книги2 / 10-1

σdisc(3Het1) = {4z1, 3z1 + z2, 2z1 + 2z2, 2z1 + z3, 2z1 + z4, z1 + 3z2, z1 + z2 + z3, z1 + z2 + z4, 4z2, 2z2 + z3, 2z2 + z4}, where z1 and z2 are the some

concrete numbers.

Литература

1. Tashpulatov S.M. Spectral properties of three-electron systems in the Hubbard model / Theoretical and Mathematical Physics — 2014. — Vol. 179, № 3. — С. 712–728.

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ

ВЯЗКОУПРУГОСТИ.

Ю.А. Тихонов (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова) [e-mail]

В сепарабельном гильбертовом пространстве H рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение:

	d2u			du		(t) + (A + C)u(t) − Z0				t
			(t) + αA							K(t − s)Au(s)ds = 0, t 0 (1)
	dt2			dt
с начальными условиями
						u(0) = u0,	du		(0) = u1.		(2)
							dt

Оператор A — самосопряжённый, положительно-определённый, имеющий компактный обратный, оператор C — симметрический оператор, компактно подчинённый оператору A. Функция K(t) задаётся следующим интегралом:

Z +∞

K(t) = e−τtdµ(τ),

d0

где d0 > 0, µ(τ) — неубывающая, непрерывная справа функция. Будем предполагать, что выполнены условия

Zd0	∞ dµτ(τ)		< 1	(3)
+

© Тихонов Ю.А., 2024

251

и

A−1/2CA−1/2 < 1 − Zd0	∞ dµτ(τ)		,	(4)
+

где через T обозначается замыкание оператора T . Условия (3)–(4) назовём условиями устойчивости.

Обозначим через Cn(X, H) пространство вектор-функций, действующих из множества X R в H, имеющих непрерывные производные вплоть до n-го порядка. Разрешимость задачи (1)–(2) будем понимать в следующем смысле [1]:

Определение 1. Функция u(t) C2([0, +∞], H) называется классическим решением задачи (1)–(2), если для каждого t 0,

u(t), u˙(t) Dom(A), Au˙(t) C([0, +∞], H), кроме этого, функция u(t) удовлетворяет уравнению (1) при t 0, а также начальным условиям (2).

Теорема 1. Пусть выполнены условия устойчивости (3)–(4) и в дополнение к ним имеет место сходимость интеграла

Z +∞

dµ(τ) < +∞.

(5)

d0

Тогда для любых u0, u1 Dom(A) задача (1)–(2) имеет единственное решение в смысле определения 1. Более того, существует угол Λθ = {| arg z| < θ}, где θ (0, π/2), такой, что функция u(z) явлется аналитической в угле Λθ. При этом для некоторых положительных постоянных M, γ справедлива следующая оценка нормы решения:

u(t) 2H Me−2γt A1/2u0 2H + u1 2H + t2 Au0 2H .

Исследование свойств решения задачи (1)–(2) основывается на спектральном анализе оператор-функции L(λ), возникающей в результате применения преобразования Лапласа к левой части уравнения (1):

+∞ dµ(τ)
L(λ) = λ2I + αλA + A + C − Zd0		A,	(5)
	τ + λ

Результат о локализации спектра этой опреатор-функции сформулируем в виде следующей теоремы:

252

Теорема 2. Пусть выполнено условие (3), тогда спектр оператор-функции L(λ) содержится в области

n o

Dγ,p,q = λ S : Re λ < −γ, |Im λ| < pp|Re λ| + q ,

где γ, p и q — положительные константы. При этом невещественная часть спектра состоит из конечного или счётного числа пар комплексно-сопряжённых собственных чисел конечной алгебраической кратности {λ±n }νn=1. Если ν = +∞, то

Reλ±n → −∞.

Уравнение (1) возникает в различных задачах теории вязкоупругости, в частности, при изучении малых поперечных колебаний вязкоупругого стержня [2], [3]. Отметим, что при α = 0, это уравнение является уравнением типа Гуртина–Пипкина. Уравнения подобного типа в случае, когда оператор C = 0, подробно изучены на предмет корректной разрешимости в весовых пространствах Соболева в работах В.В. Власова и соавторов. Основные результаты опубликованы в монографии [4] (гл. 3) и цитированных в ней статьях автора. Исследование уравнения Гуртина–Пипкина с дробно-экспоненциальными ядрами методом теории полугрупп развивается в работах Н.А. Раутиан [см. 5, 6, 7].

Задача, во многом аналогичная задаче (1) — (2) с ненулевым значением параметра α для ядер, представимых в виде интегралов по мере с компактным носителем, изучается в работах Д.А. Закоры [см. 8, 9, 10].

Литература

1.Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. / С.Г. Крейн. — М.:Наука., 1967. — 464 c.

2.Милославский А.И. О спектре неустойчивости операторного пучка. / А.И. Милославский// Мат. заметки. — 1991. — Т. 49, № 4. —

С.88–94

3.Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. — М. : Наука, 1970. —279 c.

4.Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений / В.В. Власов, Н.А. Раутиан. — М. : Макс Пресс, 2016. —488 c.

5.Раутиан Н.А. Спектральные свойства генератора полугруппы, порождаемой вольтерровым интегро-дифференциальным уравнени-

253

ем / Н.А. Раутиан // Дифф. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 2. —

С.275–279.

6.Раутиан Н.А. Корректная разрешимость вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах / Н.А. Раутиан // Дифф. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 10. —

С.1414—1430.

7.Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса / Н.А. Раутиан // Дифф. уравнения. — 2021. — Т. 57, № 9. — С. 1255–1272.

8.Закора Д.А. Спектральные свойства оператора в задаче о колебании смеси вязких сжимаемых жидкостей / Д.А. Закора // Дифф. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 4. — С. 467–482.

9.Закора Д.А. Асимптотическое поведение решений полного интегро-дифференциального уравнения второго порядка / Д.А. Закора //СМФН. — 2022. — Т. 68, №3. — С. 451–466.

10.Закора Д.А. Асимптотика решений в задаче о малых движениях сжимаемой жидкости Максвелла / Д.А. Закора //Дифф. уравнения. — 2019. — Т. 55, № 9. — C. 1195—1208.

О РАЗРЕШИМОСТИ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ С «ВЕСОВОЙ» ПРОИЗВОДНОЙ С.А. Ткачева, Г.Б. Савченко, Д.И. Балыкин (Воронеж, ВГУ)

[e-mail]

Рассматривается задача для уравнения вида
Dα,tu − A(−iDx)u = f(t, x), 0 t T, x R	(1)
u(t, x)|t=0 = u(t, x)|t=T	(2)

Здесь Dα,t – дифференциальный оператор с «весовыми» производными по переменной t (0, T ) следующего вида:

Dα,t = pα(t)∂t∂ pα(t), где α(t) – достаточно гладкая на (0, T ) функция, обращающаяся в нуль при t = +0: α(+0) = 0, α(t) > 0 при

t (0, T ). Функция α(1t) имеет интегрируемую особенность в нуле, и

t

существует конечный предел J = lim R ds . A(−iDx) – дифферен-

t→T 0 α(s)

циальный оператор с постоянными коэффициентами, f(x, t) – задан-

© Ткачева С.А., Савченко Г.Б., Балыкин Д.И., 2024

254

ная функция, u = u(t, x) – неизвестная функция, определенные при

0 < t < T, x R.

Символ A(s) оператора A(−iDx) – полином с постоянными коэффициентами вида A(s) = r(s) + iq(s), где r(s) и q(s) – вещественные функции.

На гладких функциях u(t, x) L2 зададим оператор Gα по формулам (см. [1])

p

Gα[u](y, x) = α(t)u(t, x)|t=y = ν(y, x),

здесь t = t(y) – функция, обратная функции

t

Z

y = y(t) = ds , 0 < t < T, 0 < y < γ, α(s)

0

где постоянная γ удовлетворяет условию γJ(T ) = π.

Теорема. Пусть существует постоянная δ > 0, что выполняется неравенство

|1 − exp(γA(s))| δ, δ > 0

при любом s R. Тогда задача (1) - (2) разрешима при любой правой части f(t, x) L2([0, T ] × R1) и справедлива оценка

1

T

ZZ

u(t, x) L2 2(R1) dt c	f(t, x) L2 2(R1) dt
0	0

с константой c > 0 , не зависящей от s R1.

Литература

1.Глушко В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко – Итоги науки и техники ВИНИТИ

–М., 1985. – т. 23. – С. 125-218.

2.Ткачева C.А. Исследование разрешимость нелокальной граничной задачи для дифференциальных уравнений с «весовой» производной / С.А. Ткачева, Г.Б. Савченко, И.Г. Забабурина // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2022. – Воронеж, Воронежский государственный педагогический университет, 2022. – С. 70-71.

255

О ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТАХ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПЛОСКУЮ УПРУГУЮ

СРЕДУ В РАМКАХ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ В.Б. Тлячев, Д.С. Ушхо (Майкоп, АдыгГУ) [e-mail]

В недавней работе [1] на основе теории Гинзбурга-Ландау построена математическая модель (динамические системы (34)-(37) из [1]) поведения двумерной системы — тонкого эластичного листа, описывающего процессы фазовых переходов в полимерных сетках, погруженных в бинарную смесь, коллоидных кристаллах с суперпарамагнитными частицами. Указанные динамические системы приведены к удобной форме для анализа в рамках качественной теории динамических систем на плоскости.

Таким образом, рассматривается квадратичная система вида

dt		= −a10x − a20x2	− a11xy − a02y2	≡ a10x + P2(x, y),	(1)
	dx
	dy	= b01y + b11xy + b02y2 b01y + Q2(x, y)
			≡
	dt

в предположении |a10| + |b01| > 0, P2(x, y) · Q2(x, y) ̸= 0.

Потребуем, чтобы изоклина бесконечности системы (1) была эллипсом L. Кривая a10x + P2(x, y) = 0 будет эллипсом, когда выполнены условия 4a20a02 − a211 > 0, a02a210(a20 + a02) > 0. Неравенства

a10a02 < 0, a10a11 > 0 являются условиями расположения центра эллипса L в первом квадранте. Дополнительно к указанным нера-

венствам добавляем следующие условия a20 > 0, a02 > 0, a10 < 0,

0 > a11 > −2√a20a02.

Система (1), с учетом равенств b01 = a10, b02 = a11, b11 = 2a20

приводится к виду
dt			= −a10x − a20x2	− a11xy − a02y2	≡ P (x, y)	(2)
	dx
	dy		= a10y + 2a20xy + a11y2 Q(x, y).
				≡
	dt

Лемма 1. Система (2) не имеет замкнутых контуров, состоящих из траекторий этой системы, в частности предельных циклов.

© Тлячев В.Б., Ушхо Д.С., 2024

256

Кроме двух состояний равновесия O(0, 0) и A − a10 , 0 , систе-

a20

ма (2) имеет еще два состояния равновесия, являющихся точками

пересечения эллипса L и изоклины нуля 2a20x + a11y + a10 = 0.

Теорема 1. Если система (2) удовлетворяет условиям a20 > 0, a02 > 0, a10 < 0, 0 > a11 > −2√a20a02, то в ограниченной части фа-

зовой плоскости она имеет четыре состояния равновесия, в том

a10

√a02

числе O(0, 0), A −

, 0 — простые седла, B √

m, m — про-

a20

a20

√

a02

стой устойчивый фокус, D − √

·n, n — простой неустойчивый

a20

фокус.

Теорема 2. Если выполняются условия a20 > 0, a02 > 0,

a10 < 0, то при a11

− 2√

, −√

система (2) имеет

3a20a02

a20a02

на экваторе сферы Пуанкаре два узла W1, W2 и седло W3, а при

a11 = −3√

— узел W1 и седлоузел W4.

a20a02

Теоремы 1 и 2 и лемма 1 позволяют построить фазовые портреты динамической системы (2) в круге Пуанкаре.

Отметим, значение параметра a11 = −3√a20a02 является бифуркационным.

Литература

1. Mukherjee S. Statistical mechanics of phase transitions in elastic media with vanishing thermal expansion / S. Mukherjee, A. Basu // Physical Review. E. — 2022. — Vol. 106. — 054128.

ТРАЕКТОРНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ ДЛЯ МОДЕЛИ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА С УЧЁТОМ ПАМЯТИ

ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ1 М.В. Турбин, А.С. Устюжанинова (Воронеж, ВГУ) [e-mail], [e-mail]

В докладе рассматривается следующая система уравнений, описывающая движение несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта с памятью в ограниченной области Ω с достаточно гладкой границей:

∂t −

n

∂xi

− κ

∂t

−

κ

∂xk

−

i=1

v

i

2

k

∂v

ν∆v +

∂v

∂∆v

Div v

∂E

(v)

X

1 Работа

выполнена

за счёт

Российского

Научного

Фонда (грант

№23-21-00091).

©Турбин М.В., Устюжанинова А.С., 2024

257

−2Div Z0t	L	βie−αi(t−s)E(v)(s, z(s, t, x)) ds + p = f;	(1)
	i=1
	X
div v = 0, t R+ = [0, +∞), x Ω;			(2)
	τ
z(τ; t, x) = x + Z		v(s, z(s; t, x))ds, 0 t, τ +∞, x Ω.	(3)

t

Здесь v — скорость движения жидкости, p — давление в жидкости, ν — вязкость жидкости, κ — время запаздывания, константы αi, βi, i = 1, L характеризуют память в жидкости, f — плотность внешних сил, воздействующих на жидкость. Исходя из физического

смысла задачи ν > 0, κ > 0, αi > 0, i = 1, L.

Рассматриваемая модель описывает движение различных растворов и расплавов полимеров, таких как растворы полиэтиленоксида, полиакриламида и гуаровой смолы [1] и была подтверждена экспериментальным путём [2,3]. Она является одной из моделей линейных вязкоупругих жидкостей с конечным числом дискретно распределённых времен релаксации и ретардации. Общая теория таких жидкостей, включающая в себя и модель Кельвина-Фойгта, была построена на основе принципа суперпозиции Больцмана, согласно которому все воздействия на среду независимы и аддитивны, а реакции среды на внешние воздействия линейны [4].

Отметим, что в системе уравнений (1) интеграл берется вдоль траекторий движения частиц жидкости. Исследуемая модель представляет несомненный интерес с физической точки зрения, поскольку более точно описывают поведение жидкости по сравнению со стандартными моделями с частной производной в реологическом соотношении (в том случае интеграл берётся вдоль постоянной прямой, что не физично). Но этот интеграл как раз и является основной проблемой при доказательстве существования слабых решений соответствующей начально-краевой задачи. Дело в том, что для нахождения траекторий движения частиц жидкости необходимо решать задачу Коши (3). Поскольку слабое решение принадлежит классу W21(Ω)n, то этого недостаточно для классической разрешимости задачи Коши. Выходом из сложившейся ситуации является использование теории регулярных лагранжевых потоков, созданной в работе [5]. На основе этой теории в недавней работе [6] и была установлена разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта с полной производной.

258

Следующим этапом исследования данной модели является исследование предельного поведения решений, а именно поведения решений при стремлении времени к бесконечности. В некоторых задачах решения могут стремиться к некоторому множеству в фазовом пространстве. Здесь под фазовым пространством понимается множество, элементы которого отождествляются с состояниями системы. То есть вне зависимости от начальных условий задачи её решения оказываются в этом множестве возможно через достаточное большое время. Подобные множества называют аттракторами, поскольку решения притягиваются к ним.

Доказательство существования траекторного и глобального аттракторов проводится на основе теории аттракторов неивариантных пространств траекторий [7]. А именно, для изучаемой модели вводится понятие слабого решения на конечном отрезке и на полуоси. После чего, на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач математической гидродинамики доказывается существование их решений и устанавливаются экспоненциальные оценки решений.

В качестве пространства траекторий H+ рассматривается множество слабых решений системы (1)–(3), определённых на R+, существенно ограниченных как функции со значениями в V 1 и удовлетворяющих оценке

v(t) V 1 + v′(t) V −1 C(1 + e−γt v L2

∞(R+,V 1))

(4)

при почти всех t > 0. Здесь γ — некоторая положительная константа. Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 1. Пусть коэффициенты ν, αi, βi, i = 1, L удовлетворяют условиям

ναi > 4L|βi|, i = 1, L.			(5)

Тогда существует минимальный траекторный аттрактор U и глобальный аттрактор A пространства траекторий H+.

Литература

1.Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В.А. Павловский // ДАН СССР. — 1971. — Т. 200, №. 4. — С. 809–812.

2.Амфилохиев В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войткунский, Н.П. Мазаева, Я.С. Ходорковский // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. — 1975. — Т. 96. — С. 3–9.

259

3.Амфилохиев В.Б. Экспериментальные данные о ламинарнотурбулентном переходе при течении полимерных растворов в трубах / В.Б. Амфилохиев, В.А. Павловский // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. —1976. — Т. 104. —

С.3–5.

4.Виноградов Г.В. Реология полимеров / Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин. — М. : Химия, 1977. — 438 с.

5.DiPerna R.J. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces / R.J. DiPerna, P.-L. Lions. // Inventiones Mathematicae. — 1989. — V. 98. — P. 511–547.

6.Turbin M. Existence of weak solution to initial-boundary value problem for finite order Kelvin-Voigt fluid motion model / M. Turbin, A. Ustiuzhaninova // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. — 2023. — V. 29. — Article number 54.

7.Zvyagin V. Topological approximation methods for evolutionary problems of nonlinear hydrodinamics / V. Zvyagin, D. Vorotnikov. — Berlin–New York. :Walter de Gruyter, 2008. — 248 p.

ЯВЛЕНИЕ ПОГРАНСЛОЯ

ВАЛГЕБРО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

СКВАДРАТИЧНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ

В.И. Усков (Воронеж, ВГЛТУ) [e-mail]

Рассмотрим задачу Коши:

	A	du(t, ε)		= (B + εC + ε2D)u(t, ε),	(1)
		dt
				u(t0, ε) = u0(ε),	(2)

где A, B, C, D — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства E1 в банахово пространство E2; dom A = dom B = dom C = dom D = E1; u0(ε) — голоморфная в точке ε = 0

функция; t [t0; tmax]; ε (0; ε0).

Оператор A полагается фредгольмовским с нулевым индексом, имеющим размерность ядра произвольной (конечной) размерности.

Цель работы: исследовать наличие явления погранслоя в задаче (1), (2).

Задача решена в работе [1].

© Усков В.И., 2024

260