M3_10_13
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института (государственного университета)»
МАТЕМАТИКА
Последовательности. Пределы
Задание №3 для 10-х классов
(2013 – 2014 учебный год)
г. Долгопрудный, 2013
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Составитель: Е.Ю. Редкозубова, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.
Математика: задание №3 для 10-х классов (2013 – 2014 учебный год), 2013, 32 с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 30 ноября 2013г.
Составитель:
Редкозубова Елена Юрьевна
Подписано 17.09.13. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0.
Уч.- изд. л. 1,77. Тираж 600 Заказ №13-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2013
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
2
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
§1. Бесконечные числовые последовательности
Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция x = x(n) ,
определѐнная на множестве N натуральных чисел.
Аргумент n этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо
записи |
x(n) |
используют запись xn , а саму последовательность часто |
|||||||||
обозначают (xn ) . Число xn |
|
называют n -м (читается: энным) членом |
|||||||||
последовательности (xn ) . Приведѐм примеры. |
|||||||||||
(1) |
1 |
; 1; 1; ... (т. е. xn = 1 для всех n N ); |
|||||||||
(2) |
12 ; |
22 ; 32 ; ... (т. е. |
|
x |
= n2 для всех n N ); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(3) |
1 |
; |
1 |
; |
1 |
; ... (т. е. x |
|
= |
1 |
для всех n N ); |
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)последовательность, n -й член которой равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числа 338 ;
(5)последовательность, n -й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих n ;
(6)x1 = 1, x2 = 1, xn = xn 1 xn 2 для всех n 3
(последовательность Фибоначчи).
Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула n -го члена (примеры (1) – (3)). Закон
соответствия между номером n и членом xn может быть описан
словесно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)).
Легко убедиться, что в примере (4) x1 = 2 , x2 = 4 , x3 = 2 , x4 = 4 и
т. д., т. е. xn = 3 ( 1)n . В примере (6) формулу n -го члена найти сложнее:
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
3
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|
1 |
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xn |
= |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А вот явную формулу n -го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие еѐ свойства установлены и без формулы.
Скажем несколько слов о геометрическом изображении последовательности. Поскольку последовательность (xn ) является функцией, то
геометрически еѐ можно изобразить графиком (рис. 1 а). Однако чаще всего члены последовательности изображаются точками координатной прямой, снабжѐнными соответствующими пометками (рис. 1 б).
x x1
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
O 1 2 3 4 5 |
n |
n |
0 xn x4x3 x2 |
x |
|
x1 |
|||
а) |
|
|
б) |
|
Рис. 1
Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1), (2), (5) и (6)?
Ответ. Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдущего.
Определение. Последовательность (xn ) называется строго возрастающей, если каждый еѐ член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. xn 1 > xn для любого n N . Последовательность (xn ) называется строго убывающей, если xn 1 < xn для любого n N . Последовательность (xn ) называется нестрого убывающей, если xn 1 xn для любого n N . Последовательность (xn ) называется
нестрого возрастающей, если xn 1 xn для любого n N .
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
4
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются
монотонными.
Пример 1.1. Выяснить, является ли монотонной последовательность
x |
= |
3n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
Уточним, чему равен |
|
xn 1 . Для этого вместо n в |
|||||||||||||
x |
= |
3n |
подставим n 1, т. е. |
x |
= |
3(n 1) |
. Рассмотрим разность |
||||||||||
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
x |
= |
3(n 1) |
|
|
3n |
= |
3[(n 1)(n 2) n(n 3)] |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
n 3 |
|
n 2 |
|
|
|
|
(n 2)(n 3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
6 |
|
|
|
> 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n 2)(n 3) |
|||||||||||
значит, |
xn 1 |
> xn для любого n N . По определению последователь- |
ность (xn ) является строго возрастающей.
Приведѐнные рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности (xn ) , можно установить еѐ возрастание более простым
способом. Запишем x |
|
в виде |
x = |
3n 6 6 |
= 3 |
6 |
, тогда |
|||||
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
n 2 |
|
|
|
n 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xn 1 = 3 |
6 |
|
> 3 |
|
|
6 |
|
= xn . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 3 |
n |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.2. Выяснить, является ли монотонной последовательность
xn = 3 ( 1)n .
Решение. Последовательность не является монотонной, поскольку x2m 1 = 2 < 4 = x2m и x2m = 4 > 2 = x2m 1 для всех натуральных m .
Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),
(3) и (4)?
Ответ. Все их члены лежат на отрезке [0; 4] .
Определение. Последовательность (xn ) называется ограниченной,
если существует число C > 0 такое, что для любого натурального n выполняется неравенство | xn | C .
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
5
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Пример 1.3. Доказать, что последовательность (xn ) является огра-
ниченной тогда и только тогда, когда все еѐ члены лежат на некотором отрезке.
Решение. Пусть последовательность (xn ) ограничена. Тогда существует число C > 0 такое, что | xn | C для любого n N. Последнее неравенство можно переписать в виде C xn C, т. е. xn [ C; C]. Обратно, пусть все члены (xn ) лежат на некотором отрезке [m; M ]. Выберем симметричный отрезок [ C; C], содержащий [m; M ], тогда
C xn |
C и, |
следовательно, |
| xn | C. В качестве такого C можно |
||||||
взять, например, |
max{| m |, | M |}. |
|
|
|
|||||
Пример 1.4. Выяснить, |
является ли ограниченной последователь- |
||||||||
ность x |
= |
10( 1)n n |
. |
|
|
|
|
||
|
n2 1 |
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Рассмотрим |
| x |= |
|
10n |
. Поскольку при уменьшении |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 1 |
знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:
| x |
|= |
|
10n |
|
|
10n |
= |
10 |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n2 1 |
n2 |
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
||||
Значит, | xn | 10 для любого |
n N . По |
определению последова- |
тельность (xn ) является ограниченной.
Пример 1.5. Выяснить, является ли ограниченной последовательность xn = n2 .
Решение. Предположим, что последовательность (xn ) является ограниченной. Это означает, что существует такое число C > 0, что при
всех n выполняется неравенство | n2 | C. Однако при n > C 1 неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность (xn ) не является ограниченной.
§2. Арифметические и геометрические прогрессии
Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последовательностей.
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
6
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Определение. Последовательность (xn ) , каждый член которой, на-
чиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией. Число d разность прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn d и первым чле-
ном x1 . |
|
|
Перечислим основные свойства арифметической прогрессии. |
|
|
1) Формула n -го члена арифметической прогрессии: |
|
|
xn = x1 (n 1)d, |
n N. |
(2.1) |
2) Для конечной арифметической прогрессии x1, x2 , , xn суммы членов, равноотстоящих от концов, равны:
x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 = |
|
|||||||
= xk xn k 1, |
k = 1, 2, , n. |
(2.2) |
||||||
3) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии: |
||||||||
S |
|
|
= |
x1 xn |
n, |
|
(2.3) |
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, учитывая 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
|
2x1 (n 1)d |
n. |
(2.3`) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведѐм ещѐ характеристическое свойство арифметической прогрессии.
4) Последовательность (xn ) является арифметической прогрессией
тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:
x = |
xn 1 xn 1 |
, |
n 2. |
(2.4) |
|
||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
В 9 классе свойства 1) – 3) были доказаны, поэтому приведѐм доказательство лишь свойства 4). Пусть дана арифметическая прогрессия
(xn ) , тогда при n 2 |
имеем xn = xn 1 d и xn = xn 1 d . Складывая |
почленно эти равенства, получаем 2xn = xn 1 xn 1 . Обратно, пусть для n -го члена (xn ), n 2 , выполнено равенство (2.4) , тогда
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
7
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
2xn = xn 1 xn 1 |
или |
xn 1 xn |
= xn xn 1 . Отсюда |
получаем, что |
|
xn 1 xn = x2 |
x1 , т. е. |
любые два соседних члена последовательности |
|||
отличаются |
на |
одно |
и то же |
число d = x2 x1 . |
По определению |
последовательность (xn ) является арифметической прогрессией.
|
Пример 2.1. Найти сумму первых 10 членов арифметической про- |
|||||||||
грессии, если x5 x6 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. По формуле (2.3) |
S |
= |
|
x1 x10 |
10 |
. Заметим, что члены x |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
10 |
2 |
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
x6 |
равноотстоят от x1 |
и |
x10 соответственно. По (2.2) |
||||||
x x |
= x |
x , следовательно, S |
= |
4 |
10 = 20 . |
|||||
|
||||||||||
1 |
10 |
5 |
6 |
10 |
|
|
|
|
|
|
2
Ответ. 20.
Определение. Последовательность (xn ) , первый член которой отли-
чен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q , называется
геометрической прогрессией. Число q знаменатель прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn q , первым членом
x1 0 и знаменателем q 0 .
Перечислим основные свойства геометрической прогрессии. 1) Формула n -го члена геометрической прогрессии имеет вид
x |
= x qn 1 |
, n N. |
(2.5) |
n |
1 |
|
|
2) Для конечной геометрической прогрессии |
x1, x2 , , xn произ- |
ведения членов, равноотстоящих от концов, равны:
x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 = =
= xk xn k 1, k = 1, 2, , n. (2.6)
3) Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:
S |
|
= x |
1 qn |
при q 1 и |
S |
|
= n x |
при q 1. |
|
|
|
q |
|
||||||
|
n |
1 1 |
|
|
n |
1 |
|
Приведѐм ещѐ характеристическое свойство геометрической прогрессии.
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
8
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
4) Числовая последовательность (xn ) ненулевых членов является
геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого еѐ члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xn |
= |
|
xn 1 xn 1 , |
n 2, |
(2.8) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x )2 |
= x |
x |
, |
n 2. |
(2.8`) |
|||
|
n |
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
Докажем свойство 4). Пусть последовательность (xn ) является гео-
метрической прогрессией, тогда x2 |
= (x qn 1 )2 |
= x qn 2 x qn |
= x |
x |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|||||
Обратно, пусть все члены последовательности (xn ) |
|
отличны от нуля и |
||||||||||||||||||||||||||
для n -го еѐ члена, |
n 2 , выполнено |
x2 |
= x |
|
x |
, тогда |
|
xn 1 |
|
= |
xn |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
xn |
|
xn 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
xn 1 |
|
= |
x2 |
, или |
|
x |
= x q , |
где q = |
x2 |
|
. По определению |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
xn |
|
x1 |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
последовательность (xn ) является геометрической прогрессией. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 2.2. Известно, что |
|
x1, x2 , |
, |
xn геометрическая прогрес- |
||||||||||||||||||||||||
сия. Известны числа |
S = x x |
x |
и T = |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
. Найти |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P = x1 x2 |
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обозначим знаменатель прогрессии через q . Преобразуем
искомую величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x x = x x q x qn 1 |
|
= xnq1 2 n 1 |
= |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
n |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= xnq |
2 |
|
= (x2qn 1) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
q 1, |
тогда |
|
S = x |
qn 1 |
. |
Последовательность |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / x1, 1 / x2 , |
, |
1 / xn |
является геометрической прогрессией со знаме- |
||||||||||||||||||
нателем 1/ q . Следовательно, |
T = |
1 |
|
1 q n |
, |
т. е. |
T = |
1 |
|
|
qn 1 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 q 1 |
|
|
|
|
|
x qn |
1 (q |
1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
9
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
Отсюда заключаем, что S/T = x12qn 1 . Последнее равенство, очевидно,
справедливо и при q = 1. Следовательно, P = S n /T n .
Ответ. S n /T n .
Пример 2.3. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%,
то получится геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 39. Найти эти числа.
Решение. Обозначим данные числа x1 , x2 , x3 . По условию сумма
x1 0,6x2 |
x3 равна 39. По характеристическому свойству арифмети- |
|||
ческой |
прогрессии |
2x2 = x1 x3 |
и, |
следовательно, |
x1 0,6x2 |
x3 = 2,6x2 . Отсюда получаем, что |
x2 = 15 . |
По характерис- |
тическому свойству геометрической прогрессии (0,6x2 )2 = x1 x3 . Итак,
x1 x3 = 30 и |
x1 x3 = 81, т. е. по обратной теореме Виета x1 |
и x3 явля- |
ются корнями |
уравнения x2 30x 81 = 0 . Корни этого |
уравнения |
равны 3 и 27, |
следовательно, x1 = 3 и x3 = 27 , поскольку последо- |
вательность x1, x2 , x3 по условию является возрастающей.
Ответ. 3 , 15 и 27.
Пример 2.4. Найти формулу n -го члена последовательности, задан-
ной рекуррентно: x = |
1 |
; x |
= 2x 1 , n N. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Рассмотрим |
вспомогательную |
последовательность |
||||||||||
yn = xn a , где число |
|
a |
подбирается так, чтобы последовательность |
||||||||||
yn |
была |
геометрической |
прогрессией. |
Подставляя |
xn = yn a и |
||||||||
xn 1 = yn 1 |
a |
в |
|
|
|
рекуррентное |
соотношение, |
имеем |
|||||
yn 1 |
a = 2( yn a) 1, |
т. |
е. |
yn 1 = 2yn (1 a) . |
Последовательность |
||||||||
yn |
будет |
геометрической |
прогрессией, |
если |
1 a = 0 , т. е. |
a = 1. |
|||||||
Поскольку |
y = x a = |
3 |
, |
формула общего |
члена |
геометрической |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
10