y	2	=C ex	+4C		2	e2x +		25C	e5x +						1		ex				+				1			xex −6(C ex													+2C						2		e2x +5C																					e5x +										1				ex +						1				xex +					1			)+
																																																																															4										4									5
		1						3					2									4													1																																3
+6(C ex +C				e2x +C				e5x +			1		xex +						1		x +							17 )+2ex − x												=C ex												−3C												e2x +C															e5x −ex +																1	xex +							6	x +			21	,
									4									5																																																																																					5
		1	2				3																					50					−5(C ex												1														2																3																			4							)+					25
y	3	=C ex	+4C			e2x +		25C	e5x +					1		ex					+			1				xex												+2C							2	e2x +5C																					e5x +										1					ex +					1					xex +				1
																																																																															4										4									5
		1		2				3					2									4													1																																3
+3(C ex +C				e2x +C				e5x +		1			xex +					1			x +							17 )+ex − x = −C ex																								−3C												e2x +3C																			e5x +								1			ex −			1			xex −					2	x +			1	.
		1	2				3		4									5										50																	1														2																				3										4					4										5					50
Следовательно, общее решение системы (5.1) найдено:
								y1 =C1e										x		+C2e											2x		+C3e			5x		+ 4 xe									x				+ 5 x + 50 ,
																																											1															1									17
								y2 =C1ex −2C2e2x +C3e5x +ex +																																													1				xex +												6					x +				21						,
																																																					4																5									25
																					x	−3C												2x	+3C							5x												x																	x																1	.
								y				3	= −C e																			e								e					+		3			e									−				1		xe										−	2			x				+
													1																		2							3									4												4																5								50
		Для решения задачи Коши воспользуемся начальными условиями. Получим систему
для определения C1, C2 , C3 :
																						17 =												C	+		C		2			+				C		3				+ 17 ,
																						50												1																				50
																				−						4				= C1 −2C2 + C3 +1+																																			21			,
																										25																																							25
																							27							=			−C		−3C								+3C									+							1		+						1			,
																																								2									3										4
																						100												1																														50
откуда C1 = 0, C2							= 0, C3 = 0.
																																			y1					=				4 xe						x			+ 5 x											+ 50 ,
																																												1																1							17
		Искомое частное решение имеет вид: y2																																							= −ex +																1			xex +														6	x +							21				, ▼
																																																									4																	5								25
																																													1		x									1								x									2										1		.
																																			y			3			=					e					−									xe							−								x +
																																													4
																																																						4																	5								50

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Веретенников В. Н. Высшая математика. Математический анализ функций одной переменной. Учебно-методическое пособие – СПб.: РГГМУ, 2008. − 254 c.

2.Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Структурированная программа (базис). Типовые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов (для студентов технических направлений бакалавриата): Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001, 56 c.

3.Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1-3. − М.: Эдиториал УРСС,

2000-2001.

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
Предисловие ……………………………………………………………………………………		3
Обыкновенные дифференциальные уравнения………………………………………………		4
1.	Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям……………………… 4
2.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка………………………………………………	8
	1. Основные понятия (8). 2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача
	Коши (8). 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (9).
	4. Уравнениия с разделяющимися переменными (12). 5. Однородные дифферен-
	циальные уравнения 1-го порядка (14). 6. Однородные линейные дифференциаль-
	ные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли (19).
3.	Дифференциальные уравнения 2-го порядка………………………………………………	23
	1. Задача Коши (23). 2. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
	(24).
4.	Дифференциальные уравнения высших порядков………………………………………	26
5.	Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка…………………	27

58

1. Свойства решений однородного линейного уравнения (27). 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций (29). 3. Однородные линейные уравнения 2-го порядка (30). 4. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения (32).

6. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициента-

ми………………………………………………………………………………………………	35
1. Однородные линейные дифференциальные уравнения (35). 2. Неоднородные
линейные дифференциальные уравнения (37). 3. Интегрирование неоднородного
линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом вариации (39). 4.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян-
ными коэффициентами (40).
7. Уравнение колебаний………………………………………………………………………	45
1. Свободные колебания (46). 2. Вынужденные колебания (47).
8. Системы дифференциальных уравнений…………………………………………………	49

Использованная литература…………………………………………………………………… 58

Содержание …………………………………………………………………………………… 58

59