элементов у*. Для этого необходимо каждый элемент hk ортогонального множест­ ва разделить на его норму:

Ук =	hk	(П2.17)

Ы

Полное ортонормированное множество элементов ук гильбертова про­ странства назьшаегся ортонормированным базисом.

Упражнение П2.3. Показать, что для ортонормированного базиса (П2.17) справедливо соотношение

(Yy.Y*)= Sflt<3

(П2.18)

Любой элемент Y e H может бьпъ представленразлож ением Ж Ф урье по элементам полного ортонормированного множества ук:

Y —о-]Ур

(П2.19)

где а/ - коэффициенты Ж .Фурье:

OLj=(Y,yj).

(П2.20)

Прежде чем перейти к вопросам единственности,дадимопределе­ ние расстояния r(Y ,L ) от элемента Y до подпросгранства L следующим равенством:*

r (Y ,L )= m S \Y -Z \.		(П2.21)
	ZGL
Если Y e L , тог(У ,£ )= 0; если Y e L ,T o r(Y ,L )> 0 .
Т е о р е м а : Пусть L -	конечномерное подпространство гильбер­
това пространства Н и уу -	его ортонормированный базис. Тогда для
любого элемента Y e H ъ L	существует единственное наилучшее при­

ближение в виде Z = АуУу.

Д о к а з а т е л ь с т в о : Элемент Y из Н представим в виде (П 2.19) и вычислим квадрат расстояния между Y и Z:

r2(F ,Z ) = |m p - 2 (r,Z )+ ||Z |p .

По обобщенной теореме Пифагора (П2.16), учитывая свойство ас­ социативности скалярного произведения (П2.3) и ортонормированность элементов ук, имеем: ||Z|P = Кроме того, ( Y ,Z ) — А*(Y, у*). Откуда, учитывая разложение Ж .Фурье (П2.19) Y - оод, находим

гЧ К ,г) = ||У |Р - 2 а Л + ^ .

* inf - сокращение от infimum (нижняя грань).

2*4

После преобразования суммы после;Л С » . :двух слагаемых

гЦУ, Z)=|| К||2-а*а*+ (X*-а*) (Я*-а*)

отмечаем, что минимум этого выражения достигается липп. при Хк= ак Следовательно наилучшее приближение единственно и оно имеет вид (П2.19). В этом случае наименьший квадрат расстояния между Ки Z:

r2(Y,Z)=\\ K||2-a * a t.

(П2.22)

Так как л2>0, из (П2.22) следует, что

а*а*£|К |р, (* = 1,...,л)

Здесь число л произвольно, а правая часть не зависит от л. Следова­ тельно, сумма квадратов коэффициентов Ж .Фурье сходится при лю­ бом, сколь угодно большом л:

a*a*£||K|P, (к= 1,...,оо).	(П2.23)
Это соотношение называется неравенством Ф .Бесселя.
Если рассматривать наилучшее приближение Y e L	из Z e L при

прочих равных условиях, то вследствие произвольности Z необходимо вычислять расстояние (П2.21). В этом случае вычисление квадрата нижней грани (П2.21) приводит к соотношению

r2( Y, Z)=|| К||2-а*а*.

(П2.24)

При оговоренных выше условиях соотношение (П2.24) также приво­ дит к неравенству Ф.Бесселя. Таким образом, наилучшее приближение элемента шльбертова пространства с помощью его ортонормированиего базиса есть разложение этого элемента в рад Ж.Фурье (П2.19) q.e.d.*

П2.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Основным понятием вариационного исчисления является понятие функционала, которое является обобщением понятия функции и част­ ным вариантом понятия оператора. В порядке повышения сложности приведем определения этих понятий.

Если одному множеству чисел Y ставится в соответствие другое

множ ество чисел х , то говорят, что задана функция

Y= Y(x).

(П2.25)

* quod erst demonstrandum (лат.) - что и требовалось доказать*

265

Если одному множ еству функций Y ставится в соответствие мно­

жество чисел J, то говорят, иго задан функционал
J= J(Y ).	(П2.26)
Если одному множ еству функций Z ставится в соответствие мно­
жество функций Y, то говорят, иго задан оператор А
Y ~ A (Z ).	(П2.27)

Примером функционала может служить определенный интеграл вида

ь

J= jY {x)d x .

а

В метрическом пространстве Е функционал J называется непрерыв­ ным функционалом в m ovie Y e E , если для любого е > 0 существует та­ кое 5> 0 , иго при всех Z e E , удовлетворяющих условию r(Y ,Z )< 8,

имеет место неравенство
||/(y ) - /(Z )||< e .	(П2.28)

Величина J(Y) (П2.26) называется непрерывным функционалом во всем пространстве Е, если она непрерывна в каждой точке этого про­ странства.

Если функционал J(Y) удовлетворяет условию
J ( W = K W ,	012.29)

то он называется линейным функционалом.

Непрерывный функционал /(У ), заданный на замкнутом компакт­ ном множестве, ограничен и среди его значений есть экстремальное, т.е. наибольшее (sup J)* или наименьшее (infУ), значение.

В дальнейшая под элементами Y e E в основном будем понимать функции одного или нескольких аргументов. Функция Y, сообщающая функционалу экстремальное значение, называется его экстремалью.

Если функция Y e E является экстремалью функционала, a Y e E -

любая такая функция, что л(у,У ) меньше сколь угодно малого числа, то разность

5 Г = Г - Г

(П2.30)

называется вариацией функции Y. Варьирование функции означает бес­ конечно малое изменение ее при фиксированном значащ и аргумента.

* sup - сокращение от supremum (верхняя грань).

266

Поэтому с помощью произвольной, непрерывной, необходимое число раз дифференцируемой функции Z (X ) и с помощью сколь угодно мало­ го переменного параметра а равенство (П2.30) может быть представле­ но в виде:

S Y = a Z .

(П2.31)

Как отмечено выше, вариация 8 Y функции Y(x) всегда рассматри­ вается при фиксированных значениях аргумента. Поэтому всегда ва­ риация аргумента 8 х=0.

Функционал

8 7 = 7 (Г + 8 К )-/(К )

(П2.32)

называется вариацией (первой вариацией) функционала J(Y). Необходи­ мым условием существования экстремума функционала в области изме­ нения аргументов, определяющих его функции Y(x), является обраще­ ние в ноль первой вариации

87= 0 . (П2.33)

Условие (П2.33) получается в (П2.32), если вместо Y подставить значе­

ние экстремали Y из (П2.30).

В некоторых случаях выполнение достаточных условий существо­ вания экстремума функционала определяется знаком второй вариации функционала S2/ . При этом 827 > 0 на нижней грани in f/ и 82/< 0 на верхней грани sup/. В других случаях требуются более сложные иссле­ дования, например, на основе достаточного условия К.Вейерштраеса.

Более подробно об условиях необходимости и достаточности сущест­ вования экстремума функционала изложено в следующем подразделе.

В заключение этого подраздела отметим, что суть всякой вариаци­ онной задачи сводится к определению экстремалей функционала, со­ общающих ему экстремальное значение. Разработке методов определе­ ния экстремалей функционалов посвящен раздел математики "Вариаци­ онное исчисление!*. Важность этого раздела в приложениях к решению инженерных задач трудно переоценить. В частности, вариационные принципы МСС позволяют заменить задачу об интегрировании замк­ нутого множества уравнений, описывающих движение сплошной сре­ ды, эквивалентной вариационной задачей, из постановки которой сле­ дует, что решения множества дифференциальных уравнений являются экстремалями некоторого функционала.

267

П2.3. ПРИМ ЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ*

В качестве функционала рассмотрим зависимость времени г от ви­ да функции Y - Y(x) траектории I, по которой с заданной скоростью V(x) перемещается материальная частица т с координатами х е к

(П2-34>

Используя этот функционал, можно сформулировать следующую вариационную задачу: найти вид Y(x) траектории материальной части­ цы т, движение которой из точки х= а в точку х = Ъ под действием си­ лы тяжести осуществляется в наикратчайшее время. Такая траектория называется брахистохроной.

Скорость движения частицы т с ускорением свободного падения g

по траектории Y(x) вычисляется по формуле V = J lg Y . Элемент траек­

тории dt= 'l\ +Y '1 dx. Тогда	рассматриваемый	функционал (П2.34)
принимает вид:
1	4 J\ 4-У'2	(П2.35)
t [ Y ( x ) ] = ^ \ 'S ly L - d x ,

где У - производная функции Y по аргументу х. Значения Y(a) - Y a и Y(b) = Ybфункции Y(x) в точках а и Ь предполагаются заданными. Дви­ жение будем рассматривать в области х>0; Y> 0.

Функционалы типа (П2.35) можно представить в общем виде:

j[Y {x)]= \F (x,Y ,Y')dx.

(П2.36)

а

Впростейшем случае концы х - а н х - Ь отрезка считаются фикси­ рованными, и задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции, которая сообщает функционалу (П2.36) экстремум при за­ данных граничных условиях Y„; Yb.

Вдифференциальном исчислении рассматриваются два понятия экстремума: локальный экстремум, когда существует некоторая окре­ стность точки *о, ДЛЯ которой Y(x) < Y(Xo) (локальный максимум) или

Y(x)>Y(xo) (локальный минимум), и абсолютный экстремум - наи­ большее или наименьшее значащ е функции на заданном отрезке.

* Подраздел написан совместно с Н.А.Потапковым.

268

В вариационном исчислении также вводятся понятая относитель­ ный и абсолютный экстремум функционала. Относительный экстремум ищется на множестве близких между собой функций, а абсолютный - на множестве всех функций одного класса (например, на множестве не­ прерывно дифференцируемых функций).

Сначала рассмотрим вариационные задачи на относительный экс­ тремум. Как и в дифференциальном исчислении исследование начнем с установления необходимого условия существования экстремума функ­ ционала. Поиск экстремума осуществляется на множестве функций, близких к экстремали функционала.

Пусть У(х) - экстремаль функционала (П2.36). Тогда совокупность множества близких к ней функций запишем из (П2.22) с помощью ма­

лого а параметра (П2.23): Y (x) = F (x) +a.Z(x) с граничными условия­

ми Z(a) = Z(b) = 0. Теперь интеграл (П2.36) приводится к виду:
ь
J (а )=\F[x, Y (х )+a Z (х), Y '’(х )+а Z '(*),] dx,	(П2.37)

а

Здесь запись /(а) в левой части означает, что после интегрирования по­ дынтегрального выражения по х в пределах от а до b функционал J(Y,a,Z) превратится в функцию J = /(а). Так, как экстремаль Y(x) дает экстремум интегралу J, то ясно, что в (П2.37) этот экстремум получится при а = 0 . В этом случае необходимым условием существования экстре­ мума функционала является равенство нулю первой производной функции /(а ) в точке а = 0: /'( а ) |а=0=0. Таким образом

/'(<>)=)\F Y (* ,r,K ')Z (x )+ F r ( x ,Y ,y ) Z ’(x)) dx,

a

где FY‘, Fr - частные производные поды нтральной функции F n o Y v i У соответственно. После интегрирования по частям с учетом гранич­ ных условий для Z получим дифференциальное уравнение Л .Эйлера - Ж Лаграняса:

F y ( x ,Y ,Y ') - j- F r (x,Y,Y')=0,

(П2.38)

где второе слагаемое левой части представляет собой полную произ­ водную Fr по х, которая определяется следующим образом:

—Fr (x,Y,Y')=Fxy+FyyY'+FYr.Y\	(П2.39)
dx

269

Подстановкой (П2.39) в (П2.38) получаем окончательный вид диффе­ ренциального уравнения Л.Эйлера-Ж Лагранжа

FYy Y * + F r r Y'+Fxy - F r =0,

(П2.40)

для которого должны выполняться граничные условия Y(a) = Yш; Y(b) = = Гь, и при заданном подынтегральном выражении .Fфункционала (П2.36) производные FYY; Fyy, FxY; и FY получены дифференцированием F n o соответствующим переметным, вынесенным на позиции индексов.

Исходное предположение о том, что функция Y(x) является экс­ тремалью функционала (П2.36), привело к необходимости решения уравнения (П2.40) для определения вида этой функции. Отметим, что выражение У'(0), которое является производной функции 7(a) по а в точке а = 0, в вариационном исчислении обычно обозначается 57 и в таком обозначении необходимое условие экстремума функционала совпадает с (П2.33).

Приведем несколько примеров нахождения экстремалей функцио­ налов типа (П2.36).

Пример 1. Найти, на каких кривых может достигать экстремум функционал

J = \ty ,2- Y 2)d x

о
при следующих граничных условиях: К(0)=0;	= 1?
Решение. По условию примера имеем	<2J
P(x,Y,Yr)= Г 2- Y2.

Отсюда Fy2Y, Fr = 2Y’, Fr r =2, FYT=FxY-0 и уравнение Л.Эйлера- Ж.Лагранжа (П2.40) принимает вид

Г Ч Г=0.

Получили однородное, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с общим решением

K(JC) = Cicosx+ C isinx.

Для определения констант интегрирования С\ и Сг воспользуется

граничными условиями К(0)=0;

=1. Имеем Ci = 0; Сг = 1, и, сле­

довательно, экстремум заданного функционала может достигаться только на кривой Y = sinx. Однако, чтобы установить достигается ли в

270