книги2 / 10-1

Для этого с применением свойства фредгольмовости оператора A получено уравнение ветвления. Оно решается с применением диаграммы Ньютона. Исследуется случай одного и двух отрезков ломаной.

Результат работы: выявлены условия, при которых имеет место явление погранслоя в обоих случаях — они называются условиями регулярности вырождения. Приводится иллюстрирующий пример.

Литература

1. Усков В.И. Явление погранслоя в алгебро–дифференциальном уравнении первого порядка / В.И. Усков // Вестник российских университетов. Математика. — 2023. — Т. 129, № 144. — В печати.

СТУПЕНЧАТЫЕ ЖЁСТКИЕ ФРЕЙМЫ НА ПОЛЕ

ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ ЛОРАНА Ю.А. Фарков (Москва, РАНХиГС) [e-mail]

На группах Виленкина ступенчатые функции представимы конечными линейными комбинациями обобщенных функций Уолша и применяются в теории приближений и для обработки сигналов (см. [1],[4]-[6] и цитированную в этих статьях литературу). Хорошо известно, что при каждом простом p группа Виленкина Gp изоморфна аддитивной группе поля формальных рядов Лорана Fp(( t )), т.е. рядов вида

X

antn, n0 Z, an Fp,

n n0

собычными операциями сложения и умножения. Это поле может быть получено как пополнение поля Fp( t ) рациональных функций

скоэффициентами из конечного поля Fp относительно абсолютного значения | a | = p−ord0(a).

При построении нормализованных жёстких фреймов на группе

Виленкина Gp и в пространствах периодических последовательностей используется условие

	p−1
	X
b0 = 1,	|bs+kpn−1 |2 1 для s {0, 1, . . . , pn−1 − 1}. (1)

k=0

В сочетании с доказанными недавно в [6] характеристическими свойствами ступенчатых масштабирующих функций условие (1) зада-

© Фарков Ю.А., 2024

261

ет класс масок на группе Gp, для которых соответствующие нормализованные жёсткие фреймы состоят из ступенчатых функций. Переход от вектора параметров (b0, b1, . . . , bpn−1) к соответствующей маске осуществляетмя с помощью дискретного преобразования Виленкина-Крестенсона. В докладе будет показано как этот метод построения жёстких фреймов реализуется на поле Fp(( t )); в частности, будут дополнены примеры из [2, § 2.4] и [3, § 7.4]. Предполагается также продемонстирировать как на поле Fp(( t )) переносятся некоторые другие методы построения жёстких фреймов и ортогональных вейвлетов на группе Gp.

Литература

1.Фарков Ю.А. Ступенчатые масштабирующие функции и система Крестенсона / Ю. А. Фарков // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 225, ВИНИТИ РАН, М., 2023. —

С.134—149.

2.Behera B. Wavelet analysis on local fields of positive characteristic / B. Behera, Q. Jahan // Indian Statistical Institute Series. Singapore : Springer, 2021. — 332 p.

3.Farkov Yu.A. Construction of wavelets through Walsh Functions / Yu.A. Farkov, P. Manchanda, A.H. Siddiqi // Industrial and Applied Mathematics. Singapore : Springer, 2019. — 382 p.

4.Farkov Yu.A. Discrete wavelet transforms in Walsh analysis / Yu.A. Farkov // J. Math. Sci., New York. — 2021. — V. 257, № 1. — P. 127–137.

5.Farkov Yu.A. Finite Parseval frames in Walsh analysis / Yu.A. Farkov // J. Math. Sc., New York. — 2022. — V. 263, № 4. — P. 579–589.

6.Farkov Yu.A. Step wavelets on Vilenkin groups / Yu.A. Farkov, M.A. Skopina // J. Math. Sci., New York. — 2022. — V. 266, № 5. — P. 696–708.

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С СИЛЬНЫМ

ВЫРОЖДЕНИЕМ Ш.Р. Фармонов (Фергана, ФерГУ)

[e-mail]

Пусть Ω - конечная односвязная область плоскости xOy, ограниченная отрезками AB = {(x, y) : x + y = 1, x 0, y 0},

© Фармонов Ш.Р., 2024

262

BA

=

{(x, y) : x

= 0, −1

y 1} и дугой A A

= {(x, y) :

j

}

а

0

∩ {

},

√x + √

−

,

Ω

= Ω

(x, y) : y >

0

y = 1, x > 0, y < 0

Ω1j = Ω ∩ {(x, y) : (−1) (x + y) < 0, y < 0}, j =

.

1, 2

Задача A1 [A2].

Найти

функцию

, удов-

u(x, y)

C

Ω

летворяющую следующим условиям:

1) в области Ω0 есть регулярное решение уравнения

xuxx + yuyy + αux + αuy = 0,

0 < α = const < (1/2) ;

(1)

2) в областях Ω11 и Ω12 есть обобщенное решение уравнения (1) из

класса R2[1, 2]; 3) удовлетворяет условиям

u(x, y) = φ(x, y),

(x, y) AB;

(2)

u(0, y) + u(0, −y) = f(y),

−1 y 1;

(3)

√

)2

−

u (1

√

)2,

−

x = p(x), (1/4)

x

1; (4)

x

x

u x, −(1 −

α −

(5)

lim

x u

(x, y) = g(y),

0 < y < 1;

x +0

x

→

lim xαu (x, y)

lim xαu

(x,

−

y) = g(y),

0 < y < 1;

(5

)

x→+0

x

y)

α

− x→+0

x

(x, y),

0 < x < 1.

′

lim

(

−

u (x, y) =

lim

yαu

(6)

y→−0

y

− y→+0

y

где φ(x, y), f(t), p(t), g(t) – заданные непрерывные функции, причем p(1/4) = 0, φ(1, 0) + φ(0, 1) = p(1) + f(1).

Отметим, что уравнение (1) в области Ω0 принадлежит эллиптическому типу, а в Ω11 и Ω12 – гиперболическому типу, причем отрезок OA является линией изменения типа.

Очевидно, что (3) и (5′) являются условиями типа условия

Франкля, а условие (4) связывает значения искомой функции в точ-

ках, лежащих на дугах A D и DA характеристики

√

+

√

= 1

x

−y

уравнения (1), где A(1, 0), A (0, −1), D(1/4; 1/4).

Пусть u(x, y) решение задачи A1. Введём обозначения:

τ11(t) = u(t, 0), τ12

(

−

t) = u(0,

−

t), τ21(t) = u(0, t), 0

t

1;

+

lim

y

α

ν

(

y)

α

u

ν11

(t) = y

u (t, y),

11

(t) = lim

−

(t, y), t

(0, 1);

→

+0

y

y

→−

0

y

ν+

xαu

−

xαu

−

(t) = lim

(x, t),

ν

(

t) = lim

(x,

t), t

(0, 1);

21

x→+0

x

12

x→+0

x

u1j(x, y) = u(x, y), (x, y) Ω1j, j =

1, 2

.

Обобщенные решения u1j(x, y)

R2, уравнения (1) в областях

Ω11 и Ω12 представимы в виде[3]

ξ

η

u1j(x, y) = Z0

σ−βT1j(z)dt +

1

Zξ

(−σ)−βN1j(z)dt,

(7)

2cos(βπ)

где β = α − (1/2), ξ =

2

2 ,

|x| −

|y|

, η =

|x| +

|y|

p

p263

p

p

d2

z

χ

Z0

T1j(z) = sign(z)

1

(z − s)2β[τ1j(s) − τ1j(0)]ds,

2

dz2

N

(z) = T

(z) + ( 1)jχ

t

α−1ν

−

(z), z = ( 1)j+1t, j =

1j

1, 2; σ =

1j

−

| |

1j

−

(ξ − t)(η − t), χ = 24β−1(1 − α)−1cos(βπ)Γ(2 − 2β)Γ−2(1 − β), χ1

=

sin(βπ)(βπ)−1, Γ(z)–гамма-функция Эйлера.

Кроме того, в силу u(x, y) C

Ω , справедливо равенство

lim

u11(x, y) =

lim

u12(x, y), 0 < x < (1/4).

(8)

y→−x+0

y→−x−0

Подставляя функции u1j(x, y), определяемые формулами (7), в

равенство(8), после некоторых преобразований, получим

T11(t) − T12(−t) = χ tα−1 [ν11(t) + ν12(−t)] , 0 < t < 1.

(9)

Далее, с помощью формул (7) находим u11 x, −(1 − √

)2

,

u

x

(1

√x)2

,

x

(5). Затем, используя

12

−

−

и подставляем в условие

1j

имеем

равенство(9), условие (3) и считая

τ

(0) = 0,

τ11(t) + τ21(t) = f(t) + Φ1(t),

0 t 1,

(10)

t

ζ

(1 + √

Φ

(t) = χ

(1 − ζ)β

dζ

d2

(ζ

s)βp

s

)2

ds.

где

Z

dζ2 Z

−

4

1

1

(t − ζ)2β

0

0

Равенство (10) является функциональным соотношением между

τ11(t) и τ21(t), получаемым из того условия, что реше-ние задачи A1

должно удовлетворить условиям (3)-(5) и (8).
˜	:
Этим задача A1 эквивалентно сведена к следующей задаче A1

найти регулярное в области Ω0 решение u(x, y) C(Ω0) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2),(5) и (10).

Аналогичным методом, задача A2 эквивалентно сведется к задаче

˜

решения уравнения (1),

A2, об определении регулярного в области Ω0

удовлетворяющего условиям (2),(10) и

ν21+ (x) − ν11+ (x) = Φ2(x),

χ

β

d2

t

(1 + √

)2

s

где Φ2(t) = g(x) +

1

(1 − t)

Z0

(t − s)βp

ds.

χ

tα−1

dt2

4

Единственность решения задач

A1

˜

и A2

˜

доказывает-

A1

A2

ся методом принципа экстремума, а

существование-ме-тодом инте-

гральных уравнений.

264

Теорема. Пусть заданные функции удовлетворяют следующим

условиям:	φ(x, y)	=	[x(1 − x)]ε φ˜(x), φ˜(x)				C[0, 1], ε > 1 + α;
f(t) = A	t−2β	1	+ f˜(t),			f˜(0) = A, f˜(t)	C(2,γ)[0, 1], γ > 0;
p(t) = (t −	1/4)γ1−(1 − t)γ2 p˜(t), p˜(t) C[1/4, 1], γ1 2 − 4β, γ2 4;
g(t) = t1−αg˜(t), g˜(t) C[0, 1] ∩ L(0, 1), где
		2ββΓ2(β)			1
					Z
	A =	4				φ˜(t)[t(1 − t)]β+ε−(1/2)dt.
		2πΓ(2β)

0

Тогда задача A1 (A2) имеет единственное решение.

Литература

1.Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. —

М.: Наука, 1985. — 304 с.

2.Исамухамедов С.С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения / С.С. Исамухамедов, Ж. Орамов // Дифференциальные уравнения. — Минск. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 324–334.

3.Urinov A.K., Farmonov S.R. An analog of the Frankl problem for a second-kind mixed-type equation / A.K. Urinov, S.R. Farmonov // Journal of Mathematical Sciences. — 2013. — Т. 194, № 5. — P. 573–583.

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ВБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ1 В.Е. Федоров, Т.А. Захарова (Челябинск, ЧелГУ)

[e-mail]

Для α > 0, θ0 (π/2, π), a0 0 обозначим через Aα(θ0, a0) множество линейных замкнутых плотно определенных в банаховом про-

странстве Z операторов A, для которых выполняются следующие условия:

(i)для всех λ Sθ0,a0 выполняется включение λα ρ(A);

(ii)при любых θ (π/2, θ0), a a0 существует такое K =

K(θ, a) > 0, что

λ Sθ,a := {a + reiφ : r > 0, |φ| < θ} Rλα (A) L(Z)	K(θ, a)
		.
	|λα−1(λ − a)|

Здесь Rµ(A) := (µI − A)−1, ρ(A) — резольвентное множество оператора A.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ и Челябинской области (проект № 23-21-10015).

© Федоров В.Е., Захарова Т.А., 2024

265

Лемма 1. Пусть α > 0, −A Aα(θ0, 0), 0 ρ(A). Тогда при Reγ > 0 оператор A−γ ограничен и инъективен.

Для Reγ > 0 определим оператор Aγ := (A−γ)−1 с областью определения DAγ = imA−γ := {y = A−γx : x Z}.

Пусть α > 0, −A Aα(θ0, a0), Γ := Γ+ Γ− Γ0, Γ± := {µ C :

µ = a+re±iθ, r [δ, ∞)}, Γ0 := {µ C : µ = a+δeiφ, φ (−θ, θ)} при некоторых δ > 0, a > a0, θ (π/2, θ0), тогда определены операторы

Zβ(t) := 2πi ZΓ		µα−1+βRµα (−A)eµtdµ, t R+, β R.
1

Для них доказано следующее обобщение полугруппового свойства.

Теорема 1. Пусть α > 0, −A Aα(θ0, a0). Тогда при любых

β < 1, δ < 1, s, t > 0

					1
				Zβ(s)Zδ(t) = −			Zβ+δ(s + t)+
						α
	t−δ
+			ZΓ		µα−1+βRµα (−A)Eα,1−δ(µαtα)eµsdµ+
	2πi
		s−β
+				ZΓ	µα−1+δRµα (−A)Eα,1−β(µαsα)eµtdµ.
		2πi
Рассмотрим задачу Коши
			Dkz(t0) = zk, k = 0, 1, . . . , m − 1,					(1)
для квазилинейного уравнения
Dαz(t) + Az(t) = B (t, Dα1 z(t), Dα2 z(t), . . . , Dαn z(t)) ,								(2)

где m − 1 < α m N, n N, α1 < α2 < · · · < αn < α, ml − 1 < αl ml Z, l = 1, 2, . . . , n. Здесь Dαl — дробная производная Герасимова-

Капуто при αl > 0 или интеграл Римана-Лиувилля для αl 0 Пусть γ (0, 1), Zγ := DAγ — банахово пространство с нормой

· γ := Aγ · Z, так как Aγ — непрерывно обратимый замкнутый оператор. Пусть U — открытое подмножество R × Zγn, задано отображение B : U → Z, для любой точки (t, x1, x2, . . . , xn) U найдется ее окрестность V U и константы C > 0, δ (0, 1], такие, что для всех (s, y1, y2, . . . , yn), (t, v1, v2, . . . , vn) V

B(s, y1, y2, . . . , yn) − B(t, v1, v2, . . . , vn) Z

266

C |s − t|δ +	n	yl − vl γ!.	(3)
Xl
	=1
Функция z C((t0, t1]; DA),	такая, что z		Cm−1([t0, t1]; Z),

Dαz C((t0, t1]; Z), Dα1 z, Dα2 z, . . . , Dαn z C([t0, t1]; Z), называется решением задачи (1), (2) на отрезке [t0, t1], если выполняются

условия (1), включение (Dα1 z(t), Dα2 z(t), . . . , Dαn z(t)) U для всех t [t0, t1] и при любом t (t0, t1] справедливо равенство (2).

При t1 > t0, α1 < α2 < · · · < αn < α определим пространство

Cm−1,{αl}([t0, t1]; Z) := {z Cm−1([t0, t1]; Z) :

Dαl z C([t0, t1]; Z), l = 1, 2, . . . , n}

с нормой

n

z Cm−1,{αl}([t0,t1];Z) = z Cm−1([t0,t1];Z) +

Xl

Dαl z C([t0,t1];Z).

=1

Лемма 2. Нормированное пространство

Cm−1,{αl}([t0, t1]; Z)

полно.

Обощначим

z˜(t) := z

0

+ (t

−

t

)z

1

+

· · ·

+

(t − t0)m−1

z

m−1

,

0

(m

−

1)!

z˜l := Dαl z˜(t0),

l = 1, 2, . . . , n.

Заметим, что при αl = ml = k {0, 1, . . . , m − 1} имеем z˜l = zk, в противном случае z˜l = 0, l = 1, 2, . . . , n.

Теорема 2. Пусть α (1, 2], α1	< α2 < · · · < αn < α,
−A Aα(θ0, 0), 0 ρ(A), отображение B : U → Z удовле-
творяет условию (3) при некотором	γ (0, 1), z0, z1 Z1+γ,

(t0, z˜1, z˜2, . . . , z˜n) U. Тогда при некотором t1 > t0 существует единственное решение задачи (1), (2) на отрезке [t0, t1].

В полном метрическом пространстве

St1 := {x C1,{αl}([t0, t1]; Z) : Dαl x(t0) = Aγz˜l,Dαl x(t) − Aγz˜l Z ε, l = 1, 2, . . . , n}

доказывается сжимаемость отображения

1	t
	Z
X	t0
F x(t) :=	Z−k(t − t0)Aγzk + AγZ1−α(t − s)Bx(s)ds,
k=0

267

где Bx(s) := B (s, A−γDα1 x(s), A−γDα2 x(s), . . . , A−γDαn x(s)). Через его единственную неподвижную точку y выражается решение

	m−1	t
		Z−k(t − t0)zk + Z Z1−α(t − s)Bz(s)ds =
	z(t) = k=0
	X	t0
		= A−γF Aγz(t) = A−γy(t).
	Теорема 3. Пусть α (0, 1], α1 < α2 < · · · < αn < α,
	−A Aα(θ0, 0), 0 ρ(A), отображение B : U → Z удовлетворяет

условию (3) при γ (0, 1), z0 Z1+γ, (t0, z˜1, z˜2, . . . , z˜n) U. Тогда при некотором t1 > t0 существует единственное решение задачи

(1), (2) на отрезке [t0, t1].

При α (1, 2] в ограниченной области Ω R3 с гладкой границей

∂Ω рассмотрим начально–краевую задачу
v(ξ, t0) = v0(ξ), Dt1v(ξ, t0) = v1(ξ),					ξ Ω,	(4)
v(ξ, t) = 0,	ξ ∂Ω, t > t0,					(5)
n		3		∂
Dαv(ξ, t) = ∆v(ξ, t) +	Dαl v(ξ, t)				Dαl v(ξ, t),	(6)
		X
Xl	t				t
t		∂ξi
=1		i=1

где α1 < α2 < · · · < αn < α, Dtαl v — частная производная Герасимова — Капуто при αl > 0 или интеграл Римана — Лиувилля для αl 0 по переменной t. Возьмем Z = L2(Ω), A = −∆, DA = H2(Ω)∩H01(Ω), тогда −A Aα(θ0, 0) при α (0, 2), θ0 (π/2, π). Рассуждая, как в [3, теорема 8.3.5], можно показать, что нелинейный оператор

		n	3	∂
		Xl	X
	f(v1, v2, . . . , vn) =			∂ξi vl
		vl	i=1
		=1

удовлетворяет условиям теоремы 2 при γ > 3/4. Следовательно, при всех v0 DA1+γ существует единственное решение задачи (4)–(6) в цилиндре Ω × [t0, t1] при некотором t1 > t0.

Электронную версию тезисов необходимо выслать по электронному адресу [e-mail].

Литература

1. Fedorov V.E. Quasilinear fractional order equations and fractional powers of sectorial operators / V.E. Fedorov, M. Kosti´c, T.A. Zakharova // Fractal and Fractional. — 2023. — Vol. 7, no. 5. — P. 385.

268

2.Fedorov V.E. Complex powers of fractional sectorial operators and quasilinear equations with Riemann – Liouville derivatives / V.E. Fedorov, A.S. Avilovich, T.A. Zakharova // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 44, no. 2. — P. 580–593.

3.Pazy A. Semigroups and Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — New York : Springer, 1983. — 280 с.

ОРАЗЛОЖЕНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ

РЯДЫ В.И. Фомин (Тамбов, ТГУ им. Г.Р. Державина)

[e-mail]

Пусть E — вещественное банахово пространство; I, O — соответственно тождественный и нулевой операторы в пространстве E; L(E)

— вещественная банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из E в E; ER2 = {w = (x, y) : x, y E} — банахово пространство комплексных векторов над полем вещественных чисел

с линейными операциями (x1, y1) + (x2, y2) =

(x1 + x2, y1 + y2), α (x, y) = (αx, αy) и нормой (x, y) = x + y

([1, с.103]); N0 = N {0}.

В работе [2] рассмотрена вещественная банахова алгебра

A = LORC ER2 = {Z = (A, B) = A + JB : A, B L(E)}

ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в пространстве ER2 по закону: Zw = (A + JB) (x, y) =

(Ax − By, Ay + Bx) с линейными операциями (A1 + JB1) +

(A2 + JB2) = A1 + A2 + J (B1 + B2), α (A + JB) = αA + J (αB), операцией умножения (A1 + JB1) (A2 + JB2) = A1A2 − B1B2+

J (A1B2 + B1A2) и нормой Z = A + JB = A + B (здесь J = (O, I) — мнимая операторная единица).

	Алгебра A некоммутативна. Единицей в ней является оператор
ˆ	ˆ

I = (I, O), нулевым элементом оператор O = (O, O).

В тех случаях, когда речь идёт о геометрических понятиях, например, об окрестностях, условимся называть элементы алгебры A комплексными операторными точками или, в более краткой форме, точками.

© Фомин В.И., 2024

269

В дальнейшем важное значение будет иметь множество AG непрерывно обратимых операторов из алгебры A. В силу равносильности свойств непрерывности и ограниченности линейного оператора в нормированном пространстве ([3, с.89]) множество AG можно

записать в виде AG =			Z A : Z−1 A (условия существования
обратного оператора				и его вид см. в [2]).
	Z−1

Тригонометрические функции из семейства комплексных операторных функций

S (A, A) = nf : A D(f)→R(f) Ao
			f
определяются равенствами
∞		Z 2k+1		∞		Z 2k
kX	(−1)k			X	(−1)k
sinZ =		(2k + 1)!	, cos Z =			(2k)!	,
= 0			k = 0
secZ = cos−1 Z, cosecZ = sin−1 Z, tg Z = sin Z cos−1 Z,
	ctg Z = cos Z sin−1 Z,
где cos−1 Z = (cos Z)−1, sin−1 Z = (sin Z)−1				— обратные операторы
соответственно для операторов cos Z, sin Z.
Для этих функций D (sinZ) = D (cos Z) = A, D (secZ) =

{Z A : cos Z AG}, D (cosecZ) = {Z A : sin Z AG}, D (tg Z) = D (secZ), D (ctg Z) = D (cosecZ).

Пусть Z0 A; R R, R > 0. Рассмотрим открытый шар

OR (Z0) = {Z A : Z − Z0 < R}. Границей шара OR (Z0) является сфера SR (Z0) = {Z A : Z − Z0 = R}.

Теорема 1. Для функций secZ, tg Z в открытом шаре O							π	ˆ
								O
справедливы разложения							2
				∞
			kX
	secZ =			αk Z 2k,				(1)
			= 0
		∞
		kX
	tg Z =			βk+1 Z 2k+1,				(2)
		= 0
где
α = 1;	α =	k		(−1)i+1 αk−i	,	k ;		(3)
		Xi
0	k			(2i)!		N
		=1

270