Преобразования Галилея и механический принцип относительности.

В механике Ньютона при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой поступательно с постоянной скоростью, пользуются преобразованиями координат и времени, которые называются преобра­зованиями Галилея. Они основаны на двух аксиомах:

1. Ход времени одинаков во всех системах отсчета;

2. Размеры тела не зависят от скорости его движения.

Рассмотрим две системы отсчета – инерци­альную систему К (с координатами x,y,z), которую будем считать неподвижной, и систему К’(с координатами x’,y’,z’), движущуюся относительно системы К прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью , направленной вдоль оси х. Отсчет времени начнем с того момента, ко­гда начала координат обеих систем совпадают. В произвольный момент времениt системы распо­ложены, как показано на рисунке 6.1. Скорость направлена вдоль ОО’, радиус-вектор, проведенный из О в О’. Связь между координатами произ­вольной точки А в обеих системах будет иметь вид. В проекциях на оси координат это уравнение расписывается в следующем видеx = x’+ut; y = y’; z = z’. В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относи­тельного движения систем отсчета, откуда следует, что t =t’. Таким образом, мы получили совокупность четырех уравнений x = x’+ut; y = y’; z = z’; t =t’,

называемых преобразованиями Галилея.

можно сформулировать механический принцип относительности Галилея: при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой уравнения механики не изменяются, т.е. инвариантны по отношению к преобразованиям координат. Записанные соотношения справедливы лишь в случае u ‹‹ с, а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются наиболее об­щими преобразованиями Лоренца.

Постулаты специальной (частной) теории относительности. @

Необходимо было создать новую механику, которая объяснила бы эти факты, но со­держала бы и классическую механику, как предельный случай малых скоростей. Это удалось сделать А.Эйнштейну, который заложил основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. В основе теории лежат постулаты Эйнштейна, сформули­рованные им в 1905 г. и вытекающие из экспериментов.

І. Принцип относительности: Никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли дан­ная система или движется прямолинейно и равномерно. То есть все законы природы (а не только законы механики) инва­риантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к дру­гой.

ІІ. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или приемника (наблюдателя) и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Согласно второму постулату, постоянство скорости света – фундаментальное свойство природы.

Преобразования Лоренца

Исходя из этих принципов Эйнштейн, получил ряд необычных выводов, в частности о том, что время в разных инерциальных системах течет неодинаково. Эйнштейн показал, что для выполнения принципов необходимо преобразования Галилея заменить преобразованиями Лоренца.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К(x,y,z) и K’(x’,y’,z’), движущуюся относительно К поступательно в направлении оси х с постоянной скоростью v (рис.6.2). Пусть в начальный момент времени t= t’=0, когда начала координат О и О’ совпадают, в точке О излучается световой импульс.

Преобразования, полученные впервые Лоренцом, имеют вид (здесь  = v/c < 1):

При переходе от K’→К:            ,  ,,;

При переходе K →К’:               ,,,.

Видно, что относительно перемены системы отсчета преобразования симмет­ричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, т.к. если скорость движения К’ относительно К равна v, то скорость К относительно К’ равна –v.

7. Относительность длин и промежутков времени в СТО. Сложение скоростей в СТО. Релятивистская динамика. Импульс частицы. Релятивистская энергия частиц.

В 1905 г. А.Эйнштейн, отвергнув гипотезу эфира, предложил специальную (частную) теорию относительности, на основе которой можно совместить механику и электродинамику. В 1905 г. вышла его работа ╚К электродинамике движущихся тел╩. В ней Эйнштейн сформулировал два принципа (постулата) теории относительности.

I постулат: все законы природы имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

II постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Она не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала.

Основные формулы раздела ╚Теория относительности╩

Относительность промежутков времени

₀ √ интервал времени в системе K₀;  √ интервал времени относительно системы K.

Относительность расстояний

l₀ √ длина стержня в системе K₀; l √ длина стержня в системе K.

Сложение скоростей в СТО

v₁ √ скорость тела относительно системы K₁; v₂ √ скорость тела относительно системы K; v √ скорость системы K₁ относительно системы K.

Связь между энергией, импульсом и массой

 Энергия покоя тела

E₀ = m c².

Импульс частицы - это произведение ее массы на скорость .

8. Пружинный маятник. Физический маятник. Математический маятник.

Пружинный маятник – это тело массой m, способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (m_{пружины}m_тела) пружины

Трением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положе­ния равновесия О на него дейст­вует сила уп­ругости пружины, направленная к положению равновесия: , гдеk - коэффициент упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона . От­сюдаи, если обозначить, тогда получимдифференциальное урав­нение гармонических колебаний. Его решения имеют видлибо. Таким образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической час­тотойи периодом.

Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной го­ризон­тальной оси, не совпадающей с его цен­тром тяжести С

Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол  и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела , гдеJ - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести , ее момент равен(l=ОС). В результате получаем  .      Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда ,или, принимая, получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника. Его решения имеют видили. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотойи периодом.

Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l.

Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml², то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

, .

9. Гармонические колебания. Уравнение колебаний. Затухающие колебания. Время релаксации, декремент, добротность затухания.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

,  где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия); - круговая (циклическая) частота.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Время релаксации — период времени, за который амплитудное значение возмущения в выведенной из равновесия физической системе уменьшается в e раз (e — основание натурального логарифма), в основном обозначается греческой буквой τ.

Декремент затухания, количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Д. з. d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Д. з. — величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если d = 0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Д. з. характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

• —резонансная частота колебаний

• —энергия, запасённая в колебательной системе

• —рассеиваемая мощность.

10. Вынужденные колебания. Резонанс. Добротность механической системы.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастанияамплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы.

11. Упругие волны. Уравнение бегущей волны. Волновой вектор. Стоячие волны.

Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил

уравнение бегущей волны

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Для плоской волны волновое уравнение имеет вид:

(d²ξ/dx²)=(1/υ²)·(d²ξ/dt²)

Решение этого уравнения является уравнением бегущей плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию:

ξ(x,t)=A·cos[ω(t-x/υ)+φ₀] или ξ(x,t)=A·cos[ωt-kx+φ₀], (114)

где A - амплитуда волны, ω - циклическая частота, [ω(t-x/υ)+φ₀] - фаза волны, φ₀ - начальная фаза, k=2π/λ=2π/υT=ω/υ - волновое число, υ - фазовая скорость.

Волновой вектор — вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу.

Волновой вектор обычно обозначается латинской буквой 

Волновое число связано с длиной волны λ соотношением:

.

Наиболее общим определением волнового вектора можно считать такое: волновой вектор есть градиентфазы волны:

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую.

12. Идеальный газ. Законы Менделеева-Клайперона, Авогадро, Дальтона. Изопроцессы в термодинамике. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Идеальный газ - модель реального газа, которая удовлетворяет следующим требованиям:

• Расстояние между молекулами гораздо больше их размеров (молекулы можно считать материальными точками);

• Силами взаимодействия, кроме моментов соударения, можно пренебречь (потенциальная энергия взаимодействия молекул по сравнению с кинетической энергией хаотического движения пренебрежимо мала);

• Столкновение молекул друг с другом и со стенками абсолютно упругое;

• Движение каждой молекулы подчиняется классическим законам динамики Ньютона.