матем.4контр
..pdf2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
|
|
|
||||
f x |
arctgx |
|
arcctgx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E f |
|
|
|
; |
|
|
0; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Периодич- |
Нет |
|
|
|
Нет |
||
ность |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Нечѐтная |
Ни чѐтная, ни нѐчетная |
|||||
Чѐтность |
arctg x arctgx |
arcctg x arcctgx |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем без доказательства некоторые тождества, применяемые при решении уравнений (при их применении следует учитывать условия ОДЗ):
1)sin arcsin x cos arccos x x ;
2)tg arctgx ctg arcctgx x ;
3)cos arcsin x sin arccos x 1 x2 ;
4)arcsin x arccos x 2 ;
5)arctgx arcctgx 2 ;
6) sin arctgx cos arcctgx |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
1 x2 |
|||||
|
|
|
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
11
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
7) |
sin arcctgx cos arctgx |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8) |
tg arcctgx ctg arctgx |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 6. Решить уравнение tg arccos x 5. |
|
|
||||||||||||
|
|
sin arccos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. tg arccos x |
|
|
|
1 x2 |
|
, исходя из обла- |
||||||||
|
cos arccos x |
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
сти определения функций arccos x и tgx, получаем ОДЗ: x 1;0 0;1 .
Далее,
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
25x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. |
x |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7. Вычислить значение выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
arctg |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin arccos |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||
Решение. sin arccos |
|
arctg |
|
|
sin arccos |
|
|
cos arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos arccos |
|
|
|
sin arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 4 |
|
6 |
|
6 4 21 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
25 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
25 |
25 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
9 |
|
1 |
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
12
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Ответ. 6 421 . 25
3.Решение тригонометрических уравнений
3.1.Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими называются тригонометрические уравнения, в которых тригонометрическая функция в первой степени с единичным коэффициентом приравнивается действительному числу. Такие уравнения непосредственно приводят к решению (если оно есть). Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
cos x a; x arccos a 2 n, a 1; sin x a; x 1 n arcsin a n, a 1; tgx a; x arctga n, a ;
ctgx a; x arcctga n, a .
Здесь а область значений числа a определяется свойствами тригонометрических функций (в дальнейшем, если не сказано обратного, будем считать, что k, l, m, n ). Целочисленные параметры в различных множествах решений одного уравнения можно обозначать как разными, так и одной буквой. В тех же случаях, когда элементы множеств сравниваются между собой, а также при решении тригонометрических систем для обозначения целочисленных параметров следует использовать различные буквы.
Примечание 3. |
Для корней уравнения sin x a |
|
|
a |
|
1 также |
|
|
|
||||||
|
|
arcsin a 2 n; |
|
|
|
|
|
может использоваться формула |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin a 2 n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 4. |
Для случаев a 0, 1 решения уравнений |
sin x a, cos x a имеют более простой вид, который полезно запомнить (или, что полезнее, понять их смысл – например, из тригонометрического круга).
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
13
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
a 0 |
|
a 1 |
a 1 |
|
|||
sin x a |
|
|
x |
|
2 n |
x |
|
2 n |
x n |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
cos x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
n |
x 2 n |
x 2 n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 5. Не может быть зачтено решение задачи, если при решении простейшего уравнения, например, sin x 13 , в качестве ре-
шения указывается значение x 1 n arcsin 13 m, т.к. n и m обо-
значают различные целые числа, а приведѐнная формула включает в себя также решения уравнения sin x 13 .
Примечание 6. Также не может быть зачтено решение уравнения, если в ответе присутствует такая запись, как, например:
x ( 1)n arcsin |
|
7 |
|
n , т.к. |
|
7 |
|
1. |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
Все тригонометрические уравнения и системы с помощью преобразований сводятся, как правило, к решению одного или нескольких про-
стейших уравнений.
Пример 8. Решить уравнения
8а. 2 cos(x3 1) 1;
Решение.
cos(x3 1) |
1 |
x3 |
1 |
|
2 n; |
|
2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
Ответ. x 3 1 2 n.
3
8b. cos 2x 3sin x 1;
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2x 1 2sin 2 x.
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
14
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
cos 2x 3sin x 1;
1 2sin 2 x 3sin x 1;
2 sin 2 x 3sin x 2 0;
Решаем полученное уравнение как квадратное относительно sin x.
sin x 3 5 ; 4
|
sin x |
|
1 sin x |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 1 |
n |
n |
1 |
n 1 |
n. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Ответ. x 1 n 1 |
n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8c. sin 2x sin x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x sin x 0; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x 2 cos x 1 0; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x 0; |
|
|
x n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
x |
|
2 n. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
Ответ. x n; x 2 n. 3
Примечание 7. Для решения тригонометрических уравнений необходимо хорошо знать основные тригонометрические формулы. Напри-
мер, формула cos 2x cos2 x sin 2 x должна держаться в памяти и в виде cos 2x 2cos2 x 1, и в виде cos 2x 1 2sin2 x . Также полезно помнить, что cos 2x (cos x sin x)(cos x sin x) , а
1 sin 2x (cos x sin x)2 , 1 sin 2x (cos x sin x)2.
3.2. Однородные тригонометрические уравнения первого порядка
Однородными относительно sin x и cos x называются уравнения ви-
да
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
15
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
a0 sinn x a1 sinn 1 x cos x a2 sinn 2 x cos2 x ...an 1 sin x cosn 1 x an cosn x 0 ,
где a0 , a1 ,..., an – действительные числа. Сумма степеней синуса и ко-
синуса в каждом слагаемом левой части уравнения одинакова и равна числу n, называемому показателем однородности.
Если a0 = 0, то, очевидно, корни уравнения cos x 0 являются одними
из корней исходного уравнения. Далее, полагая и разделив обе части уравнения на cos x , получим снова однородное уравнение (с показателем однородности n 1).
Если же |
a0 |
0 , то, очевидно, cos x 0 |
и обе части однородного |
||||||||
уравнения |
можно разделить |
на |
cosn x , в результате |
чего |
получим |
||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a tgn x a tgn 1x a tgn 2 x ... a |
|
tgx a |
0 , |
|
||||||
|
0 |
1 |
|
2 |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
которое простой заменой t tgx |
сводится к стандартному алгебраиче- |
||||||||||
скому уравнению a tn |
a tn 1 |
a tn 2 ... a |
t a |
0. |
|
||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
В случае |
n 1 |
однородное |
уравнение |
первого |
порядка |
||||||
a sin x b cos x 0 |
решается |
точно |
так |
|
же |
– |
сведением к |
tgx : tgx ba .
Пример 9. Решить уравнение 3 sin x cos x 0.
Решение.
3 sin x cos x 0; cos x 3 sin x;
1 ;
3
n.
Ответ. x n. 6
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
16
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
3.3. Однородные уравнения второго и высших порядков
Если показатель однородности n 2, решение не меняется, но име-
ет свои особенности, разберем их на примерах. Пример 10. Решить уравнение
3sin 2 2x 4sin 2x cos 2x 4 cos 2 2x 0.
Решение. Равносильное исходному уравнение 3tg 2 x 4tgx 4 0 решаем как квадратное относительно tgx, оно дает два действительных
решения: tgx 2, tgx 23 .
Ответ. x arctg 2 n, x arctg 23 m.
Уравнения, не являющиеся на первый взгляд однородными и содержащие свободные члены (числа), могут быть сведены к однородным с
помощью |
использования |
|
|
тригонометрической |
единицы |
||||
sin2 x cos2 x 1: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a sin2 x b sin x cos x c cos2 |
x d |
|
|
|||||
a sin2 x b sin x cos x c cos2 |
x d (sin2 |
x cos2 x). |
|
||||||
Пример 11. Решить уравнение 3sin 2 x 3sin x cos x 2 cos 2 x 1. |
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 2 |
x 3sin x cos x 2 cos 2 |
x 1; |
|
|
|
||||
3sin 2 |
x 3sin x cos x 2 cos 2 |
x sin 2 x cos 2 |
x; |
|
|||||
2 sin 2 |
x 3sin x cos x cos 2 |
x 0; |
|
|
|
||||
2tg 2 x 3tgx 1 0; |
|
|
|
|
|
|
|||
tgx 1; tgx |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
x |
n, x arctg |
|
1 |
m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Уравнения, левая часть которых есть однородное выражение относительно sin x и cos x с порядком однородности n 3 , а правая часть есть d sin x (или d cos x ) сводятся к однородным третьего порядка таким же способом.
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
17
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 12. Решить уравнение
2sin3 x 3sin 2 x cos x 13sin x cos 2 x 6cos x.
Решение. |
|
x 6 cos x sin 2 x cos 2 |
x ; |
|
2 sin 3 |
x 3sin 2 |
x cos x 13sin x cos 2 |
||
2 sin 3 |
x 9 sin 2 |
x cos x 13sin x cos 2 |
x 6 cos 3 x 0; |
|
2tg 3 x 9tg 2 x 13tgx 6 0.
Произведем замену t tgx. Тогда уравнение примет вид:
2t 3 9t 2 13t 6 0.
Как известно из курса алгебры, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то его следует искать среди дро-
бей вида |
p |
, где p – делитель свободного члена, а |
q – делитель стар- |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шего коэффициента. |
Находим |
один такой корень |
t |
3 |
. Делением |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
многочлена, стоящего в левой части уравнения на 2t 3 («уголком»), |
|||||||||||||
приходим к следующему равносильному уравнению: |
|||||||||||||
|
|
|
2t 3 t 2 3t 2 0. |
|
|
|
|
||||||
Оно распадается на совокупность уравнений: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2t 3 0; |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 2 3t 2 0. t 1; |
|
Возвращаясь к tgx, получаем ответ. |
|||||||||||
|
t 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. x arctg 2 n,.x arctg |
3 |
n, x |
|
n. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
Примечание 8. Способ нахождения рациональных корней уравнений высших степеней, описанный в последней задаче, является стандартным для курса алгебры, следует иметь его ввиду в том числе и при решении задач этого задания. Также обращаем внимание на способ деления многочленов друг на друга «уголком» – в случае, если этот способ малознаком читателю, следует изучить его отдельно.
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
18
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
3.4. Решение уравнений вида sin kx cos mx 0.
Уравнения вида sin kx cos mx 0 ( k m, иначе уравнение стано-
вится однородным первого порядка) решаются сведением с помощью формул приведения к одной тригонометрической функции, т. е.,
|
|
cos mx 0 |
|
|
0 и при- |
||
к виду cos |
|
kx |
или sin kx sin |
|
mx |
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
менением формул, преобразующих сумму (разность) косинусов (синусов) в произведение.
Пример 13. Решить уравнение cos 5x sin 7x 0.
Решение.
|
|
|
По формуле приведения cos x sin |
|
x , уравнение принимает |
|
2 |
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
||
|
|
sin 7x sin |
|
5x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|||
|
|
2 sin x |
|
cos 6x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
x |
n; |
||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
m |
. |
|
|
|
cos 6x |
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
Ответ. x |
|
n; x |
|
|
m . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Решение уравнений вида F sin x cos x;sin x cos x 0.
Уравнения вида F sin x cos x;sin x cos x 0 сводятся к алгебраическим заменой t sin x cos x . Из тождества
sin x cos x 2 1 2sin x cos x
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
19
2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
получаем sin x cos x |
t 2 |
1 |
, тогда уравнение записывается в виде |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F t; |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
Следует |
иметь |
в |
виду, |
что |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 sin x |
|
, поэтому допустимые значения t таковы, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
что |
t |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14. Решить уравнение sin x 2sin 2x cos x 1.
Решение. Заменой |
t sin x cos x |
(тогда sin 2x 1 t 2 ) уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние приводится к виду 2t 2 |
|
t 3 0, |
его корни t |
|
1, t |
|
|
3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравним |
t2 |
и |
2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
9 |
2; |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2; |
2 |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 1 – единственный корень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 n; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m. |
|
2 m. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. x |
|
2 n; x 2 m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 9. Часто, используя замену, учащиеся забывают, что требовалось найти x, а не t, и не указывают правильного ответа. Такая
небольшая, казалось бы, ошибка на вступительных экзаменах может свести на нет всѐ решение.
2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович
20