книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Подставим в равенство (П4.2.2). Тогда интегральная теореГаусса примет вид:'

	(П4.2.3)
V	А

При выводе выражения для определения энергии формоизмене­ ния считаем, что в упругом теле действует внешняя массо­ вая сила р, а на его границе внешнее распределенное дав­ ление q.

Тогда работа, совершаемая внешники силами на возможном

перемещении в теле 6и, равна:
	(П4.2.4)
V	А.
	Р

Заменяя р в соответствии с уравнением (П4.1.5) получим:

V

А

Р

Выполняем операцию дифференцирования следующей функции:

(П4.2.6)

Из (П4.2.5) и (П4.2.6) следует:

V	А.
	Р

На основании интегральной теоремы Гаусса в соответствии с формулой (П4.2.3) первое слагаемое в (П4.2.7) примет вид:

V

А

А.Р

Принципы минимума полного упругого потенциала и мини­ мума сопряженного (дополнительного) упругого потенциала являются экстремальными принципами теории упругости. При статическом нагружении твердого тела в качестве основного можно принять принцип возможной работы. Первоначально этот принцип был сформулирован в виде аксиомы примени­ тельно к системе абсолютно твердых тел. Затек он был обобщен на деформируемые тела. Существуют две формулиров­ ки принципа возможной работы: 1) в виде принципа возмож­ ных перемещений/ и 2) в виде принципа возможных сил. Рас­ смотрим одну из них, а именно принцип возможных перемеще­ ний. Принцип возможных перемещений формулируется следую­ щим образом: если тело находится в равновесии при дейст­ вии системы сил/ то работа этих сил на произвольном воз­ можном перемещении равна нулю.

Возможному перемещению соответствует вариация вектора

перемещений 'би(х^) . Перёмещения в теле являются возможны­ ми/ если они учитывают имеющиеся связи; При возможном перемещении работа совершается внешними и внутренними силами:

5W=6We-5Wi=0,	(П4 .3.1)
где W - суммарная работа, W - работа	внешних сил, W.
6	JL

работа внутренних сил, эквивалентных полю напряжений в теле.

Работа внешних сил хравна:
5We=Jp-5udV+Jq-5udA.		(П4.3.2)
V	АР
■		■

Здесь p(x-J) - внешние объемные силы, q(x?) - внешние по­

верхностные силы	(q(x^) равно	результирующему	напряжению
в точке тела на	поверхности с	координатами х-1	),	-

часть поверхности, на которой действует сила q.

Если на поверхности действуют также сосредоточенные

силы, то	в формуле (П4.3.2) добавится слагаемое:
	£	f<r W	r >.
	г*	1
Подставим	в формулу (П4.3.1)		выражения	(П4.3.2)	и
(П4.2.10):

	Jp-SudV+Jq-SudA-JV1^ ^ ,dV=0.
	V	*p	V	13
С учетом формул (П4.2.9), (П4.2.10):
J°“1^ E£jdV!=		J g ^		)•(fiu) ^ d x ^ J x ^ x 3,	(П4.3.4)
V	V

тождества (П4.2.6):

J(Ti^ScijdV=J(<ri^\/g"gj-5u) idx1dx2dx3
V	V
	"J(<rXiy/~q 5,-j)A^’5udx1dx2dx3/	(П4.3.5)
	V

и, применяя интегральную теорему Гаусса (П4.2.2) к перво­

му слагаемому справа от знака равенства в							формуле
(П4.3.5), получим:
V		j+рУ Я )'6udx1dx2dx3+J(q-q) 6udA.					(П4.3.6)
По основной ленке вариационного исчисления в силу
произвольного		выбора 6и это равенство имеет место только
в том. случае,		если	подынтегральное		выражение	в	скобках
равно	нулю. Тогда		имеем:
			,+р / Г -OeV				(П4.3.7)
			3 г2-
(условие равновесия в объеме тела).					выполняются	статичес­
Кроке того,		на	поверхности	тела
кие	граничные	условия:
			q=qeAp.				(П4.3.8)
Уравнения равновесия (П4.3.7)				выведены в предположении,
что:

(П4.3.9)

cij“ (ui|j+uj|i)/2€V

33S

(кинематическая совместимость в объеме тела), и и иеАи

(геометрические граничные условия).

Таким образом, получили все основные уравнения линей­ ной теории упругости, включая и закон деформации. Отсюда следует вывод, что принцип возможных перемещений является другим способом формулирования уравнений равновесия и статических граничных условий.

1.Абрамов Н.Н., Беркун В.Б., Кучеренко В .В., Перекальский В.М. Эффективные итерационные алгоритмы решения тепловых задач: Учебное пособие - М. ;МИСИ,1987.67с.

2.Автоматизация расчетов на сейсмические воздействия (программный комплекс П0ЛИФЕМ_Б87). Строительная ме­

ханика и расчет сооружений/№з, 1989.

3.Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет мно­ гослойных пластин и оболочек из композиционных мате­ риалов. - М.Машиностроение,1984.264с.

4.Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. - М.гГостехиздат,1952.

5.Багиров Л.А., Беркун В.Б. Об асимптотике решений

плоских задач теории упругости в устье трещины. Ме­ ханика твердого тела, Изв. АН CCCP,N°2,1986.

6. Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографическая* интерферометрия в механике компо­ зитов. - М.:Машиностроение/1987.312с.

7.Бате К.г Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.:Стройиздат,1982.

8.Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1975.

9. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона

ижелезобетона. - М. :Госстройиздатг1962.96с.

10.Беркун В.Б., Давыдов М.Д., Кучеренко В.В. Методика автоматизированной подготовки данных для расчета трехмерных задач. Учебное пособие.-М.:МИСИ,1987.99с.

11.Беркун В.Б., Проценко А.М. Численное решение плоской задачи механики хрупкого разрешения. Известия АН

СССР, Механика твердого тела,1985,ЕГ4,с.141-146.

12.Видный Г.Р., Колчин Г.В., Клованич С.Ф. Матричный метод решения задач строительной механики. - Киши­ нев :Штиинца,1981.

13.Биргер И.А. 'Некоторые общие методы решения задач теории пластичности. ПММ,1951,т.15,вып.б.

14.Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. - М.:Машиностроение,1980.375с.

15.Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные метода нелинейной теории железобетона. -М.:Стройиздат,1982. 287с.

16.Борисовский В.Г., Дашевский Е.М., Денисов Л.Д. и др. Назначение, возможности, принципы построения и опыт эксплуатации программного комплекса ПРОКРУСТ для

расчета строительных конструкций. Сб.:Проблемы авто-

матизир о ванных	сист ем в проект ировании	объ ектов
строительства.	Тезисы докладов Всесоюзного	семинара
в Новосибирске.	- М. :ЦНИПИАСС,1981.

17. Бурман З.И., Агнистиков И.М., Артюхин Г.А. и др. Программный комплекс СУМРАК для расчетов на статику, динамику и нелинейное поведение тонкостенных комби­ нированных конструкций. Сб.:Пространственные конст­ рукции в Красноярском крае. - Красноярск: Крас­ ноярский политехнический институт,1982.

18.Бурман З.И. и др. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. - М.:Машиностроение,1988.

19.Бурман Я.З., Салахов Р.Р. О реализации МКЭ на персо­

нальных ЭВМ. Прикладные проблемы информатики, № l , 1989.

20.Бурман Я.З., Соловьев С.С. Адаптивный алгоритм ме­ тода редуцирования базиса для решения физически не­ линейных задач механики деформирования. Прикладные проблемы информатики. - Казань:Казанский филиал АН

СССР,1989,с.72-79.

21.Бурман Я.З., Соловьев С.С. К расчету упругопластиче­ ского деформирования оболочек МКЭ с редукцией бази­ са. Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболо­ чек и пластин. - Казань:Изд-во Казанского универси­ тета, 1990.

22.Бурман Я.З., Соловьев С.С. Расчет упругопластическо­

го	деформирования оболочек на	основе	теории течения
и	МКЭ. Исследования по теории	пластин	и оболочек. -

Казань:Изд-во КГУ,1990,N°22,с.98-107.

23.Бурышкин М.Л., Гордеев В.Н. Эффективные методы и программы расчета на ЭВМ симметричных конструкций. - Киев:Буд1вельник,1984.120с.

24.Вайнберг Д.В., Сахаров А.С., Киричевский В.В. К ис­ следованию динамики сложных пространственных конст­ рукций методом дискретных элементов при больших пе­ ремещениях. Сб. :Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев:вып.15,1973,с.23-28.

25.Варвак П.М., Бузин И.М., Городецкий А.С., Пискунов В.Г., Толокнов Ю.Н. Метод конечных элементов. - Киев:Вища школа,1981.176с.

26.Васильев В.в. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.{Машиностроение,1988.272с.

27.Вилипыльд Ю.К., Лайгна К.Ю., Кала Т.Н. и др. Расчет стержневых и пластинчатых систем по методу конечных элементов МКЭ/20 - Таллин,1979.115с.

28.Виноградов Е.В., Пилюгин В.Ф., Сапожников А.И.и др. Программный комплекс для автоматизированного расчета упругих систем ПАРУС. Тезисы докладов на Всесоюзной научно-технической конференции "Корпус-83". - Нико­ лаев, 1983.

29.Вольнир А.С. и др. Статика и динамика сложных струк­ тур: Прикладные многоуровневые методы исследований.

- М . :Машиностроение,1989.

30.Вульфович Н.А., Зарубаев В.П. Автоматизированная система программ расчета массивных конструкций - СИПРАМАК. Сб.научных трудов. -М.:Гидропроект,вып.74, 1980.

31.Вульфович Н •А ., Зарубаев В.П., Корнев В.Г. Решение тестовых задач упругости методом конечных элементов высоких порядков точности. В сб. Численные методы

решения задач теорит упругости и пластичности. 4.1.

- Новосибирск:СО АН СССР,1978,с.ЗЗ-52.

32.Галкин Д.С., Галкина Н.С., Гусак Ю.В. и др. Много­ целевая автоматизированная расчетная система МАРС. Сб.: Комплексы программ математической физики. - Но­ восибирск, 1984.

33.Галкина Н.С. и др. Уч. записки ЦАГИ, 1985,T.16rN°2r с.68-77.

34.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир,1984.428с.

35.Гвоздев А.А. Ползучесть бетона и пути его исследова­ ния. Сб.: Исследование прочности и ползучести строи­ тельных материалов. - М.:Госстройиздат,1955.

36.Гениев Г.А., Киссюк В.Н.7~Тюпин Г.А. Теория пластич­ ности бетона и железобетона* - М.:Стройиздат,1974. 316с.

37.Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод ко­ нечных элементов статики тонких оболочек. - Казань : Казанский физико-технический институт,1990.269с.

38.Гольник и др. Из в. вузов, сер. Машиностроение, 1988, N°3,с.24-29.

39.Городецкий (А.С. Программа МИРАХ для статического расчета конструкций методом конечных элементов. Ав­

томатизация проектирования как комплексная проблема совершенствования проектного дела в стране: Сб. тру­ дов Всесоюзной научной конференции. .- М.,1973.

40.Городецкий А.С., Зоворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. - М.:Тран­ спорт, 1981. 143с.

41.Городецкий А.С., 3Доренко В.С. Типовая проектирующая подсистема ЛИРА для автоматизированного проектирова­ ния несущих строительных конструкций. Сб.: Системы автоматизированного проектирования обьектов строи­ тельства, вып.1,1982.

42.Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армирован­ ные оболочки. Расчет пневматических шин. - М.: Маши­ ностроение, 1988.288с.

43.Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тон­ ких упругих сложных анизотропных пологих оболочек с

жестким заполнителем. Из в. АН СССР. Механика, 1965,

N°5,c.68-80.

44.Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по пара­ метру в нелинейных задачах механики твердого дефор­ мируемого тела. - М.:Наука,1988.233с.

45.Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жестко­ стью. - Киев:Наукова Думка,1987.216с.

46.Дашевский Е.М. и др. Программный комплекс для авто­ матизированных массовых инженерных прочностных рас­

четов обьектов строительного проектирования, ПОЛИФЕМ (описание программы ). - Донецкий ПСНИИП,198б.

47.Куравлев Е.К., Евдокимов В.И., Прокопьев В.И., Горилько г.И. Исследование напряженного состояния же­ лезобетонного многополостного корпуса высокого дав­ ления в процессе предварительного напряжения. Вопро­ сы атомной науки и техники серия: Проектирование и строительство, вып.2(15),1983.

48.Ермолаев Н.В., Малков В.П. Прикладные проблемы проч­

ности и пластичности. - Горький,1982,N°20,с.61-69.

49.Здоренко В.С. Расчет железобетонных балок-стенок с

учетом деформаций ползучести и усадки бетона МКЭ. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев, вып.33,1978.с.61-65.

50. Зенкевич о. Метод конечных элементов в технике. - М.:Мир,1975.541с.

51.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппрокси­ мация. - И.:Мир,1986.318с.

52.Игнатьев В.А. Методы супердискретизации в задачах сложных стержневых систем. - Саратов,1981.107с.

53.Ильюшин А.А. Пластичность. - М:Гостехиздат,1948.

54.Исаханов Г.В., Кепплер X., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование алгоритмов решения нелинейных за­

дач теории упругости методом конечных элементов. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев, вып.25,1975.с.3-10.

55.Исаханов Г.В., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С., Синяв­ ский А.Л. Система математического обеспечения расче­ тов пространственных конструкций. Проблемы прочнос­

ти,№ 11,№ 12, 1978.

56.Калугин О.Ю., Кучеренко в.В., Попов В.А., Щукин О.И. Методика использования макроэлементов для решения на ЭВМ пространственных задач большой размерности. Учебное пособие. - М.:МИСИ,1987.105с.