матем.4контр

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

3.6. Метод разложения на множители

Метод разложения на множители широко известен из других областей математики и фактически состоит в том, что громоздкое уравнение с помощью тождественных преобразований сводится к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 15. Решить уравнение sin3 x cos3 x cos 2x.

Решение. Применим формулу для суммы кубов, известную из курса алгебры:

cos3 x sin 3 x cos 2x;

cos x sin x sin 2 x sin x cos x cos 2 x cos 2 x sin 2 x,cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x 0.

В итоге исходное уравнение распадается на два:

cos x sin x 0;

1 sin x cos x cos x sin x 0.

Первое уравнение имеет решение x		n. Второе заменой
	4

sin x cos x t (при этом

cos x sin x

t 2

1

) сводится к уравнению:

2

t 2

2t 1 0;

Отсюда sin x cos x 1;

t 1.

1

sin x

;

4

2

2 m;

2 m;

4

x

x

4

3

2 k.

2 k.

2

4

Ответ. x

4

n; x

2 m; x 2

2 k.

Пример 16. Решить уравнение sin 5x sin 2x cos 9x cos 6x.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

21

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Решение. Преобразуя произведение тригонометрических функций в сумму, запишем уравнение в виде

1

(cos 3x cos 7x)

1

(cos15x cos 3x).

2

2

cos 7x cos15x 0 и, при-

Приводя подобные слагаемые, получаем

меняя формулу суммы косинусов,

приходим

к уравнению

cos11x cos 4x 0 и, далее, к совокупности:

n

cos11x 0;

x

11

;

22

0.

m

cos 4x

.

x

8

4

Ответ.

x

n ; x

m .

22

11

8

4

3.7. Метод введения дополнительного аргумента

Метод

введения

дополнительного аргумента

уже

использовался

нами в виде cos x sin x

2 cos x

. Также читатель мог встре-

4

тить	его	в	виде				или
				3 sin x cos x 2sin x
						6

sin x				. Теперь же разберѐм общий случай.
	3 cos x 2 cos x
			6

Рассмотрим решение уравнений вида

acos x bsin x c ,

где a,b, c – действительные числа, причѐм c 0 (иначе уравнение ста-

новится однородным и решается проще – см. п.1.2) и a2 b2

0.

Разделив обе части уравнения на

a2 b2 , получаем:

a

cos x

b

sin x

c

.

(1)

a2 b2

a2 b2

a2 b2

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

22

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

					a			2					b			2
Т.к.				2	b	2						2	b	2			1, то существуют такие углы
			a								a

и , что

a

sin ,

b

cos

(2)

a2

b2

a2 b2

или

a

cos ,

b

sin .

(3)

a2

b2

a2

b2

Выберем некоторые значения

и ,

удовлетворяющие системам

(2) и (3). Тогда уравнение (1) можно переписать в виде

sin cos x sin x cos

c

,

sin x

c

,

a2 b2

a2 b2

или cos cos x sin sin x

c

, cos x

c

.

a2 b2

a2

b2

Решение этих уравнений существует лишь при условии

c

1.

a2 b2

Если в решении используются обозначения или ,

в ответе нужно

не забыть указать выбранное значение или с учѐтом четверти, в

которой лежат эти углы (если cos 13 , то может лежать как в I, так

и в IV четвертях, при этом sin имеет разные знаки). Пример 17. Решить уравнение 3sin x 4cos x 5.

Решение. Для того, чтобы определить, какой дополнительный аргумент вводить, сложим квадраты коэффициентов при синусе и косинусе.

Поскольку 32 42 52 , запишем уравнение в виде:

53 sin x 54 cos x 1

и введѐм вспомогательный угол : cos 34 , sin 54 .

Угол , замечаем, лежит в первой четверти тригонометрического круга (sin 0, cos 0). Приходим к уравнению:

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

23

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

			sin(x arcsin												4		) 1;
															5														.
											4															4
			x arcsin																2 n x arcsin									2 n.
									5						2										5		2
Ответ. x arcsin													4							2 n.
													5			2
Пример 18. Решить уравнение 15sin x 8cos x 8.
Решение.
Складываем квадраты коэффициентов: 152 82																											172 и преобразу-
ем уравнение.
	15		sin x				8										8;
17									cos x
	17			17
							8							8
sin x			arcsin															;
							17							17
				8												8									x 2 n;
x arcsin								arcsin												2 n;
				17												17
																													8
				8																	8				x 2 arcsin						2 m.
x arcsin								arcsin															2 m.						17
				17																	17

Ответ. x 2 n; x 2 arcsin 178 2 m.

Примечание 9. При поиске возможных вариантов решения задачи бывает важным заметить возможность удобного (с рациональными числами) введения дополнительного аргумента для преобразования

выражения a cos x bsin x. Для этого полезно знать пары целых чисел, суммы квадратов которых дают квадрат третьего целого числа. Приведем некоторые из них.

									a
	a2 b2
				4	5	6	7	9		10	15	16	18	21
		3		5
		8				10					17
b
		12			13			15				20
		20									25			29
		24					25			26			30

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

24

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

3.8. Метод оценки

Случается, что предварительная оценка левой и правой частей уравнения помогает сразу решить уравнение или показать, что решений нет.

Пример 19. Решить уравнение 15sin x 8cos x 25.

Решение. Так как | sin x | 1,| cos x | 1, то

15sin x 8cos x 23 25,

уравнение не имеет решений.

Ответ. x .

Пример 20. Решить уравнение sin 4 2x cos 2 x 0.

Решение. Так как оба слагаемых неотрицательны, то равенство до-

стигается только в случае выполнения системы:
			n
sin 2x 0;	x		2	;		x		k.
cos x 0.				m.			2
	x
			2
Ответ. x 2 k.
Пример 21. Решить уравнение sin8 2x cos 2 2x 1.
Решение. Учитывая то,	что | sin 2x | 1,| cos 2x | 1, получаем воз-
можные случаи, удовлетворяющие уравнению:
sin 2x 0,
					k		k
cos 2x 1.		2x				x		.
					2		4
sin 2x 1,

cos 2x 0.

Если же оба слагаемых одновременно меньше 1, т.е. выполняется

| sin 2x | 1,

система , то уравнение не имеет решений. Докажем это.

| cos 2x | 1.

Т. к. | sin 2x | 1, то sin8 2x sin 2 2x и т.к. | cos 2x | 1, то

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

25

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

sin8 2x cos 2 2x sin 2 2x cos 2 2x 1, т.е. исходное равенство заведомо неверно.

Ответ. x 4k .

Пример 22. Доказать, что уравнение sin 5x sin 4x 1 не имеет решений.

Доказательство.

sin 5x sin 4x 1; cos x cos 9x 2;

cos x 1;	x 2 n,	9x 18 n 2 m.
cos 9x 1.	9x 2 m.

Но 18n 1 2m | n, m x , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы

1(2). Построить график функции f x sin x cos x на отрезке

0;2 .

2(3). Определить основной период функций

a (1)	f x sin x cos x ;
b (1)	f x sin 2x ;
c (1)
	f x tg 3x	.
		8

3(3). Определить, являются ли функции четными или нечетными

a (1)		3x			cos x ;
	f x sin
			8
b (1)	f x tgx sin 3x ;

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

26

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

c (1)		Периодическая функция с периодом 2 , график которой
на отрезке		3	;	3		изображен на рис. 9.
		2
				2

Рис. 8
	3	arcctg	1
4(3). Вычислить значение выражения cos arccos				.
	5		4

Решить уравнения 5 – 12. 5(2). 2sin 3x 6sin x 1.

6(3). 3sin x 4cos x 0. 7(3). cos 4x sin 6x 0.

8(4). sin 2x 2sin x 2cos x 1. 9(4). sin 3x sin x cos 6x cos 4x. 10(4). 5sin x 12cos x 13. 11(4). 20sin x 15cos x 26. 12(4). 20sin x 21cos x 21.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

27

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

	Задачи
1(3). Построить	график функции f x sin(3x	) на	отрезке
; .		6
2(4). Определить,	является ли функция sin 3x 2 tg6x		перио-

дической, и найти ее период.

3(4). Решить уравнение ctg arccos x tg arcctgx .

4(3). Доказать, что уравнение sin 5x sin 7x 1 не имеет решений. 5(4). Решить уравнение 2sin5 17x 3cos8 3x 6 .

6(4). 5sin 2 x 2sin x cos x cos 2 x 2.

1
7(4). sin 2x		.
	sin 3x
8(5). 12sin x 5cos x 13cos 2x 20cos x 11 362.
9(5). Решить уравнение ctgx ctg3x tg2x 0.
10(5). Решить уравнение 2 arccos x 2 3 arccos x 2 2			0.
11(3). Решить уравнение | cos x | cos 5x.
12(5). Решить уравнение | cos x | cos 3x sin 2x.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

28