методичка по молекулярке

A23	= −	m	Cv (T2 −T1 ) .	(2)
		M

Количество теплоты Q2, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А34:

A34

=

m

RT2 ln

V4

= −Q2 .

(3)

M

V3

Работа адиабатического сжатия

A41 = −

m

Cv (T1 −T2 ) = −A23 .

(4)

M

Работа, совершаемая в результате прямого кругового цикла Карно

А = А12 + А23 + А34 + А41= Q1 + A23 – Q2 – А23=Q1 - Q2.

(5)

Тогда термический к.п.д. цикла Карно будет равен

m

RT ln

V2

−

m

RT

2

ln

V3

A

Q1 − Q2

M

1

V1

M

V4

T1

−T2

.

(6)

η =

=

=

=

Q

Q

m

RT1

ln

V2

T

1

2

!

M

V1

Методика и порядок измерений

Рис. 4.12

Установите температуры Т1 и Т2, указанные в таблице 4.15 для вашей группы. Для этого нажмите кнопку «ВЫБОР», переместите маркер мыши так, чтобы его остриё находилось на кнопках регуляторов термометров Vили U. Последовательными короткими нажатиями на эти кнопки установите заданные температуры нагревателя и холодильника.

111

Нажмите мышью кнопку «СТАРТ» и наблюдайте перемещение точки по замкнутой кривой цикла Карно. Остановите процесс нажатием кнопки «СТОП» вблизи точки 1, обозначенной на рисунке 4.12, т.е. в месте перехода изотермического расширения газа в адиабатическое.

Запишите в таблице 4.16 значение V2, которое в момент остановки процесса в точке 1 будет обозначено в нижнем прямоугольнике окна опыта.

Аналогичные измерения проведите для точек 3, 4 и 1 и запишите значения объёмов газа в соответствующие столбцы таблицы 4.16.

Установите вторые значения температуры нагревателя и холодильника, указанные в таблице 4.15, и проделайте все измерения по п.п. 2-4 ещё раз. Результаты опытов занесите в таблицу 4.17.

Таблица 4.15. Значения температуры нагревателя Т1 и холодильника Т2

			Группа		1			2		3	4			5			6	7		8
				Т1	400			410		420	430			440			450	460		470
					500			510		520	530			540			550	560		570
				Т2	270			280		290	300			310			320	330		340
					350			340		330	320			310			300	290		280
	Таблицы 4.16, 4.17. Результаты измерений при Т1=___ К, Т2=___ К
№		V13		V23		V33				V43		Q1					Q2		A			UА		η
		дм		дм		дм				дм		кДж				кДж			кДж		кДж			%
1
2
3

Порядок выполнения работы:

1.Для любой произвольной точки цикла запишите значения давления, объёма и температуры, указанные в прямоугольнике окна опыта.

	2.С помощью уравнения состояния идеального газа pV =	m	RT оп-
		M

ределите число молей газа, находящихся в цилиндре под поршнем. 3.Используя уравнения 1,3 и 5 рассчитайте Q1, Q2, A и запишите эти

значения в таблицу 4.16.

4.По формуле (6) рассчитайте к.п.д. цикла Карно и сравните его со значением, приведённым в окне опыта.

5.Вычислите среднее значение работы цикла Карно и абсолютную погрешность измерения А.

112

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

Цели работы:

1.Знакомство с компьютерной моделью идеального газа;

2.Экспериментальное подтверждение основных формул молекулярнокинетической теории, по которым определяются скорости газовых молекул;

3.Экспериментальное изучение зависимостей среднего числа столкновений и средней длины свободного пробега молекул от температуры.

Теория метода

Идеальным газом называется физическая модель, в которой газ рассматривается как совокупность хаотически движущихся молекул, взаимодействующих между собой лишь при непосредственном ударе, носящем упругий характер.

Скорости, характеризующие состояние идеального газа:

1.	Средняя vср =	8kT ;			(1)
		πm
2. Наиболее вероятная vвер =			2kT	;	(2)
			m
3.	Средняя квадратичная vср.кв. =			3kT .	(3)
				m

Давление газа - макроскопическое проявление теплового движения и столкновений молекул газа со стенками сосуда. В результате каждого соударения стенке сосуда передаётся определённый импульс.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давле-

ния

p =	1 nmvср.кв. .	(4)
	3

Длина свободного пробега λ – это среднее расстояние, пролетаемое частицей между двумя последовательными столкновениями

N
∑λi		1 .
λ = i=1	=
N		2πd 2n

Среднее число соударений молекулы в единицу времени:

Z = 2πd 2nvср. .

(5)

(6)

113

Методика проведения измерений

Рис. 4.13

Нажмите кнопку «СТАРТ» во внутреннем окне экрана и проследите за хаотическим движением выделенной молекулы в замкнутом объёме слева во внутреннем окне экрана, вектор скорости которой изменяется при каждом упругом соударении с другими молекулами (их около 100) и со стенками сосуда. Данная молекулярная система является «механической» моделью идеального газа, находящегося при достаточно низком давлении. В правой части внутреннего окна происходит непрерывная регистрация ломаной линии – траектории движения выделенной молекулы - состоящей из отдельных длин свободного пробега молекулы.

В процессе исследований можно в любой момент времени остановить движение всех молекул нажатием кнопки , расположенной в правом верхнем углу внешнего окна опыта, и получить «мгновенную фотографию» всех молекул газа и траектории движения выделенной частицы. Продолжить наблюдение движения молекул в непрерывном режиме можно нажатием кнопки или в «пошаговом» режиме последовательными нажатиями кнопки . Обе кнопки расположены рядом.

1.Исследование зависимости скоростей газовых молекул от температуры

Порядок выполнения работы:

1. На мониторе щёлкните мышью кнопку « » в верхнем ряду кно-

пок.

2. В нижнем внутреннем окне щёлкните мышью кнопку «ОЧИСТИТЬ» и установите с помощью маркера мыши на термометре температуру 100К.

114

3. Запишите в таблицу 4.18 начальное значение скорости (v1 ) выделенной молекулы, указанное в нижнем прямоугольнике окна опыта.

4. Отдельными отрывистыми щелчками нажимайте мышью кнопку до момента соударения выделенной молекулы с любой другой движу-

щейся молекулой и изменения скорости выделенной молекулы.

5.Запишите в таблицу 4.18 второе значение скорости.

6.Продолжите действия по п.4, 5 ещё 18 раз и заполните таблицу

4.18.

7.Увеличивая последовательно температуру на 50К, проведите аналогичные измерения скоростей для температур 150К, 200К, 250К, 300К, 350К, 400К, 450К, 500К и заполните таблицы 4.18-4.26.

8.По формулам

		20
	vср. =	∑vi		(7)
		i=1
		20
		N
	vср.кв. =	1 ∑vi2		(8)
		N i=1

для каждого значения температуры рассчитайте среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости газовых молекул и запишите эти величины в таблицу 4.27.

9. Постройте графики vср2	. = f (T )			и	vср2			.кв. = f (T ) ,	по ним определите
значение массы молекулы m0:
	m	0	= 8k	∆T					(9)
			π ∆vср2 .
	m0		=3k	∆T					(10)
				∆vср2	.кв.

10.Определите химическую формулу газа, масса молекулы которого наиболее близка к измеренной массе молекулы.

11.Оцените погрешность проведённых измерений массы молекулы.

Таблицы 4.18-4.26. Результаты измерений скорости молекулы при заданной температуре Т=100…500К

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
опыта
vi ,м/с
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
опыта
vi , м/с

115

		Таблица 4.27.			Результаты расчёта скоростей молекул
Т, К		100	150		200	250	300	350	400	450	500
vср.
vср2 .
vср.кв.
vср2	.кв.

2.Исследование зависимости среднего импульса, передаваемого молекулами при соударении стенкам сосуда, от температуры

Порядок выполнения работы:

1. На мониторе щёлкните мышью кнопку в верхнем ряду кнопок.

2.В нижнем ряду кнопок щёлкните мышью кнопку «ОЧИСТИТЬ» и установите с помощью маркера мыши на термометре температуру 100К.

3.В момент начала отсчёта времени на секундомере щёлкните мы-

шью на мониторе в верхнем ряду кнопку	и через 1 мин. остановите
движение молекул нажатием кнопки .

4.На «моментальной фотографии» траектории движения выделенной частицы подсчитайте N – число ударов этой молекулы о стенки сосуда за одну минуту. Повторите это измерение ещё 2 раза и запишите результаты измерений в таблицу 4.28.

5.Увеличивая последовательно температуру на 50К, проведите аналогичные измерения N для температур в интервале 100500К и запишите все результаты измерений в таблицу 4.28.

6.По формуле P = 2Nm0vср. рассчитайте среднее значение импульса,

передаваемого молекулами при соударении стенкам сосуда для каждого значения температуры. Значения m0 и vср. возьмите из данных опыта 1.

7. Постройте по данным таблицы 4.28 график P = f (T ) и проведите анализ соответствия качественного вида этого графика с выводами моле- кулярно-кинетической теории и с законами идеального газа.

Таблица 4.28. Результаты измерений числа соударений молекулы о стенки сосуда за 1 мин.

Т, К 100 150 200 250 300 350 400 450 500

N1

N2

N3

N

P

116

3.Исследование зависимости средней частоты взаимных столкновений молекул от температуры

Порядок выполнения работы:

1. На мониторе щёлкните мышью кнопку в верхнем ряду кнопок.

2.В нижнем ряду кнопок щёлкните мышью кнопку «ОЧИСТИТЬ» и установите с помощью маркера мыши на термометре температуру 100К.

3.В момент начала отсчёта времени на секундомере щёлкните мы-

шью на мониторе в верхнем ряду кнопку и через 30с остановите движение молекул нажатием кнопки .

4.На «моментальной фотографии» траектории движения выделенной частицы подсчитайте Z – число её взаимных соударений с другими молекулами.

Повторите это измерение ещё 2 раза и запишите результаты измерений в таблицу 4.29.

5.Увеличивая последовательно температуру на 50К, проведите аналогичные измерения Z для температур в интервале 100500К и запишите все результаты измерений в таблицу 4.29.

6.По данным таблицы 4.29 постройте график зависимости Z = f (T ) и

проведите анализ соответствия качественного вида этого графика с выводами молекулярнокинетической теории и с законами идеального газа.

Таблица 4.29. Результаты измерений числа взаимных столкновений молекул

Т, К 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Z1

Z2

Z3

Z

4.Исследование зависимости средней длины свободного пробега молекул от температуры

Порядок выполнения работы:

1. На мониторе щёлкните мышью кнопку в верхнем ряду кнопок.

2.В нижнем ряду кнопок щёлкните мышью кнопку «ОЧИСТИТЬ» и установите с помощью маркера мыши на термометре температуру 100К.

3.В момент начала отсчёта времени на секундомере щёлкните мы-

шью на мониторе в верхнем ряду кнопку и через 30с остановите движение молекул нажатием кнопки .

117

4. С помощью миллиметровой линейки измерьте на экране монитора все отрезки λi ломаной линии – траектории движения выделенной молеку-

лы - от одного столкновения до последующего. При этом имейте в виду, что изменения направления движения молекулы при её ударах о стенки сосуда не должны учитываться при измерении длины свободного пробега.

5. Повторите это измерение ещё 2 раза и запишите результаты измерений в таблицу 4.30.

5. Увеличивая последовательно температуру на 50К, проведите аналогичные измерения λi для температур в интервале 100500К и запишите

все результаты измерений в таблицу 4.30.

6. По данным таблицы 4.30 постройте график зависимости λ = f (T ) и проведите анализ соответствия качественного вида этого графика с выводами молекулярнокинетической теории и с законами идеального газа.

Таблица 4.30. Результаты измерений длины свободного пробега молекул

Т, К 100 150 200 250 300 350 400 450 500

λ1

λ2

λ3

λ

118

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

Цель работы:

1.Ознакомление с основами анализа и моделирования термодинамических процессов в идеальных газах;

2.Определение молярной теплоёмкости в политропических процессах идеального газа;

3.Определение показателя адиабаты и работы газа в политропическом процессе.

Теория метода

Политропным называется процесс, в котором молярная теплоёмкость C остаётся постоянной. Уравнение политропического процесса имеет вид:

	pV n = const ,			(1)
	где	С −Сp
	n =		.	(2)
		C −C
		V

Молярной теплоёмкостью называется физическая величина C , численно равная теплоте δQ , которую нужно сообщить одному молю ве-

щества для изменения его температуры на 1К в рассматриваемом термодинамическом процессе:

C =	M	δQ	.	(3)
	m dT

Выражение (3) теперь можно записать в форме

δQ =	m	CdT .	(4)
	M

или в интегральной форме

Q1→2 = Mm C(T2 −T1 ).

Таким образом, если количество тепла, полученное в некотором термодинамическом процессе 1 → 2 при m = const , прямо пропорционально разности температур ∆T =T2 −T1 , то теплоёмкость газа постоянна и процесс является политропическим

			Q1→2
C =					.
		m	(T	−T )
		M	2	1

Первый закон термодинамики для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа имеет вид

	m	CdT =	m	CV dT + pdV .	(5)
	M		M

119

Тогда из уравнения (5) имеем:

C = CV +	Mp dV .	(6)
	m dT

Связь между объёмом газа и его температурой в политропном процессе можно найти из выражения (1) и уравнения Клапейрона – Менделеева

pV = Mm RT ,

V (n−1)T = const .

Дифференцируя последнее выражение, получим:

(n −1)V (n−2)TdV +V n−1dT = 0 ,

dV

= −

V

.

dT

(n −1)T

Тогда уравнение (6) примет вид:

R

C = CV −

pV

= CV

−

.

(n −1)

m

T

n −1

M

Учитывая, что CV =

R

, где

γ =

Cp

показатель адиабаты, получим:

γ −1

CV

C =

n − γ

R .

или

(γ −1)(n −1)

i

1

C =

−

R .

(7)

n

−1

2

Таким образом, если термодинамический процесс идеального газа действительно является политропным, т.е. молярная теплоёмкость в ходе процесса не изменяется, то её величина рассчитывается по формуле (7).

В настоящей работе используется модель одноатомного газа (i = 3 ), поэтому в политропных процессах при n = −1 согласно выражению (7) молярная теплоёмкость C должна быть равна 16,6 Дж/моль К, а при n = −2 ,

C =15,2 Дж/моль К.

Частными случаями политропного процесса являются: 1. изотермический: n =1,C = ±∞;

2. изобарический: n = 0,C = Cp ; 3. изохорический: n = ±∞,C = CV ;

4. адиабатический: n = γ, где γ = Ср ,C = 0 .

СV

120