- •Решение задач по алгебре
- •Для 2 курса озо
- •Факультета математики
- •И информатики
- •Решение задач по алгебре для 2 курса озо факультета математики и информатики
- •Игнатов Юрий Александрович
- •1. Системы линейных уравнений
- •2. Линейная зависимость. Базис системы векторов
- •3. Фундаментальная система решений
- •4. Алгебра матриц
- •5. Определители
- •6. Линейные пространства. Подпространства. Размерность и базис
- •7. Евклидово пространство
- •8. Линейные отображения
- •9. Собственные векторы и собственные значения
- •Задания к контрольной работе
- •Содержание
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Тульский государственный педагогический университет
им. Л.Н.Толстого
Решение задач по алгебре
Для 2 курса озо
Факультета математики
И информатики
Тула 1999
Рецензент -
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа
ТГПУ им. Л. Н. Толстого И. В. Денисов
Решение задач по алгебре для 2 курса ОЗО факультета математики и информатики
Методические рекомендации предназначены для студентов 2 курса ОЗО факультета математики и информатики. Приведены основные теоретические сведения, необходимые для решения задач. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях. Даны задания для контрольных работ.
Составитель -
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ТГПУ им. Л. Н. Толстого
Ю. А. Игнатов
Учебное издание
Решение задач по алгебре для 2 курса озо факультета математики и информатики
Составитель
Игнатов Юрий Александрович
Формат 60 84 / 16. Бумага офс.
Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 50 экз. Изд. № 3© Ю. Игнатов, 1999 г.
1. Системы линейных уравнений
Для решения системы линейных уравнений используется метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении переменных. Для удобства систему
записываем в виде матрицы, построенной из коэффициентов и свободных членов системы. При этом столбец свободных членов отделяется от остальных столбцов вертикальной чертой. Матрица имеет вид
Над системой допускается производить следующие элементарные преобразования, которые приводят к равносильной системе:
умножение какого-либо уравнения на скаляр 0;
прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на скаляр ;
исключение из системы или добавление к ней уравнения с нулевыми коэффициентами и свободным членом.
Соответствующие преобразования производятся над строками матрицы системы. Преобразования приводят к эквивалентным матрицам, переходы обозначаются знаком эквивалентности ~.
Первый ненулевой коэффициент в каждой строке называем ведущим.
Цель преобразований - избавиться от переменной x1 во всех уравнениях, кроме первого. Считаем, что в первой строке ведущий элемент -a11. В противном случае поставим на первое место другую строку. Используем первую строку как опорную.
Чтобы избавиться от первого коэффициента ai1вi-ой строке, прибавляем к этой строке первую строку, умноженную на –ai1/a11. Проделав это со всеми строками, начиная со второй, во всех этих строках на первом месте получим 0.
Возможно, что при этом станут нулевыми все элементы не только в первом столбце, но и в нескольких следующих (без первой строки). Если же какие-нибудь ненулевые элементы в получившейся матрице останутся, то повторяем указанные преобразования с матрицей, получающейся отбрасыванием первой строки и всех столбцов до первого ненулевого.
Проделав указанные преобразования, сколько возможно, получим матрицу в ступенчатом виде. Он характеризуется тем, что ведущий элемент в каждой строке, начиная со второй, расположен правее, чем в предыдущей.
Если в последней ненулевой строке ступенчатой матрицы слева от черты стоят нули, а справа ненулевой элемент, то соответствующая система решений не имеет, то есть является несовместной.
Если такой строки в ступенчатой матрице нет, то для удобства обведем ведущие элементы во всех строках в кружки. Переменные, которым соответствуют кружки, считаются базисными, остальные – свободными. Если свободных переменных нет, то система имеет единственное решение. Для его нахождения по строкам получившейся матрицы восстанавливаем уравнения, начиная с последней, и последовательно находим значения всех переменных.
Если в системе есть свободные переменные, то придаем им произвольные значения, считая параметрами. Базисные переменные выражаются через них в том же порядке, как в предыдущем случае. Система в этом случае является неопределенной, то есть имеет больше одного решения.
П р и м е р 1. Решить систему
Р е ш е н и е. Строим матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:
~~.
Ко второй и третьей строкам первой матрицы прибавлялась первая строка, умноженная на –2 и –3 соответственно. К третьей строке второй матрицы прибавлялась вторая строка, умноженная на –2.
Базисными являются переменные x1и x3, свободнымиx2 иx4. Полагаем
x2 = a, x4 = b.Тогда из уравнения, соответствующего второй строке ступенчатой матрицы, получаем– x3–2b = –1, и x3= –2b + 1. Подставляя в первое уравнение, получаем
x1+2a + 3(– 2b + 1) – b = 1, x1= –2a + 7b – 2.
Ответ: x1= –2a + 7b – 2, x2 = a, x3= –2b + 1, x4 = b, a, b ℝ.
У п р а ж н е н и е 1. Решите системы:
а)
б)
в)
г)