Информатика_Методы
.pdf
21.01.2013
Геометрически идея состоит в следующем. Поскольку в геометрии нет готовой универсальной формулы для вычисления площади произвольной криволинейной трапеции, то эту фигуру нужно приближенно заменить на некоторую простую фигуру с легко вычисляемой площадью (прямоугольник, прямоугольная трапеция, параболическая трапеция) или, по-другому, истинную кривую f (x) заменяют прямой или параболой.
111
111
21.01.2013
Поскольку при такой замене возникает погрешность вычисления площади, то с целью ее снижения исходную криволинейную трапецию разбивают на множество меньших (элементарных) трапеций и затем каждую элементарную трапецию заменяют простой фигурой, вычисляют их площади и складывают. Чем больше будет число разбиений, тем более точно будет вычислена площадь исходной фигуры, т.е. значение интеграла.
112
112
21.01.2013
Метод (формула) прямоугольников
Согласно геометрической идеи
для вычисления площади
исходной фигуры (интеграла), она приближенно заменяется на
сумму площадей
прямоугольников.
113
113
21.01.2013
Разделим отрезок [a, b] на n равных |
|
||||
отрезков длиной h. |
|
|
|
||
y |
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 b |
x |
|
|
x0 |
|
xn |
|
|
h = (b - a)/n , xi = a + ih , i = 0, 1, …, n. |
114 |
||||
114
21.01.2013
Заменим каждую элементарную площадь прямоугольником с высотой по левой границе отрезка.
y |
|
y1 |
yi |
|
|
||
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
0 |
a |
x1 |
xi |
|
x0 |
|
|
yn-1 |
|
|
|
yn |
|
xn-1 |
b |
x |
|
xn |
|
115
115
21.01.2013
В этом случае площадь исходной фигуры (значение интеграла) можно приближенно вычислить как сумму площадей прямоугольников.
Формула левых прямоугольников:
b
f ( x)dx S h y0 h y1 ... h yn1
a |
|
n1 |
n1 |
h yi |
h f ( xi ). |
i 0 |
i 0 |
116
116
21.01.2013
Можно строить прямоугольники с |
|||||
высотой по правой границе отрезка. |
|||||
y |
|
yi |
yn-1 |
|
|
|
y1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
yn |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 |
b |
x |
|
x0 |
|
|
xn |
|
117
117
21.01.2013
В этом случае получится немного другая формула
Формула правых прямоугольников:
b
f ( x)dx S h y1 h y2 ... h yn
a |
|
n |
n |
h yi |
h f ( xi ). |
i 1 |
i 1 |
Погрешность вычисления интеграла по формулам прямоугольников
достаточно велика.
118
118
21.01.2013
Метод (формула) трапеций
Здесь для вычисления интеграла
площадь исходной фигуры
приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольных
трапеций.
119
119
21.01.2013
Заменим каждую элементарную |
|
|||
площадь прямоугольной трапецией, |
||||
т.е. соединим точки yi |
отрезками |
|
||
прямых линий (хордами). |
|
|||
y |
y1 |
yi |
yn-1 |
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
y0 |
|
yn |
|
|
h |
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 b |
x |
|
x0 |
|
xn |
120 |
120